耿虎 計青山 張存喜 王瑞?

1)(浙江海洋大學電子信息科學與工程系,舟山 316022)

2)(浙江海洋大學東海科學與技術學院,舟山 316000)

綴飾格子中時間反演對稱破缺的量子自旋霍爾效應?

耿虎1)計青山2)張存喜1)王瑞1)?

1)(浙江海洋大學電子信息科學與工程系,舟山 316022)

2)(浙江海洋大學東?？茖W與技術學院,舟山 316000)

(2016年12月8日收到;2017年4月17日收到修改稿)

研究了綴飾格子中的量子自旋霍爾效應,模型中同時考慮了Rashba自旋軌道耦合和交換場的作用.綴飾格子具有簡立方對稱性,以零能平帶和單狄拉克錐結構為主要特點.在綴飾格子中,不論是實現(xiàn)量子自旋霍爾效應還是量子反?；魻栃?都需要一個不為零的內稟自旋軌道耦合作用來打開一個完全的體能隙,這與石墨烯等六角格子模型有著很大的不同.在交換場破壞了時間反演對稱性的情況下,以自旋陳數(shù)為標志的量子自旋霍爾效應仍然能夠存在,邊緣態(tài)和極化率的相關結果也證明了這一結論.結果表明自旋陳數(shù)比z2拓撲數(shù)在表征量子自旋霍爾效應方面有著更廣泛的適用范圍,相應的結論為利用磁場控制量子自旋霍爾效應提出了一個理論模型和依據(jù).

量子自旋霍爾效應,自旋軌道耦合,拓撲序

1 引 言

近年來,量子自旋霍爾效應和量子反?；魻栃猍1?5]由于其在基礎物理和納米電子學等方面潛在的應用而得到了廣泛的關注和研究[6?9].量子自旋霍爾效應和量子反?；魻栃家酝耆蜷_的體能隙和受到拓撲保護的無能隙邊緣態(tài)著稱,可以用一些拓撲不變量來表征[10].最初,Kane和Mele[11]預言絕緣體在沒有外磁場的情況下,可以發(fā)生量子自旋霍爾效應,塊體表面會出現(xiàn)受時間反演對稱保護的螺旋邊緣態(tài),這一現(xiàn)象已經在碲化汞量子阱中得到了很好的驗證[12,13].后來,南京大學盛利研究組[14,15]發(fā)現(xiàn),當內稟自旋軌道耦合和Rashba自旋軌道耦合同時存在時,在時間反演對稱破缺的情況下量子自旋霍爾效應仍然能夠存在.這一發(fā)現(xiàn)大大拓展了量子自旋霍爾效應的范圍并提出了一個新的拓撲不變量——自旋陳數(shù)[14?16].

一般情況下,內稟自旋軌道耦合作用被認為有助于實現(xiàn)量子自旋霍爾效應,而Rashba自旋軌道耦合則不利于這一效應,它有助于實現(xiàn)量子反?；魻栃猍17].量子反?；魻栃蕾囉谙到y(tǒng)的內在磁化和Rashba自旋軌道耦合,它可以被一個整數(shù)化的霍爾電導來表征[18?22].目前,人們已經在數(shù)個模型中實現(xiàn)了量子反?；魻栃?Wu[23]建議在石墨烯中通過對自旋軌道作用強度的調節(jié)來改變能帶的拓撲性,從而實現(xiàn)量子反?；魻栃?同樣是在石墨烯中,中國科學技術大學的喬振華教授等[17]認為Rashba自旋軌道耦合和外磁場的共同作用可以打開狄拉克點的能隙,從而產生量子反常霍爾效應.近來,人們陸續(xù)在許多其他的模型(如Kagome模型[24?26]、四方氧化晶格[27]、星形晶格[28]等)中研究了量子反?；魻栃屯負淞孔酉嘧?

本文研究了時間反演對稱破缺情況下綴飾格子中的量子自旋霍爾效應[29?32].綴飾格子也稱為二維正方邊心格子或者Lieb格子,把兩個正方格子相互嵌套即可形成一個綴飾格子,其全稱為具有各向同性最近鄰躍遷的正方邊心格子[33,34].與Kagome格子、石墨烯等已經得到很多研究的模型不同,二維正方邊心格子具有簡立方對稱結構,從而展示出一些獨有的特性.

