李 論，廖祖華,3+，陳柳紅，宋 威，吳樹忠，朱曉英

1.江南大學 理學院，江蘇 無錫 214122

2.江南大學 至善學院，江蘇 無錫 214122

3.江南大學 智能系統(tǒng)與網絡計算研究所，江蘇 無錫 214122

4.江南大學 物聯網工程學院，江蘇 無錫 214122

KU 代數上的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想*

李 論1,2，廖祖華1,2,3+，陳柳紅1,2，宋 威4，吳樹忠1，朱曉英1

1.江南大學 理學院，江蘇 無錫 214122

2.江南大學 至善學院，江蘇 無錫 214122

3.江南大學 智能系統(tǒng)與網絡計算研究所，江蘇 無錫 214122

4.江南大學 物聯網工程學院，江蘇 無錫 214122

給出了KU代數的點態(tài)化(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想與廣義模糊正關聯理想的概念，得到了KU代數的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的一些等價刻畫，并指出了(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想有豐富的層次結構；其次得到了多個KU代數的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的交、并、同態(tài)像和同態(tài)原像（在一定條件下）也是(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想；而后又對KU代數(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的直積以及投影進行了研究；最后給出KU代數的正關聯理想的降（升）鏈條件的新概念，并利用(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的性質研究了KU代數的正關聯理想的降（升）鏈條件。

KU代數；(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想；同態(tài)映射；投影；降（升）鏈條件

1 引言

1965年，Zadeh[1]引入模糊集的概念，它是經典集合的推廣，能夠表示元素屬于它的程度，并被用來描述模糊現象，研究模糊問題。1971年，Rosenfeld[2]將模糊集的概念引入代數學，提出了模糊子群的概念，從而創(chuàng)立了模糊代數學。1981—1993年，Kuroki[3-7]研究了半群的模糊理想、模糊雙理想以及模糊半素理想的相關性質。1986年，Swamy等人[8]研究了環(huán)的模糊素理想。1980年，劉應明等人[9-10]提出模糊點和模糊集間的“∈”和“q”關系，隨后在1992年和1996年，Bhakat等人[11-12]在此基礎上給出了(∈,∈∨q)-模糊子群的概念。2011年，Jun等人[13]利用落影理論討論了BCK代數的模糊正關聯理想的性質。2012年，Tebu等人[14]研究了BCI代數的模糊n重正關聯理想。2013年，Zulfiqar[15]給出了 BCK 代數的(α,β)-模糊正關聯理想的概念，并研究了它的一些基本性質。

2006年，廖祖華等人[16]將“q”關系推廣到了“q(λ,μ)”模糊關系，統(tǒng)一了Rosenfeld意義下的模糊代數、Bhakat意義下的(∈,∈∨q)-模糊代數以及-模糊代數，提出了(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊代數。之后，他的研究團隊在這個方向做了一系列的研究[17-25]。其中，團隊成員張建忠等人在文獻[19]中提出了N(2,2,0)代數的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的新概念，并研究了它的一系列基本性質。

2009年，受BCK代數及數理邏輯的啟發(fā)，Prabpayak等人[26-27]通過保留BCK代數中的兩條公理（由KU代數的公理系統(tǒng)可以推出x?x=0）以及添加另外幾條公理，提出了KU代數的新概念，并引進了KU代數的理想。KU代數在計算機編碼等領域具有潛在的應用價值。在文獻[28]中，Rezaei等人證明了KU代數與交換自分配BE代數是等價的，自分配KU代數與Hilbert代數是等價的，并指出了KU代數、BE代數、Hilbert代數、蘊涵代數以及對偶BCK代數之間的關系。而FI代數[29]的公理系統(tǒng)的第2、3、4條也與KU代數公理系統(tǒng)的第1、4條及其性質相類似，格蘊涵代數[30]公理系統(tǒng)中的兩條與KU代數公理系統(tǒng)也相類似，于是它們會有一些共同的性質。

2011年，Mostafa等人[31-32]提出了KU代數的模糊理想及直覺模糊理想，并在2014年給出了KU代數的正關聯理想[33]的概念。2014年，Gulistan等人[34-35]研究了 KU 代數的(α,β)-模糊理想以及(∈,∈∨qk)-模糊理想的基本性質，Muhiuddin[36]研究了KU代數的雙極值模糊理想的基本性質。2016年，Senapati等人[37]研究了KU代數的直覺模糊雙正規(guī)理想的基本性質。

1921年，Noether[38]提出了環(huán)的升鏈條件。1927年，Artin[39]提出了用降鏈來區(qū)別環(huán)。2016年，路騰等人[25]給出了坡代數的-模糊理想的概念，并利用它刻畫了坡的濾子的鏈條件。

以這些研究工作為基礎，本文提出了KU代數的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想、廣義模糊正關聯理想的概念和KU代數正關聯理想的鏈條件，并研究了它們的性質。其中，(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想比其他模糊正關聯理想有豐富的層次結構。從例1知，KU 代數的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想是(∈,∈)-模糊正關聯理想和(∈,∈∨q)-模糊正關聯理想的非平凡推廣。

本文組織結構如下：第2章給出有關KU代數和模糊集的基礎知識；第3章給出KU代數的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的新概念，研究了它的等價刻畫、交、并以及偏序等性質；第4章得到了(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的同態(tài)像和原像（在一定條件下）依然是(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的結論；第5章得出(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的直積依然是(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想、(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的投影依然是(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的結論；第6章用(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的性質，對KU代數正關聯理想的降（升）鏈條件進行刻畫。

2 預備知識

下面給出有關KU代數及模糊集的基礎知識。

首先，給出KU代數及集合的一些基本知識。

定義1[26-27]（KU代數）設G是含有常元0的一個非空集合，若在G上定義二元運算“?”，?x,y,z∈G，滿足下列條件：

（1）(x?y)?((y?z)?(x?z))=0；

（2）0?x=x；

（3）x?0=0；

（4）若x?y=0且y?x=0，則x=y。

稱G=(G,?,0)為KU代數。

由（1）可知，?x∈G，x?x=0；?x,z∈G，z?(x?z)=0。

在KU代數G上引入一個二元關系≤，則x≤y的充要條件是y?x=0。易證，(G;≤)是一個偏序集，0是它最小的元素。

下文不特殊說明，G與G′均表示KU代數。

定義2[33]（KU代數的正關聯理想）設G是KU代數，A是G的一個非空子集，如果滿足下列條件：

（1）0∈A；

（2）?x,y,z∈G，若z?(x?y)∈A，z?x∈A，有z?y∈A。則稱A是G的一個正關聯理想。

定理1[31]設G與G′是兩個KU代數，那么在G×G′上規(guī)定運算“?”，?(x1,x2),(y1,y2)∈G×G′，(x1,x2)?(y1,y2)=(x1?y1,x2?y2)，則(G×G′,?,(0,0′))也是 KU 代數。

