廣東省梅州市豐順縣豐良中學(xué) 何彩萍

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的精髓，是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是建立數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想，而作為中學(xué)幾何，很多初學(xué)者都不能很好地根據(jù)題目的條件進(jìn)行猜想，證明。但如果能巧用數(shù)學(xué)思想方法，則做起題目來(lái)能游刃有余。

本文結(jié)合課堂實(shí)例，說(shuō)明了轉(zhuǎn)化思想、整體思想、方程思想、變換思想等數(shù)學(xué)思想方法在中的巧用。

一、巧用知識(shí)，引入轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想就是把“陌生”的問題轉(zhuǎn)化為“熟悉”的問題，把“抽象”的問題轉(zhuǎn)化為“具體”的問題，把“復(fù)雜”的問題轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單”的問題，如將四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題，將梯形的問題轉(zhuǎn)化為三角形和平行四邊形的問題來(lái)處理。

例1 如圖1：已知等腰梯形ABCD中，AD‖BC，∠B=600，AD=4，BC=10,求等腰梯形的周長(zhǎng)。

質(zhì)疑啟思：

（1）如何求等腰梯形的周長(zhǎng)？

（2）由AD‖BC，再加一個(gè)什么條件便可構(gòu)造一個(gè)平行四邊形？

（3）∠B=600在圖中有何作用？

（4）能否把AB，DC的邊轉(zhuǎn)化為其他同等的邊？

合作探究：

（1）學(xué)生通過討論可知要求等腰梯形的周長(zhǎng)，除了知AD、BC長(zhǎng)度，還要知道AB、DC的長(zhǎng)。

（2）由AD‖BC條件，要構(gòu)造平行四邊形，可以作 DC‖AE，此時(shí)等腰梯形ABCD便轉(zhuǎn)化為熟悉的等腰三角形和平行四邊形。

（3）由∠B=600，可得等腰三角形ABE是等邊三角形。

（4）因?yàn)槿切蜛BE是等邊三角形，所以三角形ABE三條邊相等，而AB、DC的長(zhǎng)度便可轉(zhuǎn)化為BE的長(zhǎng)。而要求BE的長(zhǎng)便可根據(jù)平行四邊形條件AD=EC，BE=BC –EC=BC-AD=10-4=6得到。

解析：求等腰梯形的周長(zhǎng)，則應(yīng)求出AB、CD兩腰的長(zhǎng)，但根據(jù)已知條件我們不能直接求出，那么可以把等腰梯形轉(zhuǎn)化成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形來(lái)求。如圖2，過點(diǎn)A作AE∥DC。則四邊形AECD是平行四邊形，所以EC=AD，從而可求出BE。又因?yàn)锳E=DC=AB，∠B=60°所以△ABE是等邊三角形。所以AB=BE，從而求出梯形ABCD的周長(zhǎng)。

解：如圖2：過點(diǎn)A作AE∥DC

因?yàn)?AD∥BC

所以四邊形AECD是平行四邊形

所以EC=AD，BE=BC-EC=BCAD=10-4=6

又因?yàn)锳E=DC=AB，∠B=60°

所以△ABE是等邊三角形

所以AB=BE=CD=6

所以梯形ABCD的周長(zhǎng)為：

AB+BC+CD+AD=6+10+6+4=26

轉(zhuǎn)化思想，是幾何中最常用的一種思想方法。通過思維的轉(zhuǎn)化，能提高學(xué)生的思維品質(zhì)。教學(xué)中利用轉(zhuǎn)化思想加以滲透，能使得學(xué)生在解決問題的過程中理解和掌握新知識(shí)，提高解決問題的能力。

二、眼觀大局，引入整體思想

整體思想就是根據(jù)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，把一組圖形視為一個(gè)整體去觀察、分析、研究問題的一種方法，這種思想在解決與四邊形相關(guān)的面積時(shí)常用到。

例2：（2009，廣西桂林）如圖3：在平行四邊形ABCD 中，AC、BD為對(duì)角線，BC=6，BC邊是的高為4,則陰影部分的面積為（ ） A 3 B 6 C 12 D 24

分析：根據(jù)已知條件，我們求陰影部分面積，只能將陰影部分面積看成一個(gè)整體。即把每一個(gè)陰影部分的三角形都有一個(gè)與它相對(duì)應(yīng)的全等的空白的三角形，所以整個(gè)陰影部分的面積為平行四邊形面積的一半：6×4÷2=12，所以選C

三、適當(dāng)假設(shè)，引入方程思想

所謂方程思想，就是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程，然后通過方程使問題得到解決。

例如，如圖4，在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，將矩形ABCD沿 CE折疊后，使點(diǎn)D恰好落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處。求EF的長(zhǎng)。

解析：要求出EF的長(zhǎng)度，可根據(jù)矩形的性質(zhì)及折疊特征，把EF放在直角三角形AEF中，根據(jù)勾股定理，由EF2+AF2=AE2可得到EF的長(zhǎng)度，

此時(shí)設(shè)EF=x,則：

EF=ED=x，CF=CD=12，

AC==20

所以AF=AC-FC=20-12=8

在直角三角形AFE中EF2+AF2=AE2

即x 2+82=（16- x）2

解得x =6即EF=6

四、巧妙轉(zhuǎn)換，引入變換思想

幾何變換思想是解決幾何證明問題及幾何計(jì)算中廣泛應(yīng)用，從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)考慮，使原來(lái)靜止的圖形動(dòng)起來(lái)，許多幾何問題的已知和結(jié)論之間相互聯(lián)系看起來(lái)不是很密切，但通過變換、平移、旋轉(zhuǎn)等方法來(lái)構(gòu)造，把圖形進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，其中某些部分移到新的位置，使原來(lái)聯(lián)系不密切的圖形在新的位置產(chǎn)生聯(lián)系，從而使問題得到解決。