首先,正方邊心格子和Kagome格子的原胞中均包含有三個不同的原子,對應著兩個色散帶和一個平帶,但Kagome格子中的平帶為其最高能帶,而正方邊心格子能譜中的平帶則位于兩支色散帶的中間且能量為零,我們稱其為零能平帶,這也是正方邊心格子最為顯著的特點.其次,正方邊心格子的第一布里淵區(qū)中只包含有一個狄拉克錐結構,體能帶中的較高色散帶和較低色散帶在M點接觸到中間的零能平帶從而形成狄拉克錐,而石墨烯和Kagome格子模型則是雙狄拉克錐結構.值得指出的是,在沒有內稟自旋軌道耦合的情況下,正方邊心格子能譜在M點的能隙將始終保持關閉.在這一模型中,不論是實現(xiàn)量子自旋霍爾效應還是量子反?；魻栃?要想在體能帶打開一個完整的能隙,一個非零的內稟自旋軌道耦合是必要條件之一.

2 正方邊心格子的能帶

正方邊心格子的幾何結構如圖1(a)所示,格子中每個原胞均包含三個不同的原子,分別標記為A,B,C,最近鄰格點之間的距離為a,在后面的計算中我們把a作為長度的基本單元.圖1(b)給出了這類格子的第一布里淵區(qū)并標記出了所有的高對稱點Y,Γ,M和X,其中的紅色虛線Γ-M-X-Γ給出了色散關系的積分路徑.

在緊束縛近似下,正方邊心格子的哈密頓量可以寫為HNN,HSO,HR以及Hg四個部分的組合.這里,HNN是強度為t的最近鄰格點之間的躍遷:

這里vSO是內稟自旋軌道耦合的強度,β同樣為自旋指標,σ是泡利矩陣,i和j是兩個次近鄰格點的坐標,k是它們的公共最近鄰.單位矢量eij的形式為的方向為從k點指向i點.

圖1 (網刊彩色)正方邊心格子 (a)幾何結構;(b)第一布里淵區(qū)Fig.1.(color online)(a)The geometry and(b)the fi rst Brillouin zone of Lieb lattice.

HR代表作用在最近鄰格點之間的強度為vR的Rashba自旋軌道耦合:

其中,ez為z方向的單位矢量.第四部分Hg表示強度為g的交換場作用,把一個磁絕緣體壓附在二維材料上,其可與薄膜中的載流子進行耦合從而形成交換場,

本文中,我們把最近鄰格點之間的躍遷強度t作為能量的基本單元,其他量綱為能量的參數(shù)如內稟自旋軌道耦合強度、Rashba自旋軌道耦合強度、交換場的大小以及費米能級等均以t作為基礎.在動量空間中,選擇恰當?shù)幕甫?k)=[Ci,k,↑,Ci,k,↓]T(i=A,B,C), 可以把哈密頓量展開為一個矩陣U(k).數(shù)值對角化此矩陣,就可以得到正方邊心格子的體能帶.

正方邊心格子以零能平帶著稱,當取g=0,vR=0和vSO=0時,即可看到其處于簡并狀態(tài)的能帶,兩個色散帶在M點與中間的零能平帶相接觸,從而形成狄拉克錐結構,如圖2(a).值得指出的是,能帶在M點的簡并即使在交換場和Rashba自旋軌道耦合不為零的情況下也有可能存在.事實上把M點的坐標代入哈密頓矩陣U(k),即可得到該點的6個能量本征值為當vSO=0時,在處將形成能級的簡并,這一簡并與交換場的強度無關.

圖2 (網刊彩色)正方邊心格子的能帶結構 (a)vR=0,g=0,vSO=0;(b)vR=0.4,g=0.6,vSO=0.3;(c)vR=0.4,g=0.6,vSO=0.5Fig.2.(color online)The evolution of band structures of Lieb lattice:(a)Pristine Lieb lattice;(b)vR=0.4,g=0.6 and vSO=0.3;(c)vR=0.4,g=0.6 and vSO=0.5.

