數(shù) 學(xué)園 地

錯(cuò)在哪里

1 江蘇省海州高級(jí)中學(xué)

佟成軍 (郵編:222062)

題目 已知f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù),且當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)＝ln(x2－x＋b).若f(x)在區(qū)間[－2,2]上有5個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_____.

錯(cuò)解 因?yàn)閒(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù),所以f(0)＝0.

－f(2)＝f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2),所以f(－2)＝f(2)＝0.

因?yàn)閒(x)在區(qū)間[－2,2]上有5個(gè)零點(diǎn),

所以f(x)＝ln(x2－x＋b)在x∈(0,2)上有1個(gè)零點(diǎn),

即x2－x＋b＝1在x∈(0,2)上有1個(gè)實(shí)根,

即x2－x＋b－1＝0在x∈(0,2)上有1個(gè)實(shí)根.

設(shè)g(x)＝x2－x＋b－1,x∈(0,2),考慮到g(x)的對(duì)稱軸為

解答錯(cuò)了!錯(cuò)在哪里?

錯(cuò)解中將“f(x)＝ln(x2－x＋b)在x∈(0,2)上有1個(gè)零點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為“x2－x＋b＝1在x∈(0,2)上有1個(gè)實(shí)根”,事實(shí)上,在時(shí),x2－x＋b＜0,此時(shí)對(duì)x∈(0,2),f(x)＝ln(x2－x＋b)無(wú)意義,疏漏了函數(shù)的定義域,由此可知以上解法是錯(cuò)誤的.究其原因,在于“存在x∈(0,2),使x2－x＋b＝1有1個(gè)實(shí)根”是一個(gè)存在性命題,與全稱命題“對(duì)任意x∈(0,2),x2－x＋b＞0恒成立”不能相互替代,正確的解法需要兩個(gè)命題同時(shí)滿足.

正解 因?yàn)閒(x)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù),所以f(0)＝0.

－f(2)＝f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2),所以f(－2)＝f(2)＝0.因?yàn)閒(x)在區(qū)間[－2,2]上有5個(gè)零點(diǎn),所以f(x)＝ln(x2－x＋b)在x∈(0,2)上有1個(gè)零點(diǎn),則

設(shè)g(x)＝x2－x＋b－1,x∈(0,2),考慮到g(x)的對(duì)稱軸為

變式 已知關(guān)于x的方程lg(x＋a)＝2lg(x＋1)有且只有1解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

即方程x2＋x＋1－a＝0在x∈(－1,＋∞)上有1個(gè)實(shí)數(shù)解,

變式中的x＋a＞0在x＋1＞0且x＋a＝(x＋1)2時(shí)可以省略,在于這里是全稱命題,與原題是有區(qū)別的.在轉(zhuǎn)化問(wèn)題時(shí),要能夠分清是存在性命題還是全稱命題,從而保證問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化,預(yù)防可能產(chǎn)生的邏輯性錯(cuò)誤.

2 江蘇省常熟市中學(xué)

查正開(kāi) (郵編:215500)

問(wèn)題 已知f(x)是定義在R上的函數(shù),滿足f(0)＝1,且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x、y都有f(xy)＝f(x)－y(3x－y＋1)成立,求f(x)的表達(dá)式.

解法1 在等式f(x－y)＝f(x)－y(3xy＋1)中令y＝x,得f(0)＝f(x)－x(3x－x＋1)＝f(x)－2x2－x.

再由條件f(0)＝1,得f(x)＝2x2＋x＋1.

解法2 在等式f(x－y)＝f(x)－y(3xy＋1)中令x＝0并結(jié)合條件f(0)＝1,得

f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝f(0)＋y2－y＝y(tǒng)2－y＋1,

再取x＝－y,得f(x)＝x2＋x＋1.

解答錯(cuò)了!錯(cuò)誤在哪里?

解法1與解法2的推理貌似都正確,但得出了不同的結(jié)果,說(shuō)明兩種解法中至少有一種是錯(cuò)誤的,然哪種解法是正確的呢?哪種解法是錯(cuò)誤的呢?

正解 在條件f(x－y)＝f(x)－y(3x－y＋1)中,將x視為常數(shù)并設(shè)x－y＝t,則y＝xt,于是

f(t)＝f(x)－(x－t)(3x－x＋t＋1)＝t2＋(x＋1)t－2x2－x＋f(x).

由此可知滿足條件的f(x)必是二次函數(shù)形式.因此可設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c.

由f(0)＝1,得c＝1.則f(x－y)＝a(x－y)2＋b(x－y)＋1＝ax2＋bx－2axyay2－by＋1,

f(x)－y(3x－y＋1)＝ax2＋bx＋1－3xy＋y2－y,

要使任意的實(shí)數(shù)x、y都有f(x－y)＝f(x)－y(3x－y＋1)成立,當(dāng)且僅當(dāng)

所以滿足條件的函數(shù)f(x)不存在,解法1與解法2都是錯(cuò)誤的.

由于兩種解法都是取特殊值得到的結(jié)果,它們只滿足必要條件,并不能保證充分性.由解法1得到的函數(shù)f(x)＝2x2＋x＋1與解法2得到的函數(shù)f(x)＝x2＋x＋1都不能保證對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x、y都有f(x－y)＝f(x)－y(3x－y＋1)恒成立.事實(shí)上,只要取x＝2,y＝1時(shí)以上兩個(gè)函數(shù)都能使等式f(x－y)＝f(x)－y(3x－y＋1)不成立,所以結(jié)果均是錯(cuò)誤的.故由此警示我們?cè)诶锰厥鈹?shù)值來(lái)解題時(shí),一定要再驗(yàn)證所得結(jié)果的充分性(即檢驗(yàn)),否則解題是不完整的甚至是要出錯(cuò)的.