甘肅省蘭州市第七中學(xué) 秦建華 (郵編:611731)

挖掘例習(xí)題 欣賞圓錐曲線和諧統(tǒng)一之美

甘肅省蘭州市第七中學(xué) 秦建華 (郵編:611731)

對(duì)人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》選修1－1圓錐曲線例習(xí)題深度的研究.以三角形為載體,幾何畫板為媒介,深入地挖掘教材中的例習(xí)題,欣賞圓錐曲線的和諧統(tǒng)一之美.

圓錐曲線;和諧統(tǒng)一;例習(xí)題;幾何畫板

1 看三角形兩邊和差等于定常數(shù)

橢圓和雙曲線有人曾稱他們是一對(duì)“情侶曲線”,他們的標(biāo)準(zhǔn)方程只差一個(gè)運(yùn)算符號(hào),一個(gè)是“＋”,而另一個(gè)是“－”,巧合的是在定義里面橢圓說的是到定點(diǎn)距離之和等于定常數(shù),雙曲線定義說的是到定點(diǎn)的距離之差等于定常數(shù).圖象的對(duì)稱性完全一致.筆者在橢圓和雙曲線的教學(xué)過程中,經(jīng)常用幾何畫板來展示它們定義的和諧統(tǒng)一和相互轉(zhuǎn)化,使人賞心悅目,從而激發(fā)學(xué)生對(duì)圓錐曲線學(xué)習(xí)的興趣.人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》選修1－1第54頁A組第5題.當(dāng)定點(diǎn)A在圓內(nèi)就可得命題1,定點(diǎn)A在圓外就可得命題2.

命題1 已知△ABC,頂點(diǎn)A(－c,0),B(c, 0),且CB ＋CA ＝2a(2a＞2c＞0),動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為橢圓,方程

命題2 已知△ABC,頂點(diǎn)A(－c,0),B(c, 0),且動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為雙曲線,方程為b＞0).

命題1,2證明從略.

2 看三角形兩邊之比等于定常數(shù)

人教版《全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書·數(shù)學(xué)》選修第二冊(cè)上第86頁例5推廣可以發(fā)現(xiàn).

命題3 已知△ABC,頂點(diǎn)A(－c,0),B(c, 0)(c＞0),且),動(dòng)點(diǎn)C的軌跡(1)當(dāng)λ＝1時(shí),軌跡為直線,方程為x＝0; (2)當(dāng)λ≠1時(shí),軌跡為圓,方程為以為圓心,半徑為的圓.

命題3證明從略.

這個(gè)圓是著名的阿婆羅尼奧斯圓,簡(jiǎn)稱阿氏圓(ApolloniusofPerga,約前262～約前190,希臘數(shù)學(xué)家,與歐幾里得、阿基米德齊名,他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,幾乎使后人沒有插足的余地,《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著,它可以說是代表了希臘幾何的最高水平,自此以后,希臘幾何便沒有實(shí)質(zhì)性的進(jìn)步,直到17世紀(jì)的B.帕斯卡和R.笛卡兒才有新的突破).

3 看三角形兩邊之積等于定常數(shù)

對(duì)于三角形兩邊有了和、差、商,我們不難想到三角形兩邊的積,于是帶著好奇進(jìn)一步探究得出:

命題4 已知△ABC,頂點(diǎn)A(－c,0),B(c, 0),且CB·CA ＝a2,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為[(x＋c)2＋y2][(x－c)2＋y2]＝a4,這是著名的卡西尼卵形線.(喬凡尼·多美尼科·卡西從尼意大利文GiovanniDomenicoCassini,1625年6月8日－1712年9月14日,是一位在意大利出生的法國(guó)籍天文學(xué)家和水利工程師,曾經(jīng)工作的單位有旁扎諾天文臺(tái),博洛尼亞大學(xué)天文學(xué)教授,并在1671年巴黎天文臺(tái)落成后成為該臺(tái)的第一任總監(jiān)直到去世.)

4 看三角形兩邊所在直線的斜率之積等于定常數(shù)

人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》選修1－1第48頁探究試題,與例3比較你能發(fā)現(xiàn)什么?引起了筆者的思考,對(duì)這兩道例題的研究發(fā)現(xiàn),斜率的積為正數(shù)時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線,斜率的積為負(fù)數(shù)時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為圓或橢圓.橢圓和雙曲線有外在的美,也有豐富的內(nèi)涵,從而有一種和諧統(tǒng)一的方式浮現(xiàn)在眼前,筆者對(duì)兩個(gè)特殊例題深度的研究發(fā)現(xiàn):

命題5 已知△ABC,頂點(diǎn)A(－a,0),B(a, 0),直線CB、CA的斜率分別為k1,k2,k1k2,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為

(1)當(dāng)a＝b時(shí),①k1k2＝1(a＝b),軌跡為雙曲線,方程為1(x≠±a),等軸雙曲線;②k1k2＝－1(a＝b),軌跡為圓,方程為x2＋y2＝a2(x≠±a).

5 看三角形外心

命題6如圖已知△ABC,A(a,0),頂點(diǎn)B、C在圓x2＋y2＝r2上同步運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P是△ABC的外心,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么?[1]

解 設(shè)P(x,y), B(rcosθ,rsinθ),C(rcos(θ＋α),rsin(θ＋α))(其中θ∈(0,2π),α非零實(shí)常數(shù)).注意到直線AB的垂直平分線方程是

直線AC的垂直平分線方程是rxcos(θ＋α)＋

由①②知cosθ＝

(其中(x2＋y2)sinα≠0,a≠r),由③④知整理⑤得[2a2－r2(1＋cosα)]x2－r2(1＋

這就是圓錐曲線的方程.

6 教學(xué)感悟

敢問新課改的路在何方?路就在腳下.這就需要加強(qiáng)教師自身專業(yè)素養(yǎng),提升教師自身數(shù)學(xué)研究活動(dòng),要站在教材系統(tǒng)的高度教數(shù)學(xué),理解數(shù)學(xué).以課本為素材進(jìn)行深度的研究,有助于教師深入認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)思維,從而使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)高效.要求教師注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,關(guān)注數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程,就像文中一個(gè)普通的三角形,固定兩個(gè)頂點(diǎn),另外一個(gè)頂點(diǎn)在一定的約束條件下動(dòng)起來,可以生成圓、圓錐曲線,而且能使他們和諧相處,真的多么美妙!在此還要一提的是用好“幾何畫板”這個(gè)工具,它可以幫助學(xué)生探究數(shù)學(xué),也可以培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)態(tài)思維.

2017-05-17)