定義3[27]設G與G′是KU代數，映射f:G→G′，如果?x,y∈G，滿足：

則稱f是同態(tài)映射。若f是單射，則稱f是單同態(tài)；若f是滿射，則稱f是滿同態(tài)；若f是雙射，則稱f是同構。

定義4[40]（良序集）設集合(S,≤)為一偏序集，≤是其偏序關系，若對任意的S的非空子集，在其序下都有最小元素，則稱≤為良序關系，(S,≤)為良序集。

其次，給出模糊集的一些基本知識。

定義5[16]（模糊點）若A是G的模糊子集，且

則稱A為一個模糊點，記為xλ。

定義6[16]設t,λ,μ∈[0,1],λ＜μ，且A是G的模糊子集。若A(x)≥t，則稱xt屬于A，記作xt∈A。如果t＞λ且A(x)+t＞2μ，則稱模糊點xt廣義重于A，記作xtq(λ,μ)A。如果xt∈A或xtq(λ,μ)A，則記作xt∈∨q(λ,μ)A。

定義7[17]（模糊集的直積）設A、B分別是非空集合G、G′的模糊集，定義映射A×B:G×G′→[0,1]，(A×B)(x,y)=A(x)∧B(y),?(x,y)∈G×G′，則A×B是G×G′的模糊子集，并稱A×B是A與B的直積。

定義8[17]（模糊集的投影）G與G′是兩個非空集合，A×B是G×G′的模糊子集，分別定義G、G′的模糊子集為：

并稱AG和BG′分別是A×B在G與G′上的投影。

定義9[41]（f-不變性）設G與G′為兩個集合，f:G→G′是映射，A是G上的模糊子集，?x,y∈G，當f(x)=f(y)時，有A(x)=A(y)，則稱A是關于f-不變的。

定義10[42]（擴張原理）設有映射f:X→Y，則由該映射可以誘導出兩個如下映射，分別記為f與f-1：

稱f(A)是A在f下的像，f-1(B)是B關于f的逆像。

3 (∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想

本節(jié)給出 KU 代數的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的新概念，并討論它的等價刻畫及交并等其他基本性質。

KU代數的正關聯理想是邏輯推理中假言三段論的一種抽象，而對它的模糊代數結構的研究在控制、信息論及邏輯推理方面有潛在的應用。

定義11設A是KU代數G的一個模糊子集，如果A滿足：

（Ⅰ）?t∈(λ,1]，?x∈G，若xt∈A，有0t∈∨q(λ,μ)A；

（Ⅱ）?t1,t2∈(λ,1]，?x,y,z∈G，若(z?(x?y))t1∈A，(z?x)t2

∈A，有(z?y)t1∧t2∈∨q(λ,μ)A。

定義12設A是KU代數G的一個模糊子集，?x,y,z∈G，如果A滿足：

（Ⅳ）A(z?y)∨λ≥A(z?(x?y))∧A(z?x)∧μ。

則稱A是G的廣義模糊正關聯理想。

下面討論(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想、廣義模糊正關聯理想及模糊集的水平集之間的關系。

定理3設A是G上的模糊子集，則下列條件是等價的：

（1）A是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想；

（2）A是G的廣義模糊正關聯理想；

（3）對于任意的t∈(λ,μ]，At={x|A(x)≥}t≠?是G的正關聯理想。

以護理學基礎教學大綱為依據，通過與教學及臨床護理專家研討，確定臨床工作亟須知識及技能，結合貼近臨床護理一線工作的理論與實際操作內容，確定教學重點、難點，確定微課作品主題。發(fā)放調查問卷，了解對照組護生在護理學基礎學習過程中存在的問題及需要加強的知識點，結合護生感性需求，從內容選擇、教學活動安排、教學反思等方面設計、制作20節(jié)微課，并上傳至微信公眾平臺和校園網絡教學平臺，供試驗組護生觀看、學習。

證明（1）?（2）

（Ⅰ）?（Ⅲ）假設存在x0∈G，使得A(0)∨λ＜A(x0)∧μ。令t=A(x0)∧μ，則λ＜t≤μ,A(x0)≥t，所以(x0)t∈A。根據定義11知0t∈∨q(λ,μ)A，而A(0)＜t≤μ，A(0)+t＜t+t≤2μ，矛盾。

（Ⅱ）?（Ⅳ）假設?x0,y0,z0∈G，使得A(z0?y0)∨λ＜A(z0?(x0?y0))∧A(z0?x0)∧μ。取t=A(z0?(x0?y0))∧A(z0?x0))∧μ，則t∈(λ,μ]，(z0?(x0?y0))t∈A，(z0?x0)t∈A且(z0?y0)t?A，但由（Ⅱ）知(z0?y0)t∈∨q(λ,μ)A，因此(z0?y0)tq(λ,μ)A，A(z0?y0)+t＞2μ。A(z0?y0)＞2μ-t≥μ≥t，即(z0?y0)t∈A，與(z0?y0)t?A矛盾，從而（Ⅳ）成立。

（2）?（1）

（Ⅲ）?（Ⅰ）?x∈G，?t∈(λ,1]，若xt∈A，則A(x)≥t。因為A是G的廣義模糊正關聯理想，故A(0)∨λ≥A(x)∧μ≥t∧μ。若t≤μ，因為λ＜t，所以A(0)≥t，從而0t∈A；若t＞μ，則A(0)∨λ≥μ。因為λ＜μ，所以A(0)≥μ。因此A(0)+t≥μ+t＞2μ，即0tq(λ,μ)A，從而0t∈∨q(λ,μ)A。

（Ⅳ）?（Ⅱ） 若t1,t2∈(λ,1]，?x,y,z∈G，使得(z?(x?y))t1,(z?x)t2∈A，則A(z?(x?y))≥t1，A(z?x)≥t2。又因為A是廣義模糊正關聯理想，所以A(z?y)∨λ≥A(z?(x?y))∧A(z?x)∧μ。故A(z?y)∨λ≥(t1∧t2)∧μ。若(t1∧t2)≤μ，因為λ＜t1且λ＜t2，所以A(z?y)≥t1∧t2，即(z?y)t1∧t2∈A；若(t1∧t2)＞μ，則A(z?y)≥μ。因此A(z?y)+(t1∧t2)≥μ+(t1∧t2)＞2μ，故(z?y)t1∧t2q(λ,μ)A，從而(z?y)t1∧t2∈∨q(λ,μ)A。

（2）?（3）

?t∈(λ,μ]，若At≠?，則?x∈At，A(x)≥t。由（Ⅲ）知，A(0)∨λ≥A(x)∧μ≥t∧μ=t。因為t＞λ，所以A(0)≥t，0∈At。又?z?(x?y),z?x∈At，有A(z?(x?y))≥t且A(z?x)≥t，再由（Ⅳ）知，A(z?y)∨λ≥A(z?(x?y))∧A(z?x)∧μ≥t∧μ=t。因為t＞λ，所以A(z?y)≥t。故z?y∈At，從而At是G的一個正關聯理想。

（3）?（2）

假設存在x∈G，滿足A(0)∨λ＜A(x)∧μ。令t=A(x)∧μ，則λ＜t≤μ，A(x)≥t且A(0)＜t，因此x∈At，At≠?。由已知條件，At是G的正關聯理想，所以0∈At，即A(0)≥t。但A(0)＜t，矛盾。因此，?x∈G有A(0)∨λ≥A(x)∧μ。又若?x,y,z∈G，使得A(z?y)∨λ＜A(z?(x?y))∧A(z?x)∧μ，則取t=A(z?(x?y))∧A(z?x)∧μ。因此t∈(λ,μ]，A(z?(x?y))∧A(z?x)≥t 且A(z?y)＜t，從而z?(x?y)，z?x∈At。又At是G的正關聯 理 想，因 此z?y∈At，即A(z?y)≥t。又因為A(z?y)＜t，矛盾，所以?x,y,z∈G，有A(z?y)∨λ≥A(z?(x?y))∧A(z?x)∧μ。

