江西 廖達(dá)凡

(作者單位：江西省大余中學(xué))

構(gòu)造模型探究空間動(dòng)點(diǎn)軌跡

在近幾年的高考試題中，以空間圖形為載體的軌跡問(wèn)題以它獨(dú)特的知識(shí)性、趣味性、新穎性和綜合性已悄然成為試題中一道亮麗的風(fēng)景線(xiàn).此類(lèi)問(wèn)題將解析幾何知識(shí)和立體幾何知識(shí)結(jié)合在一起，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)命題，靈活、巧妙地考查學(xué)生的思維能力和空間想象能力.針對(duì)高考復(fù)習(xí)中有不少同學(xué)對(duì)這類(lèi)問(wèn)題難以把握,筆者舉例探討如何巧妙構(gòu)造圖形來(lái)解決動(dòng)點(diǎn)軌跡，以饗讀者.

一、構(gòu)造正方體探究動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題

【例1】(2010·重慶理·10)到兩互相垂直的異面直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)，在過(guò)其中一條直線(xiàn)且平行于另一條直線(xiàn)的平面內(nèi)的軌跡是 .

A.直線(xiàn)

B.橢圓

C.拋物線(xiàn)

D.雙曲線(xiàn)

【解析】根據(jù)題意，可構(gòu)造正方體為模型來(lái)研究，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.

如圖，圖中AB與A1D1是滿(mǎn)足條件的兩條異面直線(xiàn)，平面ABCD就是過(guò)異面直線(xiàn)中的一條AB與另一條直線(xiàn)A1D1平行的平面，在平面ABCD內(nèi)以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB與AD所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面ABCD內(nèi)滿(mǎn)足條件的動(dòng)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P分別作PR⊥AB，PQ⊥A1D1，作PS⊥AD于S，連接QS，由線(xiàn)面關(guān)系不難知QS⊥PS.

【評(píng)注】此題為立體幾何背景下考查學(xué)生平面解析幾何的知識(shí)，圖形比較抽象，若能構(gòu)造出一個(gè)正方體，就可直觀地表現(xiàn)出各個(gè)量之間的關(guān)系，再把各個(gè)量轉(zhuǎn)換到平面上就可研究.

二、構(gòu)造圓柱探究動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題

【例2】(2008·浙江理·10)如圖，AB是平面α的斜線(xiàn)段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是 .

A.圓

B.橢圓

C.一條直線(xiàn)

D.兩條平行直線(xiàn)

【解析】因?yàn)椤鰽BP的面積為定值，且AB為定長(zhǎng)，所以點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離就為定值.空間中，動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離為定值的軌跡為一個(gè)以AB為軸的圓柱，且點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng).故可以構(gòu)造圓柱用一個(gè)平面斜截圓柱側(cè)面，所截得的截線(xiàn)就是橢圓，故選B.

【評(píng)注】本題將問(wèn)題轉(zhuǎn)化后，構(gòu)造出圓柱就可很好地解決問(wèn)題了，能力要求比較高.

三、構(gòu)造平面探究動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題

【例3】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是 .

A.線(xiàn)段B1C

B.線(xiàn)段BC1

C.BB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線(xiàn)段

D.BC中點(diǎn)與B1C1中點(diǎn)連成的線(xiàn)段

【解析】聯(lián)想正方體的體對(duì)角線(xiàn)與面對(duì)角線(xiàn)的關(guān)系.連接AC、CB1、AB1，易證BD1⊥平面AB1C，所以點(diǎn)P的軌跡為線(xiàn)段B1C.

(作者單位：江西省大余中學(xué))