張艷艷 陳蘇婷 葛俊祥 萬發(fā)雨 梅永 周曉彥

(南京信息工程大學,江蘇省氣象探測與信息處理重點實驗室,江蘇省氣象傳感網技術工程中心,江蘇省大氣環(huán)境與裝備技術協(xié)同創(chuàng)新中心,南京 210044)

自適應非凸稀疏正則化下自適應光學系統(tǒng)加性噪聲的去除?

張艷艷?陳蘇婷 葛俊祥 萬發(fā)雨 梅永 周曉彥

(南京信息工程大學,江蘇省氣象探測與信息處理重點實驗室,江蘇省氣象傳感網技術工程中心,江蘇省大氣環(huán)境與裝備技術協(xié)同創(chuàng)新中心,南京 210044)

(2017年1月23日收到;2017年3月29日收到修改稿)

自適應光學系統(tǒng)可以實時測量并校正波前信息,但是系統(tǒng)中大量的噪聲嚴重影響了系統(tǒng)的探測精度.自適應光學系統(tǒng)中一般為加性噪聲,本文提出一種全新的變分處理模型去除加性噪聲,該模型采用自適應非凸正則項.非凸正則項在保持圖像細節(jié)上較凸正則項具有更好的效果,能更好地保持點源目標的完整性.另外,根據不同區(qū)域的噪聲水平自適應地構建正則化參數,使不同區(qū)域的像素點受到不同程度的噪聲抑制,可以更好地保持目標的邊緣細節(jié).在算法實現上,為了解決非凸正則項收斂性較差的缺陷,采用分裂Bregman算法及增廣拉格朗日對偶算法進行計算.實驗及數值仿真結果都表明,該方法能夠較好地去除系統(tǒng)中的加性噪聲,且光斑信號保存得較為完整,處理后的質心探測精度及信噪比較高.

自適應光學,加性噪聲,自適應正則化,非凸

1 引 言

自適應光學(adaptive optics,AO)系統(tǒng)通過實時測量[1?3]、校正受到大氣湍流擾動影響的光波前來提高成像系統(tǒng)的成像質量[4,5],在天文觀測等領域具有重要的應用.AO系統(tǒng)的噪聲為加性噪聲,其噪聲模型為[6]

其中uk是觀測圖像,fk是待恢復圖像,nk是噪聲.對于AO系統(tǒng)而言,nk最主要的來源是背景噪聲、電荷耦合器件(CCD)的讀出噪聲等,其中的背景噪聲整靶面分布均勻,較為容易處理[6].讀出噪聲的分布符合均值為零、方差為σ2的高斯形式,是AO系統(tǒng)中最主要的噪聲源,本文只對讀出噪聲進行分析.

文獻[7]提出采用減閾值的方法去除AO系統(tǒng)的加性噪聲,并論證了最優(yōu)閾值的存在.Arines和Ares[8]提出使用最小方差的閾值計算方法.另外,Thomas[9]提出了使用加窗一階矩的算法來計算質心,加窗法可以有效地降低窗口以外的噪聲對質心探測精度的影響,通過適當改變探測窗口面積大小來降低遠離光斑質心位置的像素的影響,以提高質心探測精度.但是窗口的尺寸并不能一味地減小,當光斑像素點不能全部在計算窗口內時,誤差將增大,因此在利用加窗法進行質心計算時,窗口尺寸的選取至關重要.Baker和Moallem[10]提出了加權一階矩算法,該算法利用的是光斑信號的高斯形態(tài)分布以及光斑信號的灰度值與噪聲信號灰度值的差別,光斑信號的灰度值要高于噪聲的灰度值,若將整幅圖像乘以一個在光斑質心位置處高斯分布的函數,則相當于對光斑圖像進行了非線性的增強.

對于去除加性噪聲,Rudin等[11]提出了著名的基于全變差的噪聲模型.隨后又有學者提出了熱擴散方程,并在此基礎上提出了一系列的改進方法,其中最為廣泛使用的是Tikhonov正則項.Tikhonov正則項是平滑的凸正則項,對于保持圖像的細節(jié)效果不好.隨后又有學者提出了非凸正則化模型,實驗表明非凸的正則項在保持圖像細節(jié)上較凸正則項具有更好的效果[11?15].但是,非凸正則項卻帶來一個問題,就是計算的復雜度.另外,全變差模型的正則化參數通常為常量,這使得位于不同區(qū)域的像素點受到的噪聲抑制程度相同,導致同質區(qū)域的光滑程度不夠,或者邊緣、紋理區(qū)域過度光滑,從而影響噪聲抑制效果[16].

