文/廣州市第二中學(xué) 溫暉

試談解題后再思考的教學(xué)價(jià)值

文/廣州市第二中學(xué) 溫暉

日本著名教育心理學(xué)專(zhuān)家大橋正夫在他的《教育心理學(xué)》一書(shū)中指出，解決問(wèn)題的過(guò)程一般包括“問(wèn)題意識(shí)”“問(wèn)題分析”“解決問(wèn)題的行動(dòng)”“檢驗(yàn)結(jié)果”四個(gè)步驟。我們數(shù)學(xué)的教學(xué)，離不開(kāi)解題教學(xué)。解題相應(yīng)的也包括“審題”“分析探求”“解題行動(dòng)”“解題回顧”（即再思考）四個(gè)步驟。若說(shuō)“審題”是解題的起點(diǎn)，而解題后的“再思考”便是解題的歸宿，它遠(yuǎn)比前面三步更為重要。

一、結(jié)果的正誤，有利于學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)

嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)之一。它要求對(duì)概念理解完整，準(zhǔn)確；推理論證必須嚴(yán)密而有條理；敘述的結(jié)論必須正確而簡(jiǎn)潔。在教學(xué)中，教師如能不失時(shí)機(jī)地抓住學(xué)生在解題是由于思維的不嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)概念理解的不深刻，考慮問(wèn)題不全面而導(dǎo)致的錯(cuò)誤結(jié)果，有意識(shí)地啟發(fā)，引發(fā)學(xué)生對(duì)解結(jié)果的正確作出進(jìn)一步思考，以再思考中正確鑒別解題結(jié)果的真?zhèn)危媲邋e(cuò)誤出在何處，等等。長(zhǎng)此以往地加以訓(xùn)練和培養(yǎng)，不僅有利于學(xué)生對(duì)基本概念的進(jìn)一步理解和鞏固，而且有利學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)。例如，我們?cè)凇短菪沃形痪€(xiàn)性質(zhì)定理》的教學(xué)中，求證梯形的中位線(xiàn)等于梯形上、下兩底和的一半。通過(guò)分析讓學(xué)生掌握到證明梯形的中位線(xiàn)性質(zhì)，可將該條中位線(xiàn)轉(zhuǎn)化為某一三角形的中位線(xiàn)來(lái)解決。在引入輔助線(xiàn)時(shí)，有部分學(xué)生這樣敘述的：如圖：

①延長(zhǎng)DC至G，使CG=AB，連接AG；

②連接AF，并延長(zhǎng)AF交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，使CG=AB。這樣讓EF轉(zhuǎn)化為△ADG的中位線(xiàn)，利用三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)定理可得證，解完定理可得證。解完之后，學(xué)生喜顏悅色，對(duì)自己的證題結(jié)果及過(guò)程感到滿(mǎn)意。教師于是發(fā)問(wèn)：“你們對(duì)自己的證題過(guò)程感到滿(mǎn)意嗎？是否有新異？”有的學(xué)生說(shuō)：“第一種方法新作的輔助線(xiàn)，在證題時(shí)，還應(yīng)證A，E，G三點(diǎn)共線(xiàn)。”經(jīng)片刻思考后，又有學(xué)生舉手發(fā)言：“第二種方法所作的輔助線(xiàn)是錯(cuò)誤的?！苯處熡謫?wèn)“為什么呢？”全班學(xué)生繼續(xù)深入思考，有學(xué)生指出：“連接AF，并延長(zhǎng)與DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于G，但不一定CG=AD，應(yīng)證明?！蓖ㄟ^(guò)這樣不斷深入地引導(dǎo)學(xué)生去再思考，顯然比教師直接指出以上兩種輔助線(xiàn)的弊端要有價(jià)值得多，它對(duì)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)是有益處的。

二、思考解題的基本規(guī)律，有利于學(xué)生歸納思維的培養(yǎng)

一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題，其解法往往是有規(guī)律可循的。要減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，讓學(xué)生從題海中及時(shí)歸納總結(jié)其基本的解題規(guī)律，以達(dá)到舉一反三，觸類(lèi)旁通之目的。教學(xué)中，教師若能經(jīng)常啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生在解題之后去再思考一下，這類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本解題規(guī)律是什么？則不僅有利于學(xué)生對(duì)基本技能的掌握和運(yùn)用，而且有利于學(xué)生歸納思維能力的訓(xùn)練和培養(yǎng)。