綜上所述，A是G的廣義模糊正關聯理想。

當λ=0,μ=1時，可以得到KU代數的(∈,∈)-模糊正關聯理想。

推論1設A是G上的模糊子集，下列條件是等價的：

（1）A是G的(∈,∈)-模糊正關聯理想；

（2）A(0)≥A(x)且A(z?y)≥A(z?(x?y))∧A(z?x)；

（3）對于任意的t∈(0,1]，At={x|A(x)≥t}≠? 時是G的正關聯理想。

當λ=0,μ=0.5時，可以得到 KU 代數的(∈,∈∨q)-模糊正關聯理想。

推論2設A是G上的模糊子集，下列條件是等價的：

（1）A是G的(∈,∈∨q)-模糊正關聯理想；

（2）A(0)≥A(x)∧0.5 且A(z?y)≥A(z?(x?y))∧A(z?x)∧0.5；

（3）對于任意的t∈(0,0.5]，非空集合At={x|A(x)≥t}是G的正關聯理想。

例1設G={0,1,2,3,4}，定義“?”，運算表如表1，則(G,?,0 )是KU代數。

Table1 Operator“?”表1 運算“?”

（1）A1:G→[0,1]，A1(0)=0.4，A1(1)=0.6，A1(2)=0.6，A1(3)=0.3，A1(4)=0.2，其中λ=0.1＜A1(4)＜A1(3)＜A1(0)=μ＜A1(1)=A1(2)＜1?？沈炞CA1是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。因為A1(0)=0.4＜0.5=A1(2)∧0.5，所以A1不是G的(∈,∈∨q)-模糊正關聯理想。又因為A1(0)=0.4＜0.6=A1(2)，所以A1也不是G的(∈,∈)-模糊正關聯理想。

（2）A2:G→[0,1]，A2(0)=0.5，A2(1)=A2(2)=0.6，A2(3)=0.3，A2(4)=0.2。其中，0＜λ＜A2(4)＜A2(3)＜A2(0)=0.5＜μ＜A2(1)=A2(2)＜1，則由定義知A2是G的(∈,∈∨q)-模糊正關聯理想。因為A2(0)∨λ=0.5＜A2(2)∧μ，所以A2不是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。又因為A2(0)=0.5＜0.6=A2(1)，所以A2也不是G的(∈,∈)-模糊正關聯理想。

（3）A3:G→[0,1]，A3(0)=0.6，A3(1)=A3(2)=0.4，A3(3)=0.3，A3(4)=0.2。其中，0＜λ＜A3(4)＜A3(3)＜A3(2)=A3(1)＜μ＜A3(0)＜1。因此，?x,y,z∈G，A3是G的(∈,∈)-模糊正關聯理想。

由此可知，(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想是與(∈,∈)-模糊正關聯理想及(∈,∈∨q)-模糊正關聯理想不同的一種新的模糊代數結構。

定理 4A為G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的充要條件是?t∈[λ,μ)，當A(t)={x|A(x)＞t}≠? 時，A(t)為G的正關聯理想。

證明必要性：?t∈[λ,μ)，若A(t)非空，則?x∈A(t)，因此A(x)＞t。因為A為G的(∈，∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想，所以A(0)∨λ≥A(x)∧μ＞t。因為t≥λ，故A(0)＞t，所以0∈A(t)。又?x,y,z∈G，若z?(x?y)∈A(t)，z?x∈A(t)，因為A為G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想，所以A(z?y)∨λ≥A(z?(x?y))∧A(z?x)∧μ＞t。因為t≥λ，所以A(z?y)＞t，即z?y∈A(t)，故A(t)是G的正關聯理想。

充分性：若?x∈G，使得A(0)∨λ＜A(x)∧μ，令t=A(0)∨λ，則t∈[λ,μ)。因此A(x)＞t，x∈A(t)，A(t)非空。又已知A(t)是G的正關聯理想，于是0∈A(t)，即A(0)＞t。又因為A(0)＜t，矛盾。所以?x∈G，都有A(0)∨λ≥A(x)∧μ。

假設存在x,y,z∈G，使得A(z?y)∨λ＜A(z?(x?y))∧A(z?x)∧μ。令t=A(z?y)∨λ，則A(z?x)＞t，A(z?(x?y))＞t，即z?x,z?(x?y)∈A(t)。又A(t)是G的正關聯理想，于是z?y∈A(t)，即A(z?y)＞t。又因為A(z?y)≤t，矛盾。所以?x,y,z∈G,A(z?y)∨λ≥A(z?(x?y))∧A(z?x)∧μ。

綜上所述，A為G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。

定理5至定理 7討論(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的層次結構。

定理5A為G的模糊子集，?t∈(μ,1]，?≠At是G的正關聯理想的充要條件是下列兩條成立：

（1）A(x)≤A(0)∨μ；

（2）A(z?(x?y))∧A(z?x)≤A(z?y)∨μ。

證明必要性：若（1）不成立，假設存在x∈G滿足A(x)＞A(0)∨μ。取t=A(x)，則x∈At，t∈(μ,1]。但0?At，因為At是G的正關聯理想，所以0∈At，矛盾。從而?x∈G，有A(x)≤A(0)∨μ。

若（2）不成立，則?x,y,z∈G，使得A(z?(x?y))∧A(z?x)＞A(z?y)∨μ。令t=A(z?(x?y))∧A(z?x)，則t∈(μ,1]，A(z?(x?y))≥t，A(z?x)≥t且A(z?y)＜t，因此z?(x?y)∈At且z?x∈At。因為At是G的正關聯理想，所以z?y∈At，即A(z?y)≥t，與A(z?y)＜t矛盾。從而?x,y,z∈G，有A(z?(x?y))∧A(z?x)≤A(z?y)∨μ。

充分性：?t∈(μ,1]且?≠At，則?x∈At。由（1）知A(x)≤A(0)∨μ，即A(0)∨μ≥t。因為t＞μ，所以A(0)≥t，0∈At。又?x,y,z∈G，若z?(x?y)∈At，z?x∈At，則A(z?(x?y))≥t，A(z?x)≥t。由（2）知A(z?y)∨μ≥A(z?(x?y))∧A(z?x)≥t，因為t＞μ，所以A(z?y)≥t，即z?y∈At，從而At是G的正關聯理想。

推論3A為G的模糊子集，?t∈(μ,1]，?≠At是G的正關聯理想的充要條件是A是(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。

定理6A為G的模糊子集，?t∈(0,λ]，?≠At是G的正關聯理想的充要條件是下列兩條成立：

（1）A(x)∧λ≤A(0)；

（2）A(z?(x?y))∧A(z?x)∧λ≤A(z?y)。

證明必要性：若（1）不成立，則存在x∈G使得A(x)∧λ＞A(0)。取t=A(x)∧λ，則x∈At，t∈(0,λ]。因為At是G的正關聯理想，所以0∈At，A(0)≥t，與A(0)＜t矛盾。故?x∈G，有A(x)∧λ≤A(0)。

