王 斌

（中國(guó)電子科學(xué)研究院，北京 100041）

機(jī)載環(huán)境下組合設(shè)備轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積計(jì)算方法

王 斌

（中國(guó)電子科學(xué)研究院，北京 100041）

在機(jī)載環(huán)境下，由多個(gè)設(shè)備組合而成的大型組合設(shè)備的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積測(cè)量困難。比較簡(jiǎn)單的方法是得到其中每個(gè)設(shè)備的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積后，利用公式計(jì)算得出組合設(shè)備的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積。對(duì)設(shè)備旋轉(zhuǎn)和平移時(shí)慣性張量的轉(zhuǎn)換矩陣進(jìn)行了完善和推導(dǎo),使其適應(yīng)機(jī)載三維環(huán)境。此外，對(duì)幾個(gè)特例進(jìn)行了說(shuō)明，為計(jì)算組合設(shè)備的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積提供了公式依據(jù)。

機(jī)載環(huán)境；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；慣性積

引言

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積是物體做轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)其慣性的度量。對(duì)于飛機(jī)來(lái)說(shuō)，飛機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積是載荷計(jì)算、操穩(wěn)特性分析和氣動(dòng)彈性分析不可缺少的數(shù)據(jù)。飛機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積的大小取決于機(jī)身及機(jī)載設(shè)備的質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸位置。

大型組合設(shè)備經(jīng)常由多個(gè)小設(shè)備組成，組合設(shè)備一般形狀不規(guī)則、質(zhì)量分布不均勻。在工程上，對(duì)于組合設(shè)備，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積通常采用實(shí)驗(yàn)的方法得出。例如使用扭擺法、落體法、三線擺法和復(fù)擺法等測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)于慣性積直接測(cè)量有困難，但也可以通過(guò)對(duì)不同角度下轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的方式推導(dǎo)出[1]。

以上方法需要做實(shí)驗(yàn)，周期長(zhǎng)，費(fèi)用大，并且有時(shí)不具備實(shí)驗(yàn)條件。通過(guò)對(duì)組合設(shè)備中各個(gè)小設(shè)備轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積進(jìn)行計(jì)算得出組合設(shè)備的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積更加方便使用。本文對(duì)使用公式計(jì)算組合設(shè)備轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積的公式進(jìn)行推導(dǎo)和完善。

1 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積

機(jī)載環(huán)境下組合設(shè)備設(shè)計(jì)時(shí)，需要的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)通常有：以全機(jī)坐標(biāo)系（或本體坐標(biāo)系）三個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix、Iy、Iz和慣性積Ixy、Iyz、Ixz，其單位為kg·m2。

飛機(jī)總體設(shè)計(jì)人員收集各個(gè)承制廠家設(shè)備的慣性積和慣性積，進(jìn)而計(jì)算出全機(jī)或者大型組合設(shè)備的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積。

2 需要使用公式的推導(dǎo)

2.1 慣性張量的引入

對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系組成的剛體，其對(duì)某點(diǎn)O的動(dòng)量矩為：

其中：

L為動(dòng)量矩；

mi為每個(gè)質(zhì)量單元的質(zhì)量；

ri為每個(gè)質(zhì)量單元距離；

ω為剛體的角速度。

式 （1）用矩陣形式表示為：

其中：

I為慣性張量，其為一個(gè)由9個(gè)分量構(gòu)成，表示剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量值。

如令：

則I可以表示為：

其中，Ix、Iy和Iz稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Ixy、Iyx和Ixz稱為慣性積。

2.2 坐標(biāo)系的平移對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積的影響

一般地，相對(duì)于設(shè)備自身上某個(gè)點(diǎn)的慣性張量很容易得到，但多個(gè)設(shè)備組合安裝在一起時(shí)，經(jīng)常會(huì)需要計(jì)算某個(gè)設(shè)備相對(duì)于另一個(gè)設(shè)備所在坐標(biāo)系的慣性張量。一般地，兩個(gè)設(shè)備間坐標(biāo)軸方向相同，區(qū)別在于原點(diǎn)不同，此時(shí)相當(dāng)于求解坐標(biāo)系的平移對(duì)慣性張量的影響。

如圖 1所示，假設(shè)質(zhì)點(diǎn)系組成的剛體位于參考坐標(biāo)系Ox1y1z1，此時(shí)坐標(biāo)系平移(x0y0z0)，形成新的坐標(biāo)系為Ox2y2z2。

