安徽 黃海波

(作者單位：安徽省合肥市第六中學)

從初步了解走向深入理解
——談利用“齊次化”思想解題

以下一組高考題的解法，大家是熟悉的：

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3.(2016年高考新課標Ⅰ卷)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.

(Ⅰ)求C；

第1、2題分別可以構(gòu)造關(guān)于sinα,cosα的“齊二次”的商以及構(gòu)造關(guān)于a,b,c的齊次式來解答.第3題題目條件中，有關(guān)于△ABC的三邊長a,b,c的齊次結(jié)構(gòu)，所以，可以由正弦定理將它們分別替換成對角的正弦來解答.

在更多的高考、自主招生或數(shù)學競賽試題中，這種“齊次化”的結(jié)構(gòu)或是方法是更隱蔽的，往往難以發(fā)現(xiàn).因此，這些問題的難度相對較大，我們有必要通過一些典型的例子來開拓同學們的解題思路.以下主要以三角、函數(shù)、圓錐曲線以及不等式問題為背景具體闡釋.

1.三角背景

2.函數(shù)背景

【例3】(2017·安徽省名校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+a(x2-3x+2)，其中a∈R.

(Ⅰ)討論f(x)極值點的個數(shù)；

【解】僅解答第(Ⅱ)問.g(x)=2lnx-x2-λx，

假設(shè)g′(x0)=0，

∴u(t)在0

∴④式不成立，與假設(shè)矛盾.

∴g′(x0)≠0.

3.圓錐曲線背景

4.不等式背景

【解】該題解法眾多，一種可以考慮的思路是：通過“1” 的代換將目標分式齊次化，然后換元化成單變量，最后結(jié)合均值不等式可求出該式的最大值.

【例6】若實數(shù)x,y滿足x≥-1,y≥-1且2x+2y=4x+4y,則22x-y+22y-x的取值范圍是 .

(作者單位：安徽省合肥市第六中學)