若（2）不成立，則?x,y,z∈G，使得A(z?(x?y))∧A(z?x)∧λ＞A(z?y)。令t=A(z?(x?y))∧A(z?x)∧λ，則t∈(0,λ],A(z?(x?y))≥t且A(z?x)≥t，因此z?(x?y),z?x∈At。因為At是G的正關聯理想，所以z?y∈At。A(z?y)≥t與A(z?y)＜t，矛盾。故（2）成立。

充分性：?t∈(0,λ]，?≠At，則?x∈At，因此A(x)≥t。又由（1）成立，因此A(0)≥A(x)∧λ≥t∧t=t，即0∈At。又?x,y,z∈G，若z?(x?y)，z?x∈At，由（2）知A(z?y)≥A(z?(x?y))∧A(z?x)∧λ≥t，所以z?y∈At，從而At是G的正關聯理想。

推論4A為G的模糊子集，?t∈(0,λ]，?≠At是G的正關聯理想的充要條件是A是(∈,∈∨q(0,λ))-模糊正關聯理想。

由定理3、定理5和定理6得到定理7，它表明(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想比(∈,∈)-模糊正關聯理想和(∈,∈∨q)-模糊正關聯理想有更豐富的層次結構。

定理7A是模糊子集，At(t∈(0,1])是A的水平集，則下列結論成立。

（1）?t∈(0,λ],At≠? 是G的正關聯理想的充要條件是A是(∈,∈∨q(0,λ))-模糊正關聯理想。

（2）?t∈(λ,μ],At≠? 是G的正關聯理想的充要條件是A是（ ∈， ∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。

（3）?t∈(μ,1],At≠? 是G的正關聯理想的充要條件是A是(∈,∈∨q(μ,1))-模糊正關聯理想。

定理8A是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想，則A(z?(z?x))∨λ≥A(z?x)∧μ。

證明(A(z?(z?x))∨λ)∨λ≥(A(z?(x?(z?x)))∧A(z?x)∧μ)∨λ=(A(z?0)∧A(z?x)∧μ)∨λ=(A(0)∧A(z?x))∨λ=(A(0)∨λ)∧(A(z?x)∨λ)≥(A(z?x)∧μ)∧A(z?x)=A(z?x)∧μ。

以下兩個定理討論(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想族的交和并。

定理 9若 {Ai}i∈I是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想族，則Ai也是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。

證明?x∈G，則(Ai)(0)∨λ=(Ai)(0)∨λ=(Ai(0)∨λ)≥(Ai(x)∧μ)=(Ai(x))∧μ=(Ai)(x)∧μ，因此（Ⅲ）成立。又?x,y,z∈G,(Ai)(z?y)∨λ=(Ai(z?y))∨λ=(Ai(z?y)∨λ)≥(Ai(z?(x?y))∧Ai(z?x)∧μ)≥(Ai(z?(x?y))∧(Ai(z?x))∧μ=(Ai)(z?(x?y))∧Ai)(z?x)∧μ，因此（Ⅳ）成立。

定理 10如果 {Ai}i∈I是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想族，并對所有的i,j∈I，Ai?Aj或Aj?Ai，則Ai也是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。

證明?x∈G，則(Ai)(0)∨λ=(Ai(0))∨λ=(Ai(0)∨λ)≥(Ai(x)∧μ)=(Ai)(x)∧μ，因此（Ⅲ）成立。

定理11設A為G的非空子集，B為G的模糊子集定義如下：

其中t＜s，0≤t＜μ,λ＜s≤1，則B是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的充要條件是A是G的正關聯理想。

證明?α∈(λ,μ]

當0≤t≤λ，λ＜s＜μ時：

根據定理3可知B是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。

推論5A是G的正關聯理想的充要條件是A的特征函數 χA是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。

推論5說明(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的定義是合理的。

下面利用G的偏序關系討論(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想有關的性質。

定理12設A是G的一個(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想，如果不等式x?y≤z在G中成立，那么A(y)∨λ≥A(z)∧A(z?x)∧μ。

證明若x?y≤z，則z?(x?y)=0。又A(y)∨λ=A(0?y)∨λ≥A(0?(z?y))∧A(0?z)∧μ=A(z?y)∧A(z)∧μ，則A(y)∨λ=(A(y)∨λ)∨λ≥(A(z?y)∧A(z)∧μ)∨λ=(A(z?y)∨λ)∧(A(z)∨λ)∧(λ∨μ)≥(A(z?(x?y))∧A(z?x)∧μ)∧A(z)∧μ=A(z?(x?y))∧A(z?x)∧A(z)∧μ=A(0)∧A(z?x)∧A(z)∧μ。

從而A(y)∨λ=(A(y)∨λ)∨λ≥(A(0)∧A(z?x)∧A(z)∧μ)∨λ=(A(0)∨λ)∧(A(z?x)∨λ)∧(A(z)∨λ)∧(λ∨μ)≥A(z?x)∧μ∧A(z?x)∧A(z)∧μ=A(z)∧A(z?x)∧μ。

定理13設A是G的一個(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想，如果y≤x，那么A(y)∨λ≥A(x)∧μ。

證明若y≤x，則x?y=0，因此A(y)∨λ=(A(0?y)∨λ)∨λ≥(A(0?(x?y))∧A(0?x)∧μ)∨λ=(A(0?0)∧A(x)∧μ)∨λ=(A(0)∨λ)∧((A(x)∧μ)∨λ)≥(A(x)∧μ)∧((A(x)∧μ)∨λ)≥A(x)∧μ。

4 (∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的像與原像

下面給出(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的同態(tài)像與原像的性質。

定理14設f是G到G′的同態(tài)，B是G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正 關 聯理想，則 f-1(B)是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。

證明先證明f-1(B)滿足（Ⅰ）。?t∈(λ,1]，?x∈G，若xt∈f-1(B)，有f-1(B)(x)=B(f(x))≥t，即(f(x))t∈B。因為B是G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想，所以(0′)t∈∨q(λ,μ)B。又因為f是G到G′的同態(tài)，所以f(0)=f(0 ?0)=f(0)?f(0)=0′。若(0′)t∈B，則B(0′)≥t，那么f-1(B)(0)=B(f(0))=B(0′)≥t，從而0t∈f-1(B)。若(0′)tq(λ,μ)B，則f-1(B)(0)+t=B(f(0))+t=B(0′)+t＞2μ，于是0tq(λ,μ)f-1(B)，從而0t∈∨q(λ,μ)f-1(B)。

再證f-1(B)滿足（Ⅱ）。?t1,t2∈(λ,1]，?x,y,z∈G，若(z?x)t1

∈f-1(B),(z?(x?y))t2∈f-1(B)，則B(f(z)?f(x))=B(f(z?x))=f-1(B)(z?x)≥t1，B(f(z)?(f(x)?f(y)))=B(f(z?(x?y)))=f-1(B)(z?(x?y))≥t2，因此(f(z)?f(x))t1∈B，(f(z)?(f(x)?f(y)))t2∈B。又因為B是G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想，所以(f(z)?f(y))t1∧t2∈∨q(λ,μ)B。若(f(z)?f(y))t1∧t2∈B，則f-1(B)(z?y)=B(f(z?y))=B(f(z)?f(y))≥t1∧t2，從而(z?y)t1∧t2∈f-1(B)；若(f(z)?f(y))t1∧t2q(λ,μ)B，則 f-1(B)(z?y)+t1∧t2=B(f(z?y))+t1∧t2=B(f(z)?f(y))+t1∧t2＞2μ，因此(z?y)t1∧t2q(λ,μ)f-1(B)。從而(z?y)t1∧t2∈∨q(λ,μ)f-1(B)。