則此時(shí)在Ox1y1z1坐標(biāo)系內(nèi)，慣性張量矩陣I2表示為：

將式（6）中I2x分項(xiàng)展開(kāi)：

以此類推可得I2y和I2z的表達(dá)式。

將式（6）中I2xy分項(xiàng)展開(kāi)：

注意式（9）中，I1xy=-∑mixiyi，同時(shí)如果將O點(diǎn)選擇在質(zhì)心位置，則有∑mixi=0和∑miyz=0，則式（9）變?yōu)椋?/p>

以此類推可得I2y2和I2x2的表達(dá)式。

則式（7）得：

圖 1 坐標(biāo)系平移

其中m為剛體總質(zhì)量，注意上式成立的條件是原坐標(biāo)系原點(diǎn)O選擇在質(zhì)心位置?？梢缘玫揭韵陆Y(jié)論：剛體所在坐標(biāo)系平移時(shí)，新坐標(biāo)系下的慣性張量可以通過(guò)剛體在以質(zhì)心為原點(diǎn)的參考系下的慣性張量求得。

2.3 坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積的影響

同樣，設(shè)備在飛機(jī)上安裝時(shí)經(jīng)常需要旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度安裝，會(huì)需要計(jì)算某個(gè)設(shè)備相對(duì)于一個(gè)旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系的慣性張量，一般地，兩個(gè)坐標(biāo)系之間共原點(diǎn)，坐標(biāo)軸之間相差某個(gè)角度，此時(shí)相當(dāng)于求解坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)對(duì)慣性張量的影響。

對(duì)此情況，文獻(xiàn)[2]中給出了轉(zhuǎn)換矩陣。

如圖 2對(duì)于任意兩個(gè)共原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系Ox1y1z1和Ox2y2z2。可以證明，Ox1y1z1可以通過(guò)三次繞其坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換得到Ox2y2z2，每次轉(zhuǎn)過(guò)的角稱為歐拉角。例如，Ox1y1z1首先繞1z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角ψ形成新的坐標(biāo)系Ox1yaza，再沿著ay軸轉(zhuǎn)動(dòng)角θ形成新的坐標(biāo)系Ox2yazb，再沿著x2軸轉(zhuǎn)動(dòng)角φ形成新的坐標(biāo)系Ox2y2z2。

由舊坐標(biāo)系Ox1y1z1到新坐標(biāo)系Ox2y2z2的轉(zhuǎn)換矩陣見(jiàn)式（12）。

注意上式與旋轉(zhuǎn)順序有關(guān)，上式中旋轉(zhuǎn)順序是z-y-x，實(shí)際上旋轉(zhuǎn)順序共有12種。盡管最終的狀態(tài)一樣，但是不同的轉(zhuǎn)動(dòng)順序?qū)?yīng)不同的的歐拉角和不同的轉(zhuǎn)換矩陣。

而慣性張量的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

2.4 物體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積

兩個(gè)坐標(biāo)系之間的關(guān)系均可以表達(dá)為其中一個(gè)坐標(biāo)系先平移至于另一個(gè)坐標(biāo)系共原點(diǎn)，然后再旋轉(zhuǎn)至與另一個(gè)坐標(biāo)系同軸。則在一個(gè)坐標(biāo)系下的物體相對(duì)于另一個(gè)坐標(biāo)系的慣性張量也可以通過(guò)先平移再旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)換矩陣得出。

3 特例

3.1 參考系坐標(biāo)軸方向變化

3.1.1 改變單個(gè)坐標(biāo)軸方向

實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)設(shè)計(jì)軟件參考系與全機(jī)參考系不一致，需要改變參考系中單軸方向。如圖 3所示，假設(shè)需要將x軸方向反轉(zhuǎn)。

則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積關(guān)系見(jiàn)式（14）。

圖 2 坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)

圖 3 改變單個(gè)坐標(biāo)軸方向

3.1.2 交換坐標(biāo)軸方向

實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)設(shè)計(jì)軟件參考系與全機(jī)參考系不一致，需要交換兩個(gè)坐標(biāo)軸方向。如圖 4所示，假設(shè)需要將y軸和z軸互換方向。

則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積關(guān)系見(jiàn)式（15）。

3.2 相對(duì)坐標(biāo)軸位置變化

3.2.1 平面對(duì)稱安裝

設(shè)備實(shí)際安裝中，有時(shí)需要平面對(duì)稱安裝。如圖 5所示，假設(shè)對(duì)稱平面為xz平面。

則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積關(guān)系見(jiàn)式（16）。

3.2.2 軸對(duì)稱安裝

設(shè)備實(shí)際安裝中，有時(shí)需要軸對(duì)稱安裝。如圖 6所示，假設(shè)對(duì)稱軸為z軸。

則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積關(guān)系見(jiàn)式（17）。

3.2.3 點(diǎn)對(duì)稱安裝

設(shè)備實(shí)際安裝中，有時(shí)需要軸對(duì)稱安裝。如圖 7所示，假設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為O點(diǎn)。