基于以上分析,本文提出一種新的非凸正則項的加性噪聲去除模型,該模型能夠自適應調整正則化參數,在去噪的同時能夠較好地保持AO系統(tǒng)的點源目標圖像,提高系統(tǒng)的質心探測精度.數值及實驗結果表明新模型能夠更好地去除點源目標噪聲,提高質心探測精度.

2 非凸正則項模型分析

從噪聲圖中恢復出目標圖像信號f的問題可轉化為以下問題的求解[17],

其中,∥a∥0表示向量a的L0范數,即向量a的非零元素個數;元素gk做歸一化處理后即為原子;ak為各項原子對應分解系數.此時f的求解問題轉化為

(3)式中L0范數的非凸性,使(3)式的求解變成了NP難的組合優(yōu)化問題.最初,Mallat和Zhang[18]通過迭代的貪婪算法(匹配追蹤算法)來求解;隨后,Donoho和Tsaig[19,20]用L1范數取代L0范數,將(3)式轉換成(4)式進行優(yōu)化求解,

在(4)式中,正則化參數λ的大小決定噪聲抑制的程度,對于同質區(qū)域,λ的取值應該偏大,但是較大的λ會使得噪聲抑制過度,從而造成邊緣、紋理細節(jié)信息的丟失;而對于邊緣、紋理細節(jié)區(qū)域,會造成同質區(qū)域噪聲的抑制不足.不管是(3)式還是(4)式,其中λ的取值都是固定的,但是這對于保持圖像的細節(jié)而言并不是最好的選擇,尤其對于AO圖像,由于點源目標較小,圖像細節(jié)不清晰,固定的λ值使得去噪之后的光斑的失真度更高,質心精度降低.因此,有必要選擇可以自適應調整的參數.

文獻[16]提出了采用變分模型解決以上問題,并采用λi替換λ的方法進行自適應的參數選取,本文基于此思路提出了適用于AO系統(tǒng)點源目標的提取方法.文獻[16]利用最大后驗概率估計得到相應的最小化問題,將(4)式轉化為

式中?(·)為正則化函數,

表示系數ak的梯度,其中分別代表水平和垂直方向的偏導.文獻[16]提出將其中的?∥?ka∥1項替換成一個關于?ka的函數,

其中α是一個足夠大的輔助常數.則λk的Euler-Lagrange方程為

上述方法可以自適應選取正則化參數,具有較好的效果,但是由于光學點源目標較小,細節(jié)較少,直接采用(7)式約束效果較差.因此本文針對此類點源目標提出了一種新的定義方法,

此模型與(6)式相比,對于|?ka|進行偏導處理.(6)和(8)式的比較如圖1所示,其中為了簡便起見,引入新的變量s,并令s=|?ka|.從圖1可以看出,在s<1時,(8)式的取值較(6)式略小,但是在s>1時,(8)式的取值較(6)式具有明顯的增大,而s<1時對應于點源目標圖像的目標與噪聲的梯度較大,這也說明該正則項能夠更好地保持光斑圖像的完整度,提高質心探測精度.

所提出正則項具有以下特點.

1)此正則項參數在稀疏領域具有優(yōu)勢.事實上,我們所提出的正則項可以看作是a的梯度模量的稀疏測量.其中相當于梯度模量a的L1范數,而我們提出的非凸正則項可以看做的L0范數,此時的β需要設置的較大.而L0較L1范數具有更大的稀疏性,因此其能夠更好地進行稀釋分解及保存點源目標的邊緣.

2)此正則項可以防止圖像的過平滑.為了防止邊緣的過平滑,?(·)應該呈現增長的趨勢,但其終值(其中c是常數),使得正則項的作用不會影響到a的梯度,我們所提出的算法滿足此要求.

圖1 正則項?(s)=s/(1+s)和?(s)=s2/(1+s2)的比較Fig.1.The comparison of two nonconvex regularization function ?(s)=s/(1+s)and ?(s)=s2/(1+s2).

3)本文的正則項是非凸項,雖然非凸項收斂性較差,但是非凸正則化參數對于圖像的微小變化更為敏感,可以更好地保持圖像邊緣的細節(jié)信息,對于本身細節(jié)就較少的AO點源目標來說具有更好的提取效果.