綜上所述f-1(B)是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。

定理15A是G的模糊子集，f是G到G′的同態(tài)，且A是f-不變的。若f(A)是G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想，則A是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。

證明（1）?t∈(λ,1]，?x∈G，若xt∈A，則A(x)≥t。令y=f(x)，因為A是f-不變的，所以f(A)(y)=A(w)=A(x)≥t，即yt∈f(A)。又因為f(A)是G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想，所以0′t∈∨q(λ,μ)f(A)。若0′t∈f(A)，即f(A)(0′)≥t，則(0′)≥t，即0t∈A。若0′tq(λ,μ)f(A)，則t=f(A)(0′)+t＞2μ。因此，0t∈∨q(λ,μ)A。

（2）?x,y,z∈G，?t1,t2∈(λ,1]，若(z?(x?y))t1∈A，(z?x)t2∈A，則A(z?(x?y))≥t1，A(z?x)≥t2。令f(x)=x′，f(y)=y′，f(z)=z′。因為f 是同態(tài)映射，則f(z?y)=f(z)?f(y)=z′?y′且f(z?(x?y))=z′?(x′?y′)，又因為A是f-不變的，所以(x′?y′))，。因此(z′?(x′?y′))t1∈f(A) 且(z′?x′)t2∈f(A)。而f(A)是G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想，于是(z′?y′)t1∧t2∈∨q(λ,μ)f(A)，即(z′?y′)t1∧t2∈f(A) 或(z′?y′)t1∧t2q(λ,μ)f(A)，因 此，或。從而(z?y)t1∧t2∈∨q(λ,μ)A。

綜上所述，A是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。

定理16設f是G到G′的滿同態(tài)，且A是f-不變的，則A是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的充要條件是f(A)是G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。

證明必要性：（1）?y∈G′，?t∈(λ,1]。因為f是滿射，所以?x0∈G使得f(x0)=y。若yt∈f(A)，則t≤f(A)(y)=A(x)=A(x0)，從而(x0)t∈A。因為A是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想，所以若0t∈A，即A(0)≥t，則f(A)(0′)=A(x)≥A(0)≥t，從而(0′)t∈f(A)。若0tq(λ,μ)A，則 f(A)(0′)+t=A(x)+t=A(0)+t＞2μ，故(0′)t∈∨q(λ,μ)f(A)。

（2）?x′,y′,z′∈G，?t1,t2∈(λ,1]，因為f 是滿同態(tài)，所以?x,y,z∈G，使得f(x)=x′，f(y)=y′，f(z)=z′，且f(z?(x?y))=z′?(x′?y′)。若(z′?(x′?y′))t1∈f(A)，(z′?x′)t2

∈A。因為A是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想，所以(z?y)t1∧t2

∈∨q(λ,μ)A。f(A)(z′?y′)=A(w)=A(z?y)≥t1∧t2，或者f(A)(z′?y′)+t1∧t2=A(w)+t1∧t2=A(z?y)+t1∧t2＞2μ。故(z′?y′)t1∧t2∈∨q(λ,μ)f(A)。從而f(A)是G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。

充分性：由定理15的結論可得。

5 (∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的直積與投影

下面給出(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的直積及投影的性質。

定理17如果A、B分別是KU代數G與G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想，則直積A×B是 G×G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。

證明因為A、B分別是 KU代數G與G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想，所以A、B分別是 KU代數G與G′的廣義模糊正關聯理想。于是?(x,y)∈G×G′，其中x∈G,y∈G′，有(A×B)(0,0)∨λ=(A(0)∧B(0))∨λ=(A(0)∨λ)∧(B(0)∨λ)≥(A(x)∧μ)∧(B(y)∧μ)=A(x)∧B(y)∧μ=(A×B)(x,y)∧μ。又?(x1,x2),(y1,y2),(z1,z2)∈G×G′，其中x1,y1,z1∈G,x2,y2,z2∈G′，則：

(A×B)((z1,z2)?(y1,y2))∨λ=(A×B)(z1?y1,z2?y2)∨λ=(A(z1?y1)∧B(z2?y2))∨λ=(A(z1?y1)∨λ)∧(B(z2?y2)∨λ)≥(A(z1?(x1?y1))∧A(z1?x1)∧μ)∧(B(z2?(x2?y2))∧B(z2?x2)∧μ)=(A(z1?(x1?y1))∧B(z2?(x2?y2)))∧(A(z1?x1)∧B(z2?x2))∧μ=(A×B)(z1?(x1?y1),z2?(x2?y2))∧(A×B)(z1?x1,z2?x2)∧μ=(A×B)((z1,z2)?((x1,x2)?(y1,y2)))∧(A×B)((z1,z2)?(x1,x2))∧μ

綜上，A×B是G×G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。

定理18如果A×B是 G×G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想，則AG是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想，BG′是G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。

證明因為A×B是G×G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想，由定理3知，A×B是G×G′的廣義模糊正關聯理想。

（1）?x∈G，AG(0)∨λ=((A×B)(0,z))∨λ=((A(0)∧B(z))∨λ=(((A(0)∨λ)∧(B(z)∨λ))≥((A(x)∧μ)∧B(z))=(A(x)∧B(z))∧μ=((A×B)(x,z))∧μ=AG(x)∧μ。

（2）又?x,y,z∈G，AG(z?y)∨λ=((A×B)(z?y,w))∨λ∨λ=((A×B)(z?y,w)∨λ)∨λ≥((A×B)(z?y,0′)∨λ)∨λ=((A×B)((z,0′)?(y,0′))∨λ)∨λ≥[(A×B)((z,0′)?((x,w1)?(y,0′)))∧(A×B)((z,0′)?(x,w1))∧μ]∨λ=((A×B)(z?(x?y),0′)∧(A×B)(z?x,w1)∧μ)∨ λ=((A(z?(x?y))∧B(0′))∧((A×B)(z?x,w1)∧μ))∨λ=(A(z?(x?y))∨λ)∧((B(0′)∨λ)∧((A×B)(z?x,w1)∧μ)∨ λ) ≥A(z?(x?y))∧(B(w2)∧μ)∧((A×B)(z?x,w1)∧μ)=((A×B)(z?(x?y),w2)∧(A×B)(z?x,w1)∧μ。

由w2的任意性，得AG(z?y)∨λ≥((A×B)(z?(x?y),w2)∧(A×B)(z?x,w1)∧μ)=((A×B)(z?(x?y),w2))∧(A×B)(z?x,w1)∧μ=AG(z?(x?y))∧(A×B)(z?x,w1)∧μ。

再由w1的任意性，得AG(z?y)∨λ≥(AG(z?(x?y))∧(A×B)(z?x,w1)∧μ)=AG(z?(x?y))∧((A×B)(z?x,w1))∧μ=AG(z?(x?y))∧AG(z?x)∧μ。

