河北 田衛(wèi)東

(作者單位：河北省昌黎第一中學)

紅蓮與白藕，原本是一家
——對源于教材的兩道高考題的研究與思考

眾所周知，數(shù)學教材是數(shù)學學科的核心教學材料，它是幾代數(shù)學工作者智慧的結(jié)晶，不僅具備完整的知識體系，更有強大的權(quán)威性，同時也是教師實施教學和學生學習的主要材料.命題者在命制試題時，都會對教材予以高度關(guān)注，高考的部分試題便是從教材中選取優(yōu)秀例題或習題進行加工、改造而成的.筆者經(jīng)歷了2013年和2016年的高三復習與高考，巧合的是在這兩年的全國新課標Ⅰ卷的數(shù)學試題中，出現(xiàn)了兩道非常類似的題目，更重要的是，它們均來自于人教社的新課標實驗教材，現(xiàn)將這兩道題及對它們進行的簡單變化呈現(xiàn)給讀者，以引起廣大教師和學生的注意，在平時的教學和高三的復習過程中，一定要重視教材，尤其要重視對教材中經(jīng)典題目的深入研究，避免陷入“題海”中而不能自拔.

一、兩道試題與教材習題的比較

(1)已知圓M：(x+1)2+y2=1，圓N：(x-1)2+y2=9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C，求C的方程.(2013年全國新課標Ⅰ卷20題，節(jié)選)

(2)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E，證明：|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程.(2016年全國新課標Ⅰ卷20題，節(jié)選)

解答過程如下：

第(1)題圖

(2)解：∵|AD|=|AC|，EB∥AC，

故∠EBD=∠ACD=∠ADC，

∴|EB|=|ED|，

∴|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.

∵圓A的標準方程為(x+1)2+y2=16，

∴|AD|=4，

∴|EA|+|EB|=4.

第(2)題圖

下面再給出人教社課標教材選修2—1中第50頁B組題的第2題及第49頁A組題的第7題：

(3)一個動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時與圓x2+y2-6x-91=0內(nèi)切，求動圓的圓心軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線.

第(3)題圖

(4)如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓上任意一點.線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

第(4)題圖

不言而喻，其中的關(guān)系已經(jīng)非常明顯，第(1)題是在第(3)題的基礎(chǔ)上，將兩個定圓內(nèi)含改為了內(nèi)切，同時改變了一些其他的數(shù)據(jù)，但題目的本質(zhì)沒有發(fā)生任何變化；第(2)題則是在第(4)題的基礎(chǔ)上編制而來的.

二、兩試題原是“一家人”

我們看第(3)題，如下圖，其解答過程與第(1)題相同.如果將題中條件做適當改變，則可以得到：

變式1圖

變式2：在變式1中，延長NP至切點Q，連接MQ，則點P在線段MQ的垂直平分線上.改變一下敘述方式，即圓N的半徑為r，M是圓N內(nèi)不同于N的一個定點，點Q是圓N上的任意一點，線段MQ的垂直平分線l和半徑NQ相交于點P，求點P的軌跡.此題即成為了第(4)題.

變式2圖

變式3：在變式2中，如圖，將QM延長交圓N于點E，連接EN，過M作EN的平行線交NQ于點P，求點P的軌跡.這就是2016年全國新課標Ⅰ卷第20題的第(1)問.

變式3圖

事實上，無論哪種變化，其本質(zhì)都是考查了對平面內(nèi)動點與兩個定點距離之和為常數(shù)的深刻理解，只不過都是以圓為載體，借助圓心為定點和半徑為定值這些條件，通過平面幾何的一些定理或結(jié)論，其目的是轉(zhuǎn)化為利用橢圓的定義探究動點的軌跡.從這個角度來說，它們的確是“一家人”.稍做改動，還可以得到以下題目：

三、它們還有“兄弟姊妹”

接下來，我們再看這樣一道題：

(5)與兩圓x2+y2=1及x2+y2-8x+12=0都外切的圓的圓心在( )

A.一個橢圓上

B.雙曲線的一支上

C.一條拋物線上

D.一個圓上

第(5)題圖

這是普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》選修2-1第80頁的復習參考題A組第3題的第(2)題.

該題目的解法如下：設(shè)圓x2+y2=1的圓心為F1(0,0)，圓x2+y2-8x+12=0的圓心為F2(4,0)，動圓的圓心為M(x,y)，由題中條件可知|MF2|-|MF1|=1，結(jié)合雙曲線的定義可知：所求動圓圓心的軌跡是雙曲線的左支，故正確答案為B.將此題的條件稍做改變，即可得到以下變化.

變化1：將題中的與兩圓都外切改為都內(nèi)切，即圓M與圓F1和圓F2都內(nèi)切，試確定圓心M的軌跡.

變化2：將圓F1改為點F1，則問題變?yōu)閳AM經(jīng)過定點F1，且與圓F2相外切，試確定圓心M的軌跡.

變化3：在變化2中將圓M與圓F2的切點記為P，則可敘述為P是圓F2上的任意一點，F(xiàn)1是圓外的一個定點，線段PF1的垂直平分線l和直線PF2相交于點M，當點P在圓上運動時，求點M的軌跡.(此問題即為《數(shù)學》選修 2-1 第62頁的A組第5題)

變化3圖

變化4：在變化3的基礎(chǔ)上，我們還可以這樣改動：P是圓F2上的任意一點，F(xiàn)1是圓外的一個定點，直線PF1與圓F2交于點E，連接EF2，過點F1作F1M∥F2E與直線MF2交于點M，試確定M的軌跡.

變化4圖

變化5：將圓F1改為點F1，將圓F2視為一條與x軸垂直的直線，于是可以得到以下問題：已知F1是直線l外的一個定點，圓M經(jīng)過點F1且與直線l相切，試確定圓心M的軌跡.

如此看來，通過圓與圓的位置關(guān)系，以及對它們進行的各種變化，不僅可以得到動點的軌跡是橢圓，也可以是雙曲線、拋物線，三種曲線通過這種方式又聚到了一起，可謂“不是一家人，不進一家門”.

四、一點啟示與思考

對于第(1)題本文并未展開深入的討論，如果將所給的兩個定圓按照相離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含這五種位置關(guān)系，利用動圓與定圓的內(nèi)或外切，我們可以得到各種有關(guān)橢圓與雙曲線的軌跡，在此不再贅述，有興趣的讀者可以自行研討.

本文的主要目的在于呼吁并提醒正努力拼搏在高三前線的廣大師生，教材是我們的學習之本，其中有非常多的經(jīng)典好題，我們在復習過程中應該重視對它們的整理和研究，結(jié)合歷屆高考試題，或許我們可以找到一些高考命題的規(guī)律或者思路，同時也可以對教材中的重點知識有更深入的理解和感悟.本文中的各種變化充分地反映了對橢圓、雙曲線、拋物線定義的深刻理解，這些問題的解決也就完成了這三種圓錐曲線定義的復習，這樣的學習方式也會使得我們對這幾種圓錐曲線的辯證統(tǒng)一有了更加深入的認識，同時也培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維和思考探究、解決問題的能力，可謂一舉數(shù)得.

(作者單位：河北省昌黎第一中學)