3 解決方法

盡管新正則項在圖像的保邊方面具有一定優(yōu)勢,但由于它的非凸性,模型(5)很難采用經典的算法直接進行求解,本文采用分裂Bregman算法[21]及增廣拉格朗日對偶算法[22]相結合的方法進行求解.

首先引入輔助變量v∈Rr,將無約束的極小化模型(5)轉化為如下含有約束的極小化模型:

求解(9)式的分裂Bregman算法的步驟如下:

1)選取圖像,給定參數初始值μ>0,λk>0,選擇Global字典,并令迭代指標i=1;

2)求解(a(i),v(i)),

3)根據極小化問題(10)的解,更新ri:

4)更新i=i+1,當步驟2和3收斂時,輸出a(i),v(i);否則,返回步驟2;

5)采用交替迭代的方法進行求解a(i)和v(i),即求解如下的兩個公式,

4 數值處理結果及分析

4.1 仿真結果

為便于參數的調節(jié),我們模擬了含有不同噪聲水平的光斑圖像,模擬條件如下:圖像大小為201 pixels×201 pixels,光斑中心(x0,y0)坐標為(100,100),峰值50 ADU,等效高斯寬度為σA=1.25 pixels.此條件下模擬出的目標光斑在5×5像元內集中了80%以上的能量.

在實驗中,我們發(fā)現對去噪效果影響較大的參數是β,此參數不僅依賴于噪聲的強度,而且圖像本身對其影響也較大.在去噪過程中,此參數對點源圖像的復原精度及細節(jié)保留程度均有較大的影響,但是如何有效調節(jié)參數β使得去噪效果達到最佳,是本文下一步的研究方向.根據多次實驗測試,本文中β的取值在[0,5]之間.

我們分別將測試圖像加上不同強度的高斯噪聲,噪聲強度主要體現在其方差σ上,σ的取值較小意味著噪聲的強度較弱[23?25],本文σ取值為[1,8].比較了所提出算法模型及減閾值算法的峰值信噪比(PSNR)及質心探測精度,PSNR的定義式為

式中maxf表示真實圖像f的最大值,MSE表示為

質心探測精度采用質心偏差的平均偏差的均方根值(RMS)及峰谷值(PV),其中質心偏差的PV表示其偏差的峰谷值,RMS表示質心偏差的起伏.

對光斑圖像添加不同水平的噪聲,如圖2所示,可以看出隨著σ的增大,光斑信號被噪聲所淹沒.圖3是采用減閾值算法后的光斑圖像,可以看出在σ較小時,采用減閾值算法效果較好,但是隨著σ值的增大、圖像噪聲的增強,減閾值算法對噪聲的濾除效果較差.圖4是采用(6)式進行處理后的效果,可以看出在信噪比較低的情況下,該算法較減閾值算法對噪聲的處理能力具有明顯的優(yōu)勢,但是,該算法對光斑的完整性保持不好,從而會影響質心探測的精度.圖5是采用本文算法處理后的效果,可以看出在保持良好的去噪性能的基礎上,本文算法能夠較好地保持光斑的邊緣,使光斑信號更加完整.

圖2 含有不同噪聲水平的的光斑圖像Fig.2.The spots under di ff erent noise levels.

圖3 減閾值算法處理后的效果Fig.3.The spots obtained by using threshold reduction algorithm.

圖4 采用(6)式作為正則項處理后的結果Fig.4. The processing results obtained by using Eq.(6)as a adaptively regularization term.

表1 不同噪聲水平下各算法處理后質心偏差RMS,PV及PSNR比較Table 1.The comparison of centroid deviation’s RMS,PV and PSNR under di ff erent noise levels for three processing methods.

圖5 本文提出算法處理效果Fig.5.The processing obtained by results using our proposed model.

圖6 (a)較小子孔徑時含有噪聲的光斑圖像;(b)減閾值效果圖;(c)采用(6)式處理后的效果圖;(d)本文算法處理后的效果圖Fig.6.(a)Small size sub-aperture image with noise;(b)the image after subtracting the threshold;(c)the processing results obtained by using Eq.(6)as a adaptively regularization term;(d)the image after processed by the proposed method.

一般地基光電望遠鏡AO系統(tǒng),子孔徑及光斑都較小,本文對此情況下的處理效果進行了仿真分析.仿真參數:子孔徑大小為10 pixels×10 pixels,峰值50 ADU,艾里斑集中在2×2像素內,此模擬子孔徑圖像的信噪比約為14 dB.從圖6可以看出,雖然處理效果較大尺寸子孔徑圖像略有下降,但其去除噪聲的效果要好于減閾值算法,另外,在光斑的邊緣細節(jié)處理上要明顯好于(6)式的處理結果.