綜合（1）和（2）知，AG是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。

同理可證BG′是G′的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。

6 (∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的鏈條件

下面給出KU代數正關聯理想的鏈條件的新概念，并利用(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的性質對鏈條件進行刻畫。

定義13（鏈條件）設Ai(i=1,2,…)是KU代數G的正關聯理想，如果它的任意正關聯理想降鏈序列A1?A2?…An?…只有有窮項，即對于任意含無窮項的正關聯理想降鏈序列A1?A2?…An?…必定有一個正整數存在，自m項后的所有正關聯理想都相等，即Am=Am+1=…，則稱G關于正關聯理想滿足降鏈條件（也稱G關于正關聯理想是阿丁的）。

類似地，可以定義G關于正關聯理想的升鏈條件（也稱G關于正關聯理想是諾特的）。

定義14（對偶良序集）設集合(S,≤)為一偏序集，≤是其偏序關系，若對任意的S的非空子集，在其序下都有最大元素，則稱≤為對偶良序關系，(S,≤)為對偶良序集。

定理19設G是KU代數，{Ai}i∈I是G的正關聯理想族，若?i,j∈I有Ai?Aj或Aj?Ai，那么A=Ai是G的正關聯理想。

證明因為Ai(i=1,2,…)是G的正關聯理想，所以0∈Ai，即0∈Ai=A。又因為?x,y,z∈G，若z?(x?y)∈A且z?x∈A，所以存在i1、i2使得z?(x?y)∈Ai1，z?x∈Ai2。由已知Ai1?Ai2或Ai2?Ai1，不妨設Ai1?Ai2，從而z?(x?y)∈Ai1?Ai2。又因為Ai2是正關聯理想，故z?y∈Ai2?Ai1。所以A=Ai是G的正關聯理想。

定理20設G為KU代數，{Ai}i∈I是G的正關聯理想族，那么A=Ai是G的正關聯理想。

證明?i∈I，因為Ai是G的正關聯理想，所以0∈Ai，即0∈Ai=A。又?x,y,z∈G，若z?(x?y)∈A且z?x∈A，于是?i∈I，有z?(x?y)∈Ai及z?x∈Ai。因為Ai是G的正關聯理想，故z?y∈Ai，所以z?y∈A。因此，A=Ai是G的正關聯理想。

定理21設G關于正關聯理想滿足降鏈條件，A是G的任意的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想，則在Im(A)?[λ,μ]上不存在無窮上升序列。

證明（反證法）假設{ti|i=0,1,2,…}是Im(A)?[λ,μ]上的無窮上升序列，則t0＜t1＜…＜μ，因此t1＜t2＜…＜μ也是一個無窮嚴格升鏈，且ti∈(λ,μ],i=1,2,…，并且?xi∈G使得A(xi)=ti。由定理3知道Ati是G的正關聯理想，又因為A(xi-1)=ti-1＜ti，所以xi-1?Ati。因此Ati?Ati-1，于是At1?At2?…是關于正關聯理想的無窮降鏈，這與G關于正關聯理想滿足降鏈條件矛盾。

定理22設G是KU代數，則G關于正關聯理想是諾特的充要條件是對G的任意(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想A，Im(A)?[λ,μ]是良序集。

證明必要性：設A是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。由定理3可知，A是G的廣義模糊正關聯理想。假設Im(A)?[λ,μ]不是良序集，則在Im(A)?[λ,μ]存在嚴格遞減序列{ti}，且ti≠λ（否則就沒有無窮降鏈），i=1,2,…，且?xi∈G使得A(xi)=ti，因此At1???…。又由于ti∈(λ,μ]，由定理3可知Ati是正關聯理想。若＞，則A()=＜。因此?，故?。從而???…是G的關于正關聯理想的嚴格升鏈，這與G是諾特的矛盾。

充分性：若對G的任意廣義模糊正關聯理想A，Im(A)?[λ,μ]是良序集，但G不是諾特的，則存在嚴格升鏈A1?A2?A3?…，其中Ai是G的正關聯理想。由定理19可知，Ai是G的正關聯理想。定義模糊子集：

下面證明B是G的廣義模糊正關聯理想。

因為Ai是正關聯理想，故0∈Ai(i=1,2,…)，i0=1。所以?x∈G，B(0)∨λ=(λ+(μ-λ))∨λ=μ≥B(x)∧μ。

?x,y,z∈G，下面分4種情況進行討論：

①如果iz?(x?y)=iz?x，設m=iz?(x?y)。因為z?(x?y)∈Am，z?x∈Am，而Am是G的正關聯理想，所以z?y∈Am。又由B的定義知i≤m，故B(z?y)∨λ=(λ+

③若iz?(x?y)＜iz?x，則同理可證B(z?y)∨λ≥B(z?(x?y))∧B(z?x)∧μ。

綜上所述，B是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想，矛盾，因此G關于正關聯理想是諾特的。

推論6若G的每個(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的值域是有限集，則G關于正關聯理想是諾特的。

證明因為Im(B)?[λ,μ]=Im(B)是有限集，所以它是良序集，由定理22知G是諾特的。

定理23若G的每個(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的值域是有限集，則G關于正關聯理想是阿丁的。

證明假設G關于正關聯理想不是阿丁的，則存在G的正關聯理想的無窮嚴格降鏈A1?A2?···。若A1≠G，那么取A0=G，得嚴格降鏈G=A0?A1?A2?···。總可以得到G的正關聯理想的嚴格降鏈G=A0?A1?A2?···。

定義G的模糊子集B：

?x,y,z∈G，以下分4種情況討論：

因此，B是G的廣義模糊正關聯理想。由定理3可知，B也是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。然而B的值域具有無限不同值，故與題設矛盾。

推論7若G的每個(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的值域是有限集，則G關于正關聯理想是阿丁的且是諾特的。

證明因為G的每個(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的值域是有限集，所以由定理23知G是阿丁的。又由推論6知G是諾特的。

定理24設G是KU代數，則G關于正關聯理想是阿丁的充要條件是對G的任意(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想A，Im(A)?[λ,μ]是對偶良序集。

證明必要性：設A是G的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想。由定理3可知，A是G的廣義模糊正關聯理想。假設Im(A)?[λ,μ] 不 是 對 偶 良 序 集，則 在Im(A)?[λ,μ]中存在嚴格遞增序列{ti}(i=0,1,2,…)，故ti＞t0≥λ(i=1,2,…)且 {ti}(i=1,2,…)也是嚴格遞增序列，因此ti∈(λ,μ](i=1,2,…)且At1?At2?At3?…。

由定理3可知，Ati(i=1,2,…)是正關聯理想。又因為ti∈Im(A)，所以?xi∈G使得A(xi)=ti。若i＜j，則A(xi)=ti＜tj。因此xi?Atj，故Ati?Atj。從而At1?At2?At3?…是G的關于正關聯理想的嚴格降鏈，這與G是阿丁的矛盾。

充分性：若對G的任意廣義模糊正關聯理想A，Im(A)?[λ,μ]是對偶良序集，但G不是阿丁的，則存在嚴格降鏈A1?A2?A3?…，其中Ai是G的正關聯理想。由定理19可知，Ai是G的正關聯理想。

