馬巧云，吳洪博

1.西安文理學(xué)院 信息工程學(xué)院，西安 710065

2.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062

經(jīng)典邏輯系統(tǒng)中的隨機(jī)化再研究*

馬巧云1+，吳洪博2

1.西安文理學(xué)院 信息工程學(xué)院，西安 710065

2.陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062

給出了經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)中n元命題公式基于隨機(jī)數(shù)列和隨機(jī)映射的向量表示形式，利用命題公式的基于隨機(jī)數(shù)列的向量表示形式給出公式的D-隨機(jī)真度、公式間的D-隨機(jī)相似度和D-隨機(jī)偽距離的等價表示形式。說明了一個具體的n元經(jīng)典命題公式的D-隨機(jī)真度最多只有22n種情況。利用命題公式間的D-隨機(jī)相似度和D-隨機(jī)偽距離的等價表示形式，給出了關(guān)于命題公式的D-隨機(jī)真度、命題公式間的D-隨機(jī)相似度和D-隨機(jī)偽距離的一些性質(zhì)的新的證明。

經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)；D-隨機(jī)真度；D-隨機(jī)相似度；D-隨機(jī)偽距離

1 引言

為了嘗試在人工智能和數(shù)值計算之間進(jìn)行溝通，文獻(xiàn)[1-2]從邏輯概念程度化入手，建立了計量邏輯學(xué)理論，進(jìn)而展開了基于邏輯系統(tǒng)中的基本單位——命題公式的程度化的研究和基于這種程度化思想的近似推理的研究[3-7]。但是計量邏輯學(xué)存在著缺少隨機(jī)性這樣的不足，文獻(xiàn)[8]利用自然數(shù)集N上的隨機(jī)數(shù)列而提出了公式的隨機(jī)真度的概念。這種基于隨機(jī)性的邏輯概念的程度化方法已經(jīng)成為當(dāng)前概率化人工智能研究的一個熱點問題[9-15]。文獻(xiàn)[15]利用經(jīng)典命題邏輯中公式的賦值及賦值順序給出了公式的向量表示形式，利用向量表示形式給出公式的真度和公式間偽距離的定義，使得經(jīng)典命題邏輯中公式的偽距離的討論得到簡化。

本文給出了經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)中公式基于隨機(jī)數(shù)列D的向量表示形式，利用公式的向量表示形式給出公式的D-隨機(jī)真度、公式間的D-隨機(jī)相似度和D-隨機(jī)偽距離的等價表示形式。利用隨機(jī)相似度和隨機(jī)偽距離的等價表示形式，給出了關(guān)于隨機(jī)相似度和隨機(jī)偽距離的一些性質(zhì)的新的證明。這些研究為深入了解邏輯空間的性質(zhì)做了準(zhǔn)備，也為后續(xù)的研究提供了一些方法和借鑒。

2 預(yù)備知識

定義1[1]設(shè)S={p1,p2,…}是可數(shù)集，?是一元運(yùn)算，∨、→是二元運(yùn)算，由S生成的(?,∨,→)型自由代數(shù)記作F(S)。F(S)中的元稱作合式公式，簡稱公式。S中的元稱作原子公式或原子命題。

定義2[1]設(shè){0,1}為最簡布爾代數(shù)，其中?x=1-x，x→y=0當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=0。稱(?,→)型同態(tài)v:F(S)→{0,1}(v(?A)=?v(A),v(A→B)=v(A)→v(B))為 F(S)在{0,1}中的賦值，簡稱v為賦值。F(S)的全體賦值之集記為Ω。

定義3[8]設(shè)D=(P1,P2,…)是(0,1)中的隨機(jī)數(shù)列，?α=(x1,x2,…,xn)∈{0,1}n，

這里，當(dāng)xk=1時Qk=Pk；當(dāng)xk=0時Qk=1-Pk(k=1,2,…,n)。則得一映射

稱φ為{0,1}n上的D-隨機(jī)化映射。

定義 4[8]設(shè)A=A(q1,q2,…,qn)∈F(S)，令 [A]=(1)，μ([A])=∑{φ(α):α∈(1)}，τD(A)=μ([A])，稱 τD(A)為A的D-隨機(jī)真度。