為了進一步驗證本文算法的有效性,對比分析了處理前后的質心偏差,如圖7所示.從圖7可以看出,三種算法處理后的質心偏差都隨著噪聲強度的增加而增大,但可以較為明顯地看出本文算法的優(yōu)勢.另外,比較表1中處理前后的PSNR及質心探測精度可以看出,本文所提出的模型與減閾值算法及文獻[16]算法相比能夠獲得更高的PSNR及更低的質心探測誤差.

圖7 不同噪聲水平下各算法處理后的質心偏差圖Fig.7. The centroid deviation comparison among these three methods.

4.2 實驗結果與分析

為了驗證本文算法的有效性,另選擇夏克-哈特曼圖像進行實驗,并將幾種算法處理的效果進行了比較,如圖8所示.實驗中,光斑大小為6 pixel×6 pixel,CCD靶面為(768×484)pixels,子孔徑大小為(20×20)pixels,有效子孔徑數400,每一個子孔徑為一個0.51 mm的方孔.圖8(a)是所采集到的含有較強噪聲的圖像,信噪比約為18 dB.圖8(b)是減閾值處理的效果圖,此時所選取的閾值大小為最優(yōu)閾值的估計值,約為27 ADU,可以看出經過減閾值處理后仍有較強的噪聲殘留,處理后的信噪比約為25 dB,略有提高.圖8(c)是采用(6)式作為自適應正則項處理后的結果,處理后的信噪比約為26.5 dB,較減閾值算法稍有提高.圖8(d)是采用本文提出的方法處理后的結果,可以看出個子孔徑光斑提取效果較好,且天光背景噪聲濾除較為干凈,此時信噪比約為32.7 dB.

圖8 (a)含有較強天光背景的夏克-哈特曼圖像;(b)減閾值效果圖;(c)采用(6)式處理后的效果圖;(d)本文算法處理后的效果圖Fig.8.(a)Shack-Hartmann image with high background;(b)the image after subtracting the threshold;(c)the processing results by using Eq.(6)as a adaptively regularization term;(d)the image processed by the proposed method.

圖9是選取上述哈特曼的單個子孔徑圖像進行處理前后的對比分析,從圖中可以看出,處理前天光背景較強,光斑被背景及噪聲淹沒,減閾值算法處理后噪聲起伏仍較大,采用本文算法處理后,光斑目標提取較好.由此可以看出,在信噪比較低時,本文算法較減閾值算法仍然有較大的優(yōu)勢.

在信號較弱即信噪比更低時對上述算法的處理效果進行對比分析,為方便起見,選取了部分子孔徑進行結果演示,如圖10所示.從圖10可以看出,由于光斑信號較弱,幾乎被噪聲所淹沒,此時信噪比約為12 dB.減閾值算法處理后噪聲起伏仍較大,光斑提取效果較差,處理后信噪比約為13.5 dB,稍有提高.圖10(c)是采用(6)式處理后的結果,可見仍有大量噪聲殘留,且目標光斑不完整,處理后的信噪比約為19.5 dB.圖10(d)是采用本文方法處理后的結果,可以看出由于原光斑較弱,處理后仍有一定的噪聲殘留,此時信噪比約為25 dB,且光斑保留較圖10(c)更為完整.

圖9 (a)含有噪聲的單個子孔徑圖像;(b)減閾值處理后效果圖;(c)采用(6)式處理后的效果圖;(d)本文算法處理后的效果圖Fig.9.(a)Sub-aperture image before being processed;(b)the image after subtracting the threshold;(c)the processing results by using Eq.(6)as a adaptively regularization term;(d)the image processed by the proposed method.

5 結 論

本文提出了一種新的去除AO系統(tǒng)加性噪聲的方法,該方法考慮到點源目標特性,采用非凸正則項在稀疏域進行處理,能夠更好地保持點源目標.對該方法的優(yōu)勢進行了詳細的討論.為了克服非凸正則項收斂性差的特點,本文采用分裂Bregman算法及增廣拉格朗日對偶算法對該模型進行計算.仿真及實驗結果表明,本文所提出的非凸正則化模型能夠較好地去除噪聲,提高點源光斑目標的質心探測精度.

