盧山

摘要：在與橢圓有關(guān)的問題中，我們常?？嗯c計(jì)算，巨大的工程量讓我們在相關(guān)難題前望而生畏，止步不前。于是在此，我們將去探究“圓化法”，憑依著這種新式方法，我們或許就能繞開復(fù)雜的運(yùn)算，自己命題的核心。

關(guān)鍵詞：圓化法；運(yùn)算；探究

下面，我們將先介紹這種方法。

一、“圓化法”的介紹

（1）“圓化法”即將橢圓投影到不同的平面上，使其形成一個(gè)圓。在此，我們將把原題目在橢圓上的復(fù)雜運(yùn)算轉(zhuǎn)化到圓上，運(yùn)用圓的特殊性質(zhì)來幫助我們解答題目。

轉(zhuǎn)化過程，原方程

轉(zhuǎn)換，建立新坐標(biāo)系

使

（2）“圓化法”的性質(zhì)

構(gòu)造特殊斜率

即當(dāng)在橢圓平面內(nèi)兩條直線斜率積為時(shí)，經(jīng)“圓化”后兩線相互垂直。

構(gòu)造新直角

設(shè)在圓上 即建立新坐標(biāo)系設(shè)

使

即投影出的在圓上，故圓上直徑兩端點(diǎn)與連線所成角為直角.

二、例題講解

例1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，是橢圓上異于的任意兩點(diǎn)，且直線相較于，直線相交于點(diǎn)。

（1）求的值。（易解得）

（2）求證：直線的斜率為定值，證明：以下可分兩種情況在軸異側(cè)，即如圖1

建立新坐標(biāo)系，

即如圖2

轉(zhuǎn)化后：

如前證性質(zhì)

即為的垂心

則

又∵，

在軸同側(cè)類似，略。

分析：對于橢圓的某些類型題目，“圓化法”有奇效。如上例1，若照圖1運(yùn)用解析幾何作法，運(yùn)算量巨大。而運(yùn)用“圓化法”將能把其轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，省去運(yùn)算步驟。

例2，面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是，以

總結(jié)：“圓化法”主要涉及橢圓中面積與斜率的求解。我們可以用上述性質(zhì)、、圓的性質(zhì)來進(jìn)行思考。換一種角度往往會(huì)讓我們領(lǐng)略到常規(guī)方法所少見的簡易利索，以上問題即通過映射達(dá)成這一捷徑。故不妨解題時(shí)換一種角度去解答，或可在高考大綱范圍內(nèi)悟得新法。

參考文獻(xiàn)：

[1]任子文.簡介“圓化法”[J]課程教育研究：學(xué)法教法研究，2015（26）