圖4 交換坐標(biāo)軸方向

圖5 平面對(duì)稱安裝

圖6 軸對(duì)稱安裝

圖7 點(diǎn)對(duì)稱安裝

則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積關(guān)系見(jiàn)式（18）。

4 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積的疊加

實(shí)際中經(jīng)常遇到的情況是多個(gè)子設(shè)備組合為一個(gè)組合設(shè)備，其中每個(gè)子設(shè)備在各自參考系下可以得出各自的重心位置、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積，此時(shí)可以要求每個(gè)子設(shè)備給出各自重量、重心位置、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積，再通過(guò)公式求得組合設(shè)備的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積。如式（19）所示，文獻(xiàn)[3]給出了一個(gè)求解組合設(shè)備轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積的公式，但是其中各項(xiàng)物理含義和參考系關(guān)系不太明確，在此予以明確。

其中：Ix、Iy和Iz為組合設(shè)備的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，參考系原點(diǎn)位于組合設(shè)備的重心，單位為kg·m2；

Ixy、Iyx、Ixz為組合設(shè)備的慣性積，參考系原點(diǎn)位于組合設(shè)備的重心，單位為kg·m2；

Ixi、Iyi和Izi為子設(shè)備i的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，參考系原點(diǎn)位于子設(shè)備i的重心，單位為kg·m2；

Ixyi、Iyxi、Ixzi為子設(shè)備i的慣性積，參考系原點(diǎn)位于子設(shè)備i的重心，單位為kg·m2；

Wi為子設(shè)備i的重量，單位為kg；

Xi、Yi、Zi為子設(shè)備i的重心坐標(biāo)；

X、Y、Z為組合設(shè)備的重心坐標(biāo)。

注意計(jì)算時(shí)各子設(shè)備的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積的參考系原點(diǎn)為各自重心，各子設(shè)備的坐標(biāo)系軸的指向應(yīng)調(diào)整為一致，組合設(shè)備的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積的參考系原點(diǎn)為組合設(shè)備重心，坐標(biāo)系軸的指向與各子設(shè)備的坐標(biāo)系軸的指向相同。

組合設(shè)備的重心的計(jì)算通過(guò)式（20）得出。

注意計(jì)算時(shí)各單元的重心位置坐標(biāo)系需要統(tǒng)一，組合設(shè)備的重心位置結(jié)果在同一坐標(biāo)系下。

5 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，組合設(shè)備的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積，可以根據(jù)本文中推導(dǎo)的公式，以子設(shè)備的重量、重心位置、重心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和重心慣性積作為輸入計(jì)算給出。

[1]吳斌,楊全潔.用扭擺法測(cè)量導(dǎo)彈慣性積的誤差分析[J].彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào), 2005,25(4):153-155

[2]肖業(yè)倫.航空航天器運(yùn)動(dòng)的建?！w行動(dòng)力學(xué)的理論基礎(chǔ)[M].北京: 北京航空航天大學(xué)出版社, 2003.

[3]飛機(jī)設(shè)計(jì)手冊(cè)總編委會(huì).飛機(jī)設(shè)計(jì)手冊(cè)第8冊(cè):重量平衡與控制[M].北京: 航空工業(yè)出版社, 1999.

王斌，男，（1982-），北京，工程碩士，工程師，飛行器設(shè)計(jì)專業(yè)，主要從事電子設(shè)備裝機(jī)適配性相關(guān)技術(shù)研究工作。

Method for Calculating Moments and Products of Inertia of Large Assembly Under Airborne Circumstance

WANG Bin
(China Academy of Electronics and Information Technology, Beijing 100041)

It is difficult to measure the moments and products of inertia of large assembly, which is consist of several parts, under airborne circumstance. The simple way is to calculate the moments and products of inertia of large assembly to obtain the moments and products of inertia of every part. Previous expressions of transformation matrix of matrix of inertia, under parallel moving and rotation moving, are extended to improve the compatibility with airborne circumstance. Furthermore, certain transformation matrices were developed under special cases. This paper provides equation basis for calculating moments and products of inertia of large assembly.

airborne circumstance; moments of inertia; products of inertia

V219

A

1004-7204（2017）03-0026-05