圖10 (a),(b)光斑較弱時低信噪比的夏克-哈特曼及單個子孔徑圖像;(c),(d)減閾值效果圖及單個子孔徑圖像;(e),(f)采用(6)式處理后的效果圖及單個子孔徑圖像;(g),(h)本文算法處理后的效果圖及單個子孔徑圖像Fig.10.(a)Shack-Hartmann image with weak signal in low signal-to-noise ratio and(b)the corresponding subaperture image;(c)the image after subtracting the threshold and(d)the corresponding sub-aperture image;(e)the processing results by using Eq.(6)as a adaptively regularization term and(f)the corresponding sub-aperture image;(g)the image processed by the proposed method and(h)the corresponding sub-aperture image.

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PACS:95.75.Qr,42.68.–w,07.05.PjDOI:10.7498/aps.66.129501

Removal of additive noise in adaptive optics system based on adaptive nonconvex sparse regularization?

Zhang Yan-Yan?Chen Su-Ting Ge Jun-Xiang Wan Fa-Yu Mei Yong Zhou Xiao-Yan

(Jiangsu Collaborative Innovation Center of Atmospheric Environment and Equipment Technology,Jiangsu Technology and Engineering Center of Meteorological Sensor Network,Jiangsu Key Laboratory of Meteorological Observation and Information
Processing,Nanjing University of Information and Science Technology,Nanjing 210044,China)

23 January 2017;revised manuscript

29 March 2017)

Adaptive optics(AO)system which is widely used in astronomical observations can improve the image quality by the real-time measurement and correction of the wave-front.One of the main problems in the AO system is the poor quality of the image because of the system noises.The noises in AO system are additive noises.The main sources of the noises are the background noise,the photon noise,and the readout noise of charge-coupled device.The background noise is distributed evenly and is easy to process.The photon noise is dependent on the characteristics of the spot itself.Readout noise,which is Gaussian distribution with the mean value of 0 and the variance of σ2,is the main noise source in AO system.In this paper,we focus on the readout noise and propose a new regularization model to remove additive noises from the AO system.In this model,the regularization parameters can be adaptively changed.A nonconvex regularization term is used to make the homogeneous region of the image smooth efficiently,while the integrity of the spot can be well restored.The properties of the regularization proposed are shown below.1)The proposed nonconvex regularization term can act as the L0norm which is sparser than L1norm.2)The proposed model can protect the edge of the spot from over smoothing.To prevent the edges from over smoothing,the regularization parameter must be an increasing function.Moreover,it converges to a constant so that it cannot a ff ect the strong gradient of the image.3)The regularization term proposed is nonconvex which is more sensible to the minor change of the image.Therefore,the edges of the image can be better preserved.Though the proposed model can well preserve the edges of the spot,it is difficult to resolve by traditional methods because of the nonconvexity.Split Bregman algorithm and augmented Lagrangian duality algorithm are used to solve this problem.We can obtain a denoised spot image as well as an edge indicator by using the proposed model.The visual and quantitative evaluations are used to value the restored images.The evaluating indicators are the peak signal-to-noise ratio and centroid detecting error which includes the root mean square and the peak valley value of the centroid deviation.The simulation and experimental results show the efficiency of this model in removing the additive noises from the AO system.

adaptive optics,additive noise,adaptively regularization term,nonconvex

10.7498/aps.66.129501

?國家自然科學基金(批準號:61071164)、江蘇省高校自然科學研究基金重大項目(批準號:12KJA510001)、江蘇省氣象探測與信息處理重點實驗室項目(批準號:KDXS1405)、江蘇省2016大學生實踐創(chuàng)新計劃(批準號:201610300254)、江蘇高校優(yōu)勢學科II期建設工程和江蘇省雙創(chuàng)計劃資助的課題.

?通信作者.E-mail:002243@nuist.edu.cn

?2017中國物理學會Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

*Project supported by the National Nature Science Foundation of China(Grant No.61071164),the Major Project of Nature Science Foundation of Higher Education Institution of Jiangsu Province,China(Grant No.12KJA510001),the Program of Jiangsu Key Laboratory of Meteorological Observation and Information Processing,China(Grant No.KDXS1405),the Jiangsu Province College Students Practice and Innovation Training Platform,China(Grant No.201610300254),the Priority Academic Program Development of Jiangsu Higher Education Institutions,China,and the Jiangsu Innovation and Entrepreneurship Group Talents Plan,China.

?Corresponding author.E-mail:002243@nuist.edu.cn