3 基于經(jīng)典邏輯公式的向量表示的D-隨機(jī)真度

文獻(xiàn)[15]已說明總可以假定命題公式A、B含有相同多的原子公式。

設(shè)fA(x1,x2,…,xn):{0,1}n→{0,1}是由公式A誘導(dǎo)的Boole函數(shù)（其中fA(x1,x2,…,xn)中x1,x2,…,xn的連接方式與A(q1,q2,…,qn)中q1,q2,…,qn的連接方式完全相同）。令Σ={0,1}n,設(shè)?A(q1,q2,…,qn)∈F(S),B(q1,q2,…,qn)∈F(S),?α∈Σ，一定有：

將Σ中的2n個元按照字典順序依次記作α1,α2,…,α2n。對于具體的n元公式A(q1,q2,…,qn)，使fA(x1,x2,…,xn)=1的α是確定的，不妨依次記作αi1,αi2,…,αik，其 中i1,i2,…,ik∈{1,2,…,2n}，令Σ1={αi1,αi2,…,αik}。同樣，使fA(x1,x2,…,xn)=0 的 α 也是確定的，依次記作 αj1,αj2,…,αjl，其中j1,j2,…,jl∈{1,2,…,2n}，令Σ0={αj1,αj2,…,αjl}。顯然，k+l=2n。

定義5設(shè)D=(P1,P2,…)是(0,1)中的隨機(jī)數(shù)列，φ為{0,1}n到{0,1}的D-隨機(jī)化映射，令

稱VecDA、VecD分別為公式A基于隨機(jī)數(shù)列D的1-值向量和0-值向量。

定義 6設(shè)A(q1,q2,…,qn)∈F(S)，VecDA=(b1,b2,…,bk)，VecD=(c1,c2,…,cl)分別為公式A基于隨機(jī)數(shù)列D的1-值向量和0-值向量，令

稱τD(A)為A的D-隨機(jī)真度。

顯然，定義6與文獻(xiàn)[8]中的D-隨機(jī)真度的定義是一致的。并且當(dāng)k＞l時，用第二個式子計算是比較容易的。

命題1設(shè)A(q1,q2,…,qn)∈F(S)，VecDA=(b1,b2,…,bk)，VecD=(c1,c2,…,cl)分別為公式A基于隨機(jī)數(shù)列D的1-值向量和0-值向量，則：

證明由定義6可直接得到。

命題2設(shè)A(q1,q2,…,qn)∈F(S)，D=(P1,P2,…)是(0,1)中的隨機(jī)數(shù)列，則：

證明（1）、（2）、（3）可由定義直接得到。證明略。

命題 3設(shè)A(q1,q2,…,qn),B(q1,q2,…,qn)，C(q1,q2,…,qn)∈F(S),D=(P1,P2,…)是(0,1)中的隨機(jī)數(shù)列，α,β∈[0,1]。

命題4設(shè)D=(P1,P2,…)是(0,1)中的隨機(jī)數(shù)列。對于n元命題公式集Fn={A(q1,q2,…,qn):A∈F(S)}中的公式A來說，A的D-隨機(jī)真度最多只有22n種。

證明設(shè)A(q1,q2,…,qn)∈Fn，fA(x1,x2,…,xn)∈F(S)是公式A對應(yīng)的n元Boole函數(shù)。

若[A]=Φ，τD(A)只有=1種情況；

若[A]={αi}，τD(A)最多有種情況；

若[A]={αi,αj}，τD(A)最多有種情況；

…

若 [A]={α1,α2,…,α2n}，τD(A)最多有種情況。

綜上可知，n元命題公式A的D-真度τD(A)最多只有種不同的情況。

4 公式的相似度和公式間的偽距離

定義7[8]設(shè)D=(P1,P2,…)是(0,1)中的隨機(jī)數(shù)列，A,B∈F(S)，令

稱ξD(A,B)為公式A與B的D-相似度。

命題5設(shè)A,B∈Fn，fA(x1,x2,…,xn)∈F(S),fB(x1,x2,…,xn)∈F(S)分別是公式A、B對應(yīng)的n元Boole函數(shù)，則：

證明因為 ξD(A,B)=τD((A→B)∧(B→A))=∑{φ(α):f(A→B)∧(B→A)(α)=1}，而

所以 ξD(A,B)=∑{φ(αi):fA(αi)=fB(αi)}。

命題6[8]設(shè)D=(P1,P2,…)是(0,1)中的隨機(jī)數(shù)列，A,B,C∈F(S)，則：

根據(jù)命題5給出命題6不同于文獻(xiàn)[8]的證明。

證明（1）設(shè)fA(x1,x2,…,xn)，fB(x1,x2,…,xn)分別是公式A、B對應(yīng)的n元Boole函數(shù)，A≈B當(dāng)且僅當(dāng)?α∈Σ,fA(α)=fB(α)，當(dāng)且僅當(dāng) ξD(A,B)=∑{φ(αi):fA(αi)=fB(αi)}=1。