定義模糊子集：

下面證明B是G的廣義模糊正關聯理想。因為Ai是正關聯理想，故0∈Ai(i=1,2,3…)，所以?x∈G，B(0)∨λ=μ≥B(x)∧μ。?x,y,z∈G，分兩種情況進行討論：

③若iz?(x?y)＜iz?x，則同理可證B(z?y)∨λ≥B(z?(x?y))∧B(z?x)∧μ。

7 結束語

本文給出了 KU 代數的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想的概念，用點態(tài)化的方法討論了它的等價刻畫及其他一系列基本性質，并指出它有豐富的層次結構。而點態(tài)化的方法更接近經典數學的方法，這是本文的一個特色。用 KU 代數的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想刻畫KU代數的正關聯理想的鏈條件，比用通常KU代數的模糊正關聯理想對它進行刻畫有更弱的條件，這為用模糊數學的方法對經典代數進行研究提供了一種新的思路。此外，還給出了尋找KU代數的正關聯理想的算法（見附錄），并通過計算機編程找出正關聯理想，這有助于給出例子以說明KU代數的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想是一種新型模糊代數結構。

這些工作豐富了模糊集理論的研究，促進了KU代數理論研究的深入發(fā)展。進一步的工作是引入KU 代數的其他類型的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊理想并對其進行刻畫，還可以對KU代數與FI代數及格蘊涵代數的關系進行研究。

[1]Zadeh LA.Fuzzy sets[J].Information and Control,1965,8(3):338-353.

[2]RosenfeldA.Fuzzy groups[J].Journal of MathematicalAnalysis andApplications,1971,35(3):512-517.

[3]Kuroki N.On fuzzy ideals and fuzzy bi-ideals in semigroups[J].Fuzzy Sets and Systems,1981,5(2):203-215.

[4]Kuroki N.Fuzzy semiprime ideals in semigroups[J].Fuzzy Sets and Systems,1982,8(1):71-79.

[5]Kuroki N.On fuzzy semigroups[J].Information Sciences,1991,53(3):203-236.

[6]Kuroki N.Fuzzy generalized bi-ideals insemigroups[J].Information Sciences,1992,66(3):235-243.

[7]Kuroki N.Fuzzy semiprime quasi-ideals in semigroups[J].Information Sciences,1993,75(3):201-211.

[8]Swamy U M,Swamy K L N.Fuzzy prime ideals of rings[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1988,134(1):94-103.

[9]Pu Paoming,Liu Yingming.Fuzzy topology I neighborhood structure of a fuzzy point and Moore-Smith convergence[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1980,76(2):571-599.

[10]Pu Paoming,Liu Yingming.Fuzzy topology II product and quotient spaces[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1980,77(1):20-37.

[11]Bhakat S K，Das P.On the definition of a fuzzy subgroup[J].Fuzzy Sets Systems,1992,51(2):235-241.

[12]Bhakat S K,Das P.(∈,∈∨q)-fuzzy subgroup[J].Fuzzy Sets and Systems,1996,80(3):359-368.

[13]Jun YB,Kang M S.Fuzzy positive implicative ideals of BCK-algebras based on the theory of falling shadows[J].Computers and Mathematics with Applications,2011,61(1):62-67.

[14]Tebu S F,Lele C,Nganou JB.Fuzzy n-fold BCI-positive implicative ideals in BCI-algebras[J].International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences,2012,4:628931.

[15]Zulfiqar M.Some properties of(α，β)-fuzzy positive implicative ideals in BCK-algebras[J].Acta Scientiarum Technology,2013,35(2):371-377.

[16]Liao Zuhua，Gu Hui.(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy normal subgroup[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2006,20(5):47-53.

[17]Zhang Jianzhong,Fu Xiaobo,Liao Zuhua.(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy ideal of N(2,2,0)algebra[J].Journal of Frontiers of Computer Science&Technology,2013,7(11):1048-1056.

[18]Zhu Chan,Liao Zuhua,Luo Xiaotang,et al.(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy complemented semirings[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2013,27(5):47-54.

[19]Zhang Jianzhong,Fu Xiaobo,Liao Zuhua.(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy positive implicative ideal of N(2,2,0)algebra[J].Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2014,8(5):622-629.

[20]Fan Xiaowei,Liao Zuhua,Fan Yingying,et al.(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzyΓ-completely prime ideals ofΓ-semigroups[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2014,28(2):52-61.

[21]Fu Xiaobo,Liao Zuhua,Zheng Gaoping,et al.(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy LI-ideals of lattice implication algebra[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2014,28(5):41-50.

[22]Zhang Jianzhong,Fu Xiaobo,Liao Zuhua.(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy associative ideal of N(2,2,0)algebra[J].Computer Engineering andApplications,2014,50(12):54-58.

[23]Fu Xiaobo,Zhan Xueqiu,Liao Zuhua.(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy filter of lattice implication algebra[J].Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2014,8(3):376-384.

[24]Fu Xiaobo,Liao Zuhua.(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy prime filter of lattice implication algebra[J].Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2015,9(2):227-233.

[25]Lu Teng,Liao Zuhua,Liao Cuicui,et al.-fuzzy ideals of incline algebra[J].Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2016,10(8):1191-1200.

[26]Prabpayak C,Leerawat U.On ideas and congruences in KU-algebras[J].Scientia Magna,2009,5(1):54-57.

[27]Prabpayak C,Leerawat U.On isomorphisms of KU-algebras[J].Scientia Magna,2009,5(3):25-31.

[28]RezaeiA,Saeid AB,Borzooei RA.KU-algebras are equivalent to commutative self-distributive BE-algebra[J].Bollettino di Matematica Pura edApplicata,2014,7:1-8.

[29]Wu Wangming.Fuzzy implication algebras[J].Fuzzy Systems and Mathematics,1990,4(1):56-64.

[30]Xu Yang,Ruan Da,Qin Keyun,et al.Lattice-valued logic[M].Berlin,Heidelberg:Springer,2003.

[31]Mostafa S M,Abd-Elnaby MA,Yousef M M M.Fuzzy ideals of KU-algebras[J].International Mathematical Forum,2011,6(63):3139-3149.

[32]Mostafa S M,Abd-Elnaby MA,Elgendy OR.Intuitionistic KU-ideals in fuzzy KU-algebras[J].International Journal of Mathematical Sciences and Applications,2011,1(3):1379-1384.

[33]Mostafa S M,Kareem F F.N-fold commutative KU-algebras[J].International Journal ofAlgebra,2014,8(6):267-275.

[34]Gulistan M,Shahzad M,Ahmed S.On(α,β)-fuzzy KU-ideals of KU-algebras[J].Afrika Matematika,2015,26(3):651-661.

[35]Gulistan M,Shahzad M,Yaqoob N.On(∈,∈∨qk)-fuzzy KU-ideals of KU-algebras[J].Acta Universitatis Apulensis,2014,39:75-83.

[36]Muhiuddin G.Bipolar fuzzy KU-subalgebras/ideals of KU-algebras[J].Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics,2014,8(3):409-418.

[37]Senapati T,Shum K P.Atanassov's intuitionistic fuzzy binormed KU-ideals of a KU-algebra[J].Journal of Intelligent&Fuzzy Systems,2016,30(2):1169-1180.

[38]Noether E.Idealtheorie in Ringbereichen[J].Mathematische Annalen,1921,83(1):24-66.

