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        紅蓮與白藕,原本是一家
        ——對源于教材的兩道高考題的研究與思考

        2017-08-11 12:13:52河北田衛(wèi)東
        教學考試(高考數(shù)學) 2017年2期
        關(guān)鍵詞:外切題圖雙曲線

        河北 田衛(wèi)東

        (作者單位:河北省昌黎第一中學)

        紅蓮與白藕,原本是一家
        ——對源于教材的兩道高考題的研究與思考

        眾所周知,數(shù)學教材是數(shù)學學科的核心教學材料,它是幾代數(shù)學工作者智慧的結(jié)晶,不僅具備完整的知識體系,更有強大的權(quán)威性,同時也是教師實施教學和學生學習的主要材料.命題者在命制試題時,都會對教材予以高度關(guān)注,高考的部分試題便是從教材中選取優(yōu)秀例題或習題進行加工、改造而成的.筆者經(jīng)歷了2013年和2016年的高三復習與高考,巧合的是在這兩年的全國新課標Ⅰ卷的數(shù)學試題中,出現(xiàn)了兩道非常類似的題目,更重要的是,它們均來自于人教社的新課標實驗教材,現(xiàn)將這兩道題及對它們進行的簡單變化呈現(xiàn)給讀者,以引起廣大教師和學生的注意,在平時的教學和高三的復習過程中,一定要重視教材,尤其要重視對教材中經(jīng)典題目的深入研究,避免陷入“題海”中而不能自拔.

        一、兩道試題與教材習題的比較

        (1)已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C,求C的方程.(2013年全國新課標Ⅰ卷20題,節(jié)選)

        (2)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E,證明:|EA|+|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程.(2016年全國新課標Ⅰ卷20題,節(jié)選)

        解答過程如下:

        第(1)題圖

        (2)解:∵|AD|=|AC|,EB∥AC,

        故∠EBD=∠ACD=∠ADC,

        ∴|EB|=|ED|,

        ∴|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.

        ∵圓A的標準方程為(x+1)2+y2=16,

        ∴|AD|=4,

        ∴|EA|+|EB|=4.

        第(2)題圖

        下面再給出人教社課標教材選修2—1中第50頁B組題的第2題及第49頁A組題的第7題:

        (3)一個動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切,同時與圓x2+y2-6x-91=0內(nèi)切,求動圓的圓心軌跡方程,并說明它是什么樣的曲線.

        第(3)題圖

        (4)如圖,圓O的半徑為定長r,A是圓O內(nèi)一個定點,P是圓上任意一點.線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q,當點P在圓上運動時,點Q的軌跡是什么?為什么?

        第(4)題圖

        不言而喻,其中的關(guān)系已經(jīng)非常明顯,第(1)題是在第(3)題的基礎(chǔ)上,將兩個定圓內(nèi)含改為了內(nèi)切,同時改變了一些其他的數(shù)據(jù),但題目的本質(zhì)沒有發(fā)生任何變化;第(2)題則是在第(4)題的基礎(chǔ)上編制而來的.

        二、兩試題原是“一家人”

        我們看第(3)題,如下圖,其解答過程與第(1)題相同.如果將題中條件做適當改變,則可以得到:

        變式1圖

        變式2:在變式1中,延長NP至切點Q,連接MQ,則點P在線段MQ的垂直平分線上.改變一下敘述方式,即圓N的半徑為r,M是圓N內(nèi)不同于N的一個定點,點Q是圓N上的任意一點,線段MQ的垂直平分線l和半徑NQ相交于點P,求點P的軌跡.此題即成為了第(4)題.

        變式2圖

        變式3:在變式2中,如圖,將QM延長交圓N于點E,連接EN,過M作EN的平行線交NQ于點P,求點P的軌跡.這就是2016年全國新課標Ⅰ卷第20題的第(1)問.