例如，我們?cè)诮虒W(xué)一類(lèi)有關(guān)“一次函數(shù)圖像及二次函數(shù)的判別”時(shí)，先讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察一次函數(shù)的圖像y=kx+b（k≠0）。關(guān)鍵由k，b的符號(hào)決定，而k，b的符號(hào)有以下幾種情況：k>0，b>0；k>0，b<0；k<0，b>0；k<0，b<0。

學(xué)生觀(guān)察以上四種情況的圖像后，歸納出以下結(jié)論：

①當(dāng)直線(xiàn)與x軸正方向的夾角為銳角時(shí)，k>0，反之亦然；

②當(dāng)直線(xiàn)與x軸正方向的夾角為鈍角時(shí)，k<0，反之亦然；

③當(dāng)直線(xiàn)在y軸上的截距為正半軸時(shí)，b<0，反之亦然；

④當(dāng)直線(xiàn)在y軸上的截距為負(fù)半軸時(shí)，b>0。

有了以上的規(guī)律，無(wú)論所給的圖像多么復(fù)雜，學(xué)生判別起來(lái)亦就簡(jiǎn)單了。

例如，在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)y=ax2+b與y=ax+ b（ab≠0）的圖像大致是（）

學(xué)生們有了以上的規(guī)律可以這樣來(lái)分析：A.由一次函數(shù)圖像可見(jiàn)該直線(xiàn)與x軸正方向的夾角為鈍角，所以a<0，與二次函數(shù)圖像開(kāi)口方向向上a必須為a>0矛盾，顯然A錯(cuò)；B.由一次函數(shù)圖像可見(jiàn)該直線(xiàn)與x軸正方向的夾角為銳角；所以a>0，則二次函數(shù)圖像y=ax2+b其開(kāi)口方向應(yīng)向上，而圖所給為向下，矛盾，不選B；C.一次函數(shù)圖像a>0，b>0，則二次函數(shù)圖像開(kāi)口方向應(yīng)向上，在y軸上的截距應(yīng)在y軸的正半軸，所示圖不滿(mǎn)足，不選C；所以最后答案只能選D。以檢驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，答案D，也完全滿(mǎn)足條件。

一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決之后，教師有意識(shí)地啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生再思考，并歸納總結(jié)其基本解題規(guī)律，這比學(xué)生單純地解兩道題的意義更大。它的教學(xué)價(jià)值不僅使學(xué)生掌握了解這類(lèi)問(wèn)題的基本規(guī)律，而且使學(xué)生學(xué)到了由個(gè)別到一般的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練和培養(yǎng)了歸納思維能力。

三、思考解題的不同方法，有利于學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng)

對(duì)于一道數(shù)學(xué)題，往往由于審視的方位不同，而得到多種不同的解題方法。教學(xué)中，教師若能抓住一切有利時(shí)機(jī)，經(jīng)常有意識(shí)地啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生在掌握基本解法的基礎(chǔ)上，去再思考，再尋求更好、更美的解法，這不僅有利于學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的縱橫聯(lián)系和溝通，而且有利于學(xué)生發(fā)散思維的訓(xùn)練和培養(yǎng)。

解法1：作高FH1，AH2，

學(xué)生解完之后，教師首先肯定了這一解法，并指出要學(xué)生分析觀(guān)察圖形中△BFG及△BAD有否公共部分，學(xué)生分析到有一個(gè)公共的角B。學(xué)生深入思考后，以獲得如下幾個(gè)解法：

解法3：連結(jié)CF（或AG），

解題之后，在學(xué)生學(xué)完基本解法的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生再思考，訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力。要使學(xué)生能這樣再思考，并非一日之功，而必須在教師的指引下，經(jīng)常性地加以訓(xùn)練。

我接手帶的學(xué)生從起始年級(jí)到畢業(yè)年級(jí)，通過(guò)三年“再思考教學(xué)思維訓(xùn)練和培養(yǎng)”，無(wú)論是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的技巧技能和思想方法，還是思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維品質(zhì)和能力都有較大提高。同時(shí)，這也為培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的終極目標(biāo)——學(xué)會(huì)思考，奠定了基礎(chǔ)。

責(zé)任編輯 鄒韻文