重慶市魯能巴蜀中學(xué)校 杜星蘭

例說軸對稱在解題中的妙用

重慶市魯能巴蜀中學(xué)校 杜星蘭

本文研究的主要目標就是應(yīng)用軸對稱理論嘗試解題，并從中發(fā)現(xiàn)軸對稱解題存在的實踐意義，讓學(xué)生更好地掌握科學(xué)的解題方法，并沿用到生活當中。

軸對稱；解題；妙用

伴隨時代的不斷發(fā)展以及社會文明的不斷進步，人們越來越重視教育工作的質(zhì)量升級目標，通過科學(xué)的學(xué)習(xí)方式能夠培養(yǎng)學(xué)生更加優(yōu)秀的綜合能力。因此，本文就針對軸對稱的解題思路進行分析，希望能夠讓學(xué)生掌握更為靈活的解題思維。

一、選擇最優(yōu)路線問題

采取軸對稱的方式在解題的過程中充分應(yīng)用，能夠滿足實際的解題需求，即應(yīng)用翻折變換的方式勾畫基礎(chǔ)途徑，進而獲得解題思路，從而得到答案。本次研究首先從選擇最優(yōu)路線的解題用法入手，從中體會解題應(yīng)用軸對稱的妙處。

例1 如圖1所示，瓜農(nóng)從A處去挑水，然后回到B處，A處為瓜農(nóng)的家，B處是瓜棚的位置，嘗試尋找在什么位置取水能夠走最短的路程？解題：尋找A點關(guān)于直線CD的翻折變換對稱點A1，選擇連接A1B與直線CD交于點M。根據(jù)題目給出的信息進行解題，理順對稱軸的性質(zhì)能夠得知，AM=A1M。因為AM+BM=A1M+BM=A1B，因此獲得兩點之間的直線最短。所以，點M為本題答案。

圖1

例2 根據(jù)圖2理解，兩條道路之間形成的夾角α＜90°。在兩條道路之間存在一個汽油儲存地點，該地點表示為P。如果希望在兩條道路上都設(shè)置一個加油站，應(yīng)當能選擇的位置是哪里？要求能夠?qū)蓚€加油站設(shè)置在與汽油儲存地點分別達到比較近的位置，即從汽油儲存位置到一個加油站，再到另一個加油站后回到原點的距離最近。嘗試分析這樣的題目，就是把生活中實際存在的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)理論。即已知條件為∠ABC和∠ABC內(nèi)的P點，∠ABC為α，且α＜90°，在射線BA和BC的線路中尋找符合要求的Q點、R點，促使折線(PQ+QR+RP)后得到的線路長度最短。這樣的方式說明，如果解題過程中應(yīng)用軸對稱中的翻折變換方式，就能夠從P點找到BA和BC的軸對稱點，即P1，P2，然后就能夠為找尋最短路徑的問題找到解題方案。具體解題方案就是，在BA和BC兩側(cè)找到關(guān)于P點的對稱點，分別是P1，P2，并連接P1，P2，與BA、BC交于點Q和點R，最終獲得的點Q、點R就是答案。

圖2

二、臺球運動反射原理

臺球運動在固定的桌面范疇內(nèi)，存在不同的球位置，因此能夠促成非常有趣的數(shù)學(xué)題目，應(yīng)用軸對稱的翻轉(zhuǎn)變換方式進行解題，可以獲得很多科學(xué)的思路，進而滿足數(shù)學(xué)教學(xué)的實際需求。如圖3所示，在矩形的臺球桌中存在C，D，E，F(xiàn)四個點，其中A、B分別表示黑色球和白色球，假使通過球桿擊打黑色球，就能夠在黑色球達到桌邊時碰撞EF線，然后反彈回去恰好擊中白色球，希望達成這樣的擊打線路，應(yīng)當如何控制黑色球的運動軌跡路線？為了能夠解答這道題目，第一步需要在臺球桌的線路內(nèi)尋找能夠反彈球的線路及其規(guī)律，將A球擊打到臺球桌面的EF射線上，就會遇到M點，進而通過反彈可以滿足集中B球的要求，MN就是EF的垂線，∠AMN和∠BMN分別稱之為入射角和反射角。了解并掌握自然反射中存在的規(guī)律信息，就能夠發(fā)現(xiàn)，假如光線從A的角度射入，然后通過鏡面的操作呈現(xiàn)出M反射就會到達B點?！螦MN與∠BMN是相等的，這也是反射原理的內(nèi)容，而出現(xiàn)在M點的角度也是最佳的反射點，首先，通過延長BM獲得A1，進而能夠得到MA1=MA，并且可以發(fā)現(xiàn)A在EF右側(cè)存在對稱點，即A1，連接A,B與EF交于M點，即M是最優(yōu)點。其次，在EF上存在的任意一個點再到A、B點上的距離之和，都顯示AM+MB為最短線路。

圖3

三、幾何證明題中的應(yīng)用

利用軸對稱和翻轉(zhuǎn)變換的理論能夠在幾何證明題中充分應(yīng)用，并輔助得到良好的題目解答方案。在幾何圖形中，非常常見的圖形都是由線、角組成的，其中包含等腰三角形等。為了能夠證明幾何題目中才能存在的對稱關(guān)系，就需要根據(jù)翻折變換的方式將不對稱的圖形轉(zhuǎn)變?yōu)檩S對稱圖形，進而達成解題證明的需求。如圖4所示，△ABC是等邊三角形，將線段BA延長到E，再將線段BC延長到D，使AE與BD相等，然后連接CE和DE，求證CE=DE。嘗試分析，假如CE=DE，那么在CD的中垂線兩側(cè)存在對稱的線段關(guān)系，根據(jù)這一原則進行圖形的補充，采取翻折變換的方式能夠補全圖形，最終延長BD到 F，其中DF=BC，補充一個軸對稱的圖形，就能夠獲得等邊三角形EBF，通過證明△EBC≌△EFD即可獲得證明結(jié)果。

圖4

通過切實有效的分析、探討和總結(jié)能夠發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程當中，應(yīng)當重視對學(xué)生感性認知的調(diào)節(jié)，滿足學(xué)生自身對實踐學(xué)習(xí)的要求，讓學(xué)生在解題的過程中，通過自己的操作實現(xiàn)對軸對稱理論的理解，進而能夠讓學(xué)生在翻轉(zhuǎn)變換的過程中體驗相關(guān)的信息，進而借助自身學(xué)習(xí)到的理論實現(xiàn)對生活中存在問題的解答，從而讓學(xué)生在大腦思維中構(gòu)建數(shù)學(xué)思維模式，讓學(xué)生更好地將學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到生活當中。

[1]李志英.初中生關(guān)于軸對稱知識理解的研究[D].河北師范大學(xué)，2014.

[2]陳丞.對初二學(xué)生解決軸對稱圖形問題的研究[D].蘇州大學(xué)，2014.

[3]王連東.軸對稱塑性變形問題的廣義滑移線方程推導(dǎo)[J].燕山大學(xué)學(xué)報，2000（03）：250-253.