        變式3圖

        事實上,無論哪種變化,其本質(zhì)都是考查了對平面內(nèi)動點與兩個定點距離之和為常數(shù)的深刻理解,只不過都是以圓為載體,借助圓心為定點和半徑為定值這些條件,通過平面幾何的一些定理或結(jié)論,其目的是轉(zhuǎn)化為利用橢圓的定義探究動點的軌跡.從這個角度來說,它們的確是“一家人”.稍做改動,還可以得到以下題目:

        三、它們還有“兄弟姊妹”

        接下來,我們再看這樣一道題:

        (5)與兩圓x2+y2=1及x2+y2-8x+12=0都外切的圓的圓心在( )

        A.一個橢圓上

        B.雙曲線的一支上

        C.一條拋物線上

        D.一個圓上

        第(5)題圖

        這是普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》選修2-1第80頁的復習參考題A組第3題的第(2)題.

        該題目的解法如下:設(shè)圓x2+y2=1的圓心為F1(0,0),圓x2+y2-8x+12=0的圓心為F2(4,0),動圓的圓心為M(x,y),由題中條件可知|MF2|-|MF1|=1,結(jié)合雙曲線的定義可知:所求動圓圓心的軌跡是雙曲線的左支,故正確答案為B.將此題的條件稍做改變,即可得到以下變化.

        變化1:將題中的與兩圓都外切改為都內(nèi)切,即圓M與圓F1和圓F2都內(nèi)切,試確定圓心M的軌跡.

        變化2:將圓F1改為點F1,則問題變?yōu)閳AM經(jīng)過定點F1,且與圓F2相外切,試確定圓心M的軌跡.

        變化3:在變化2中將圓M與圓F2的切點記為P,則可敘述為P是圓F2上的任意一點,F(xiàn)1是圓外的一個定點,線段PF1的垂直平分線l和直線PF2相交于點M,當點P在圓上運動時,求點M的軌跡.(此問題即為《數(shù)學》選修 2-1 第62頁的A組第5題)

        變化3圖

        變化4:在變化3的基礎(chǔ)上,我們還可以這樣改動:P是圓F2上的任意一點,F(xiàn)1是圓外的一個定點,直線PF1與圓F2交于點E,連接EF2,過點F1作F1M∥F2E與直線MF2交于點M,試確定M的軌跡.

        變化4圖

        變化5:將圓F1改為點F1,將圓F2視為一條與x軸垂直的直線,于是可以得到以下問題:已知F1是直線l外的一個定點,圓M經(jīng)過點F1且與直線l相切,試確定圓心M的軌跡.

        如此看來,通過圓與圓的位置關(guān)系,以及對它們進行的各種變化,不僅可以得到動點的軌跡是橢圓,也可以是雙曲線、拋物線,三種曲線通過這種方式又聚到了一起,可謂“不是一家人,不進一家門”.

        四、一點啟示與思考

        對于第(1)題本文并未展開深入的討論,如果將所給的兩個定圓按照相離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含這五種位置關(guān)系,利用動圓與定圓的內(nèi)或外切,我們可以得到各種有關(guān)橢圓與雙曲線的軌跡,在此不再贅述,有興趣的讀者可以自行研討.

        本文的主要目的在于呼吁并提醒正努力拼搏在高三前線的廣大師生,教材是我們的學習之本,其中有非常多的經(jīng)典好題,我們在復習過程中應該重視對它們的整理和研究,結(jié)合歷屆高考試題,或許我們可以找到一些高考命題的規(guī)律或者思路,同時也可以對教材中的重點知識有更深入的理解和感悟.本文中的各種變化充分地反映了對橢圓、雙曲線、拋物線定義的深刻理解,這些問題的解決也就完成了這三種圓錐曲線定義的復習,這樣的學習方式也會使得我們對這幾種圓錐曲線的辯證統(tǒng)一有了更加深入的認識,同時也培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維和思考探究、解決問題的能力,可謂一舉數(shù)得.

        (作者單位:河北省昌黎第一中學)

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