[39]Artin E.Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen[J].Abhandlungen Aus Dem Mathematischen Seminar der Universit?t Hamburg,1927,5(1):251-260.

[40]Meng Daoji,Wang Liyun,Yuan Lamei.Abstract algebraⅢ—commutative algebra[M].Beijing:Science Press,2016.

[41]Mordeson J N,Malik D S.Fuzzy commutative algebra[M].Singapore:World Scientific Publishing,1998.

[42]Hu Baoqing.Foundations of fuzzy theory[M].2nd ed.Wuhan:Wuhan University Press,2010.

附中文參考文獻：

[17]張建忠,傅小波,廖祖華.N(2,2,0)代數的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊理想[J].計算機科學與探索,2013,7(11):1048-1056.

[18]朱嬋,廖祖華,羅曉棠,等.(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊可補半環(huán)[J].模糊系統(tǒng)與數學,2013,27(5):47-54.

[19]張建忠,傅小波,廖祖華.N(2,2,0)代數的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊正關聯理想[J].計算機科學與探索,2014,8(5):622-629.

[20]范曉威,廖祖華,范瑩瑩,等.Γ-半群的(∈,∈∨q(λ,μ))模糊Γ-完全素理想[J].模糊系統(tǒng)與數學,2014,28(2):52-61.

[21]傅小波,廖祖華,鄭高平,等.格蘊涵代數的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊LI理想[J].模糊系統(tǒng)與數學,2014,28(5):41-50.

[22]張建忠,傅小波,廖祖華.N(2,2,0)代數的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊結合理想[J].計算機工程與應用,2014,50(12):54-58.

[23]傅小波,戰(zhàn)學秋,廖祖華.格蘊涵代數的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊濾子[J].計算機科學與探索,2014,8(3):376-384.

[24]傅小波,廖祖華.格蘊涵代數的(∈,∈∨q(λ,μ))-模糊素濾子[J].計算機科學與探索,2015,9(2):227-233.

[25]路騰,廖祖華,廖翠萃,等.坡代數的(-∈,-∈∨(λ,μ))-模糊理想[J].計算機科學與探索,2016,10(8):1191-1200.

[29]吳望名.Fuzzy蘊涵代數[J].模糊系統(tǒng)與數學,1990,4(1):56-64.

[40]孟道驥,王立云,袁臘梅.抽象代數Ⅲ——交換代數[M].北京:科學出版社,2016.

[42]胡寶清.模糊理論基礎[M].2版.武漢:武漢大學出版社,2010.

附錄:

查找KU代數正關聯理想的程序

#include〈iostream〉

using namespace std;

int KU(int a,int b);//KU代數計算函數

voidideals2(intx);//查找KU代數有兩個元素的正關聯理想

void ideals3(intx,inty);//查找KU代數有三個元素的正關聯理想

void ideals4(intx,inty,intz);//查找KU代數有四個元素的正關聯理想

On(∈,∈∨q(λ,μ))-Fuzzy Positive Implicative Ideals of KU-Algebras*

LI Lun1,2,LIAO Zuhua1,2,3+,CHEN Liuhong1,2,SONG Wei4,WU Shuzhong1,ZHU Xiaoying1
1.School of Science,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
2.Honors School,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
3.Institute of Intelligence System&Network Computing,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
4.School of Internet of Things Engineering,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China
+Corresponding author:E-mail:liaozuhua57@163.com

LI Lun,LIAO Zuhua,CHEN Liuhong,et al.On(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy positive implicative ideals of KU-algebras.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2017,11(8)：1324-1339.

Firstly,this paper gives the concepts of pointwise(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy positive implicative ideals and generalized fuzzy positive implicative ideals of KU-algebras,obtains some equivalent characterizations of(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy positive implicative ideals of KU-algebras,and points the richer hierarchical structure of the fuzzy positive implicative ideals.Secondly,this paper acquires the properties that intersections,unions,homomorphic image and homomorphic preimage(under certain condition)of(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy positive implicative ideals of KU-algebras are also(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy positive implicative ideals.Then,this paper investigates the direct product and proje-ction of(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy positive implicative ideals of KU-algebras.At last,this paper introduces the new concepts of the descending(ascending)chain conditions of the positive implicative ideals of KU-algebras,which are studied by using the properties of(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy positive implicative ideals.

KU-algebras;(∈,∈∨q(λ,μ))-fuzzy positive implicative ideals;homomorphic mapping;projection;descending(ascending)chain condition

was born in 1981.He

the Ph.D.degree from Chonbuk National University in 2009.Now he is an associate professor and M.S.supervisor at Jiangnan University,and the member of IEEE and CCF.His research interests include pattern recognition,artificial intelligence,data mining,information retrieval and knowledge discovery,etc. 宋威（1981—），男，湖北恩施人，2009年于韓國全北國立大學獲得博士學位，現為江南大學副教授、碩士生導師，IEEE、CCF會員，主要研究領域包括模式識別，人工智能，數據挖掘，信息檢索，知識發(fā)現等。

LI Lun was born in 1995.He is a student at School of Science,Jiangnan University,and the member of CCF.His research interests include computer science,fuzzy and rough algebra,etc.李論（1995—），男，河南鄭州人，江南大學理學院粒計算研究所學生，CCF學生會員，主要研究領域為計算機科學，模糊與粗糙代數等。

LIAO Zuhua was born in 1957.He is a professor and M.S.supervisor at Jiangnan University,and the member of CCF.His research interests include artificial intelligence and granular computing,etc.廖祖華（1957—），男，江西奉新人，江南大學教授、碩士生導師，CCF會員，主要研究領域為人工智能，粒計算等。發(fā)表學術論文100多篇。

CHEN Liuhong was born in 1995.She is a student at School of Science,Jiangnan University.Her research interests include computer science,fuzzy and rough algebra,etc.陳柳紅（1995—），女，重慶涪陵人，江南大學理學院粒計算研究所學生，主要研究領域為計算機科學，模糊與粗糙代數等。

WU Shuzhong was born in 1961.He is an associate professor at Jiangnan University.His research interest is combinatorial mathematics.吳樹忠（1961—），男，江蘇丹陽人，江南大學副教授，主要研究領域為組合數學。

ZHU Xiaoying was born in 1964.She is an associate professor at Jiangnan University.Her research interest is fuzzy algebra.朱曉英（1964—），女，江蘇無錫人，江南大學副教授，主要研究領域為模糊代數。

A

：O159

*The National Natural Science Foundation of China under Grant Nos.61170121,11401259,61673193(國家自然科學基金);the Natural Science Foundation of Jiangsu Province under Grant No.BK20151117(江蘇省自然科學基金);the Undergraduate Innovation and Entrepreneurship Training Program of China under Grant No.201610295005(國家大學生創(chuàng)新訓練項目).

Received 2017-03,Accepted 2017-05.

CNKI網絡優(yōu)先出版:2017-05-23,http://kns.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20170523.1250.004.html

ISSN 1673-9418 CODEN JKYTA8

Journal of Frontiers of Computer Science and Technology 1673-9418/2017/11(08)-1324-16

10.3778/j.issn.1673-9418.1703085

E-mail:fcst@vip.163.com

http://www.ceaj.org

Tel:+86-10-89056056