定義8[8]設(shè)D=(P1,P2,…)是(0,1)中的隨機(jī)數(shù)列，A,B∈F(S)，令

稱 ρD(A,B)是F(S)上的偽距離，稱為公式A與B的D-邏輯偽距離，稱(F(S),ρD)為D-邏輯度量空間。

命題7設(shè)A,B∈Fn,fA(x1,x2,…,xn)∈F(S),fB(x1,x2,…,xn)∈F(S)分別是公式A、B對應(yīng)的n元Boole函數(shù)，則：

證明因為 ρD(A,B)=1-ξD(A,B)=1-∑{φ(αi):fA(αi)=fB(αi)}，而∑{φ(αi)=1:αi∈Σ},則：

命題8在偽距離空間(F(S),ρD)中，以下結(jié)論成立：

證明略。

命題9設(shè)A(q1,q2,…,qn),B(q1,q2,…,qn),C(q1,q2,…,qn)∈F(S)，D=(P1,P2,…)是(0,1)中的隨機(jī)數(shù)列，則：

ρD(A→C,B→D)≤ρD(A,B)+ρD(C,D)

證明因為 ρD(A,B)=1-ξD(A,B)，所以只需證

由命題9，可以證明邏輯連接詞→在(F(S),ρD)中連續(xù)[8]。

命題10在偽距離空間(F(S),ρD)中，以下結(jié)論成立：

5 結(jié)束語

本文利用經(jīng)典命題邏輯中公式的賦值及賦值順序給出了公式的基于隨機(jī)數(shù)列D的向量表示形式，利用命題公式的向量表示形式給出公式的D-隨機(jī)真度的等價定義；同時給出了基于隨機(jī)數(shù)列D-公式間的D-隨機(jī)相似度和D-隨機(jī)偽距離的等價定義，證明了這種定義與文獻(xiàn)[8]中的定義等價。說明了一個具體的n元經(jīng)典命題公式的D-隨機(jī)真度最多只有22n種情況。本文還得到了公式間的D-隨機(jī)真度、D-隨機(jī)相似度和D-隨機(jī)偽距離的一些簡單性質(zhì)，根據(jù)這些性質(zhì)，可以證明在隨機(jī)偽距離空間(F(S),ρD)中，邏輯連接詞都是連續(xù)的。因為這種定義與文獻(xiàn)[8]中的定義等價，所以在經(jīng)典命題邏輯中利用隨機(jī)偽距離進(jìn)行近似推理的研究與文獻(xiàn)[8]的結(jié)論是一致的，在此不用列出。關(guān)于在多值命題邏輯系統(tǒng)中是否存在與本文類似的隨機(jī)真度和隨機(jī)偽距離的定義，將另文進(jìn)行討論。

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WU Hongbo was born in 1959.He received the Ph.D.degree from Sichuan University in 2001.Now he is a professor and Ph.D.supervisor at Shaanxi Normal University.His research interests include topology on lattice and nonclassical logic.吳洪博（1959—），男，陜西咸陽人，2001年于四川大學(xué)獲得理學(xué)博士學(xué)位，現(xiàn)為陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師，主要研究領(lǐng)域為格上拓?fù)鋵W(xué)，非經(jīng)典數(shù)理邏輯。

CNKI推出《中國高被引圖書年報》

日前，中國知網(wǎng)（CNKI）中國科學(xué)文獻(xiàn)計量評價研究中心推出了一套《中國高被引圖書年報》，該報告基于中國大陸建國以來出版的422萬余本圖書被近3年國內(nèi)期刊、博碩、會議論文的引用頻次，分學(xué)科、分時段遴選高被引優(yōu)秀學(xué)術(shù)圖書予以發(fā)布。據(jù)研制方介紹，他們統(tǒng)計并分析了2013—2015年中國學(xué)術(shù)期刊813萬余篇、中國博碩士學(xué)位論文101萬余篇、中國重要會議論文39萬余篇，累計引文達(dá)1 451萬條。根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，422萬本圖書至少被引1次的圖書達(dá)72萬本。研制方根據(jù)中國圖書館分類法，將72萬本圖書劃分為105個學(xué)科，分1949—2009年和2010—2014年兩個時間段，分別遴選被引最高的TOP10％圖書，共計選出70 911本優(yōu)秀圖書收入《中國高被引圖書年報》。統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，這7萬本高被引優(yōu)秀圖書雖然只占全部圖書的1.68％，卻獲得

