金春?張婷毅

[摘 要]導數(shù)是研究函數(shù)基本性質(zhì)、變化率以及優(yōu)化問題上強有力的工具，圍繞著導數(shù)知識的高考命題研究層出不窮。 由于受學生思維水平以及認知結(jié)構(gòu)的限制， 導數(shù)的教學做了簡化處理， 教學過程以理解為主， 淡化形式。 其次， 圍繞著導數(shù)中學常做大量技巧性的解題訓練，突出其應用。 缺乏對該知識拓展和延伸， 無法在更高的視野下重視所學內(nèi)容。 本文將以導數(shù)為例， 探究導數(shù)在中學數(shù)學的應用， 將中學數(shù)學中已下移的導數(shù)知識進行深入， 對沒有進入中學的知識進行下放。

[關(guān)鍵詞]高等數(shù)學； 中學數(shù)學；導數(shù)

一、導數(shù)的定義

通過瞬時速度、瞬時變化率定義導數(shù)概念直觀形象， 符合中學生的認知水平。 但在教學過程中， 存在以下問題。

1.學生對導數(shù)定義中的自變量趨于某一值沒有充分理解， 對“無限逼近”是不是意味著值能取得到存在困惑， 有的學生認為一定在定義域范圍內(nèi)。

導數(shù)教學借鑒了國外課程設(shè)置， 課程的編排采取“無極限導數(shù)”的策略， 從注重形式化到借助直觀物理模型引入導數(shù)概念， 強調(diào)以理解為主， 淡化形式， 突出概念的本質(zhì)， 不再將導數(shù)概念過早地“形式化”， 也導致學生對極限思想、無窮小量的理解不夠。 如果引入導數(shù)的形式化定義， 那么課程設(shè)置需要從講述數(shù)列、數(shù)列極限、函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)性、到導數(shù)及其應用， 微積分知識的完整性得到了充分的體現(xiàn)， 但這種課程設(shè)置沒有考慮學生的認知水平， 學生的理解能力有限， 抽象思維能力不夠。 由此可見， 對極限定義進行適當?shù)囊牒徒榻B， 體會“無限逼近”的思想價值對導數(shù)概念教學設(shè)計的探索十分有必要。 同時要注意避免極限概念對導數(shù)本質(zhì)的干擾， 為了適應新的概念， 個體必須對原有概念進行改造， 使其適應新的情景， 形成新的數(shù)學觀。

為了透徹理解導數(shù)與導函數(shù)概念的極限思想， 有必要講述時函數(shù)的極限。 設(shè)是定義在點的某個空心領(lǐng)域內(nèi)的函數(shù)， 討論當趨于時， 對應的函數(shù)值能否趨于某個定數(shù)， 尤其是在處是可以無定義的。

有必要對無窮小量概念進行講解， 講解比式的極限求導。

在數(shù)學概念的習得過程中，學生長期使用通過觀察大量數(shù)學事例的方法進行歸納概括， 而不是在符號表征的基礎(chǔ)上進行邏輯推理和證明， 也沒有對所學知識進一步推廣。 因此， 有必要在中學數(shù)學的教學過程中， 立足于高等數(shù)學的應用性為中學課程設(shè)計提供多種思路， 為中學解題提供多種解法和拓展。中學涉及了， 以及等的極限， 講解無窮小量有一定的必要性， 避免機械記憶。

從平均變化率到瞬時變化率的過程過于粗糙， 學生沒有體會到極限思想 。

學生對于瞬時速度的認識不深刻， 盡管能通過物理知識充分區(qū)別平均速度和瞬時速度， 但他們對于瞬時速度的表述是函數(shù)在某一點的導數(shù)， 而不是通過平均速度逼近得來的。 由于在學習導數(shù)之前， 沒有學習過極限概念， 只是把導數(shù)當作特殊極限處理， 因此在教學過程中， 應該充分讓學生認識到取極限的過程， 尤其是當趨于時， 平均變化率取極限的過程， 用切線逼近割線體會“無限逼近”的思想， 從靜態(tài)處理過渡到動態(tài)認識導數(shù)概念。

2.導數(shù)的計算。

（1）反函數(shù)的導數(shù)。

中學關(guān)于導數(shù)的計算是在平均變化率的基礎(chǔ)上， 用瞬時變化率逼近的， 通過導數(shù)的定義求出了一些簡單函數(shù)的導數(shù)。 包括常值函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的求導。 對于與， 學生經(jīng)?；煜?在學習指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)后， 學生對反函數(shù)有了一定的了解， 對高等數(shù)學中反函數(shù)的導數(shù)定理可以做一定的簡化處理。

定理1 設(shè)為的反函數(shù)， 若在點的某領(lǐng)域上連續(xù)， 嚴格單調(diào)且， 則在點可導， 且

對該定理做簡化處理， 對于指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的導數(shù)滿足上述定理， 由此可將二者聯(lián)系起來加深理解。

3.復合函數(shù)的導數(shù)。

復合函數(shù)的求導遵循從外到內(nèi)的原則， 即鏈式法則， 在中學已有大量應用。

對于多個函數(shù)復合而得的復合函數(shù)， 只需反復應用上述法則即可。

例1 設(shè)， 求。

部分學生把函數(shù)誤看作， 導致錯解。

錯解 令， 。

正解 根據(jù)復合函數(shù)求導法則和導數(shù)的四則運算法則，將看作兩個函數(shù)的復合， 則

4.高階導數(shù)。

中學數(shù)學目前沒有涉及到高階導數(shù)， 實際上， 高階導數(shù)在泰勒展式以及求解函數(shù)的拐點等有廣泛應用。 在中學數(shù)學中， 對于一般角的三角函數(shù)值只能通過查表或借助計算器得到， 可介紹高等數(shù)學中的高階導數(shù)與泰勒展式進行近似計算。

二、單調(diào)性與極值

中學數(shù)學關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的教學是在觀察大量函數(shù)模型如一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上， 歸納出導函數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系。 而高等數(shù)學中關(guān)于單調(diào)函數(shù)的定義是通過導函數(shù)的定義進行界定的， 其中涉及到函數(shù)極限的保不等式性與保號性。 事實上， 根據(jù)導數(shù)的定義來定義函數(shù)的單調(diào)性是順其自然的思路。 只是學生會對過程中的保號性與保不等式性產(chǎn)生疑慮， 教師只需做出說明， 簡單講解原因即可， 提供函數(shù)單調(diào)性定義的另一種思路。 培養(yǎng)學生研究問題的嚴謹性， 改善以往研究問題只靠從大量實例中歸納總結(jié)的思維習慣。

中學接觸的是極值的第一充分條件， 簡言之， 導函數(shù)的正負對應著原函數(shù)的增減， 通過畫表格的方式得到函數(shù)的極值。 事實上， 極值的第二充分條件在中學也有廣泛應用。

高等數(shù)學知識可以為中學課程設(shè)計與解題提供多種思路，對公式定理加以延伸和拓展。 研究高等數(shù)學在中學數(shù)學的應用對彌補二者在知識和思想方法上的斷層有一定的實際意義。 但是， 利用高等數(shù)學解決中學數(shù)學問題應該建立在其實際應用的基礎(chǔ)上， 不能一味地擴大其作用， 以免增加學生負擔， 適得其反。 在實際教學過程中， 關(guān)于高等數(shù)學在中學的可下移程度還需進一步實驗探究。

參考文獻：

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大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目 陳崢立副教授；