67.4％的總被引頻次，可見這些圖書質(zhì)量上乘，在同類圖書中發(fā)揮了更加重要的作用。該報告還首次發(fā)布各學(xué)科“學(xué)科h指數(shù)”排名前20的出版單位的評價指標(biāo)，對客觀評價出版社的社會效益——特別是學(xué)術(shù)出版物的社會效益具有重要的參考價值。

該報告從圖書被引用的角度出發(fā)，評價圖書的學(xué)術(shù)影響力，彌補(bǔ)了以銷量和借閱等指標(biāo)無法準(zhǔn)確評價學(xué)術(shù)圖書的缺憾，科學(xué)、客觀地評價了圖書、圖書作者以及出版單位對各學(xué)科發(fā)展的貢獻(xiàn)。

《中國高被引圖書年報》把建國以來出版圖書全部納入評價范圍屬國內(nèi)首創(chuàng)，是全面、客觀評價圖書學(xué)術(shù)影響力的工具，填補(bǔ)了目前圖書學(xué)術(shù)水平定量評價的空白，在幫助圖書館建設(shè)特色館藏和提高服務(wù)水平、幫助出版管理部門了解我國學(xué)術(shù)出版物現(xiàn)狀、幫助科研機(jī)構(gòu)科研管理、幫助讀者購買和閱讀圖書等方面，均具有較強(qiáng)的參考價值，也為出版社評估出版業(yè)績、決策再版圖書、策劃學(xué)科選題提供有用的信息。

《中國高被引圖書年報》由《中國學(xué)術(shù)期刊（光盤版）》電子雜志社有限公司出版。該產(chǎn)品的形式為光盤電子出版物，分為理學(xué)、工學(xué)、農(nóng)學(xué)、醫(yī)學(xué)、人文科學(xué)和社會科學(xué)6個分卷，隨盤贈送圖書，歡迎您咨詢、訂購。

咨詢電話：010-82710850,82895056轉(zhuǎn)8599;E-mail：aspt@cnki.net

Restudy on Randomization of Classical Logic System*

MAQiaoyun1+,WU Hongbo2
1.College of Information Engineering,Xi’an University,Xi’an 710065,China
2.College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China
+Corresponding author:E-mail:231687227@qq.com

MA Qiaoyun,WU Hongbo.Restudy on randomization of classical logic system.Journal of Frontiers of Computer Science and Technology,2017,11(8)：1354-1360.

This paper gives the vector representation of n-ary formula in classical propositional logic system based on random sequence and random mapping,defines the D-randomized truth degree of formulas and D-randomized similarity degree and D-randomized pseudo-metric among formulas based on the vector representation of formula,and explains that the definitions of truth degree and D-randomized pseudo-metric are equivalent to the original probability definition.Then,this paper proves that the D-randomized truth degree of n-ary formula is not more than22ncases.Finally,some simple properties of pseudo-metric among formulas are obtained based on the equivalent representation of D-randomized similarity degree and D-randomized pseudo-metric among formulas.

classical propositional logic system;D-randomized truth degree;D-randomized similarity degree;D-randomized pseudo-metric

n was born in 1973.She

the M.S.degree in mathematics from Shaanxi Normal University in 2007.Now she is an associate professor at Xi’an University.Her research interest is non-classical logic. 馬巧云（1973—），女，陜西咸陽人，2007年于陜西師范大學(xué)獲得碩士學(xué)位，現(xiàn)為西安文理學(xué)院副教授，主要研究領(lǐng)域為非經(jīng)典邏輯。

A

：O141

*The National Natural Science Foundation of China under Grant No.61572016(國家自然科學(xué)基金);the Science and Technology Planning Project of Xi'an under Grant No.2016CXYWL23(西安科技計劃項目).

Received 2017-01,Accepted 2017-04.

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版:2017-04-13,http://kns.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20170413.1027.002.html

ISSN 1673-9418 CODEN JKYTA8

Journal of Frontiers of Computer Science and Technology 1673-9418/2017/11(08)-1354-07

10.3778/j.issn.1673-9418.1701001

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