所以,為了使能級在M點分開,內稟的自旋軌道耦合就一定不能為零.圖2(b)和圖2(c)中,我們給出了在不同內稟自旋軌道耦合強度的情況下系統(tǒng)的能譜,可以看出系統(tǒng)的6個能級在第一布里淵區(qū)中每一點都被很好地分開.量子自旋霍爾效應要求在能帶結構中必須有一個完全打開的能隙,這要求較低能級的最大值要小于上方相鄰能級的最小值,可以在這兩個能級之間畫出一條不與兩個能級相交的直線.圖2(b)中我們取參數(shù)vSO=0.3,g=0.6,vR=0.4,此時,系統(tǒng)在1/3和2/3填充模式下,均可以處于絕緣相,但當系統(tǒng)處于1/2填充時,我們無法在第3和第4能級之間畫出一條不與這兩個能級相交的直線,這意味著一個1/2填充系統(tǒng)的第三和第四能級總是被電子部分占據(jù),我們把這種情況下的塊體稱為半金屬,其霍爾電導不是一個整數(shù)[35].圖2(c)中,我們在保持交換場和Rashba自旋軌道耦合強度不變的情況下,增大內稟自旋軌道耦合強度vSO=0.5,可以看出,系統(tǒng)存在非常明顯的能隙,在1/3,1/2以及2/3等填充模式下均可以處于絕緣相.

一般地,可以用一個拓撲不變量來標識量子自旋霍爾效應.對本文所采用的量而言,外加交換場破壞了時間反演對稱性,這使得z2指標不能用來衡量系統(tǒng)的拓撲性,但是另一個非常重要的拓撲不變量——自旋陳數(shù)依舊適用[14?16].我們以一個1/3填充的系統(tǒng)為例來說明自旋陳數(shù)的定義和計算.矩陣U(k)的6個本征函數(shù)中,可以根據(jù)電子的具體填充情況分為導帶波函數(shù)和價帶波函數(shù),在1/3填充的情況下,可以把價帶波函數(shù)φ1和φ2組成一個基矢,然后把算符σz?I3×3在這一基矢中展開成一個2×2的矩陣:

對角化(5)式所示矩陣,可以得到兩個本征波函數(shù)?±,然后算符σz的本征譜可以寫為ψ±=[φ1,φ2]?±.定義F±(k)=iez·[?k×〈ψ±|?k|ψ±?]即可得到每個自旋矢量(組分)的陳數(shù):

兩個自旋矢量陳數(shù)的差即為自旋陳數(shù),

一個非零的自旋陳數(shù)CS標志著系統(tǒng)處于量子自旋霍爾相.但當自旋陳數(shù)為零時,系統(tǒng)可能處于量子反常霍爾態(tài)和普通絕緣相,可以借助于第一陳數(shù)這一拓撲序來區(qū)分這兩個態(tài),把兩個自旋矢量的陳數(shù)簡單求和就可以得到第一陳數(shù)(TKNN數(shù)):

這樣,結合第一陳數(shù)和自旋陳數(shù),我們就可以很容易地區(qū)分出量子自旋霍爾態(tài)、量子反常霍爾態(tài)和普通絕緣體.當C=0,CS?=0時,系統(tǒng)處于量子自旋霍爾態(tài);當C=0,CS=0時,系統(tǒng)為普通的絕緣體;當C?=0,CS=0時,系統(tǒng)處于量子反?；魻枒B(tài).

量子自旋霍爾效應特點也反映在其螺旋性的邊緣態(tài)分布.圖3(a)給出了含有邊緣態(tài)的正方邊心格子的能譜(為了更清楚地顯示邊緣態(tài)的存在,這里只截取了部分能譜),系統(tǒng)在x方向具有完整的周期性而在y方向具有開放的邊界,系統(tǒng)的參數(shù)設置和圖2(b)一致,vR=0.4,g=0.6,vSO=0.3.必須指出的是,Kane和Mele[11]最早提出的量子自旋霍爾效應由于受到時間反演對稱的保護,其邊緣態(tài)是真正的(沒有間隙)相交,這一狀態(tài)可以被z2拓撲序所表征.但是在我們的模型中,交換場的引入破壞了系統(tǒng)的時間反演對稱性,這將導致開邊界系統(tǒng)能譜中的能級會在相交點打開一個非常小的能隙,而不再如同時間反演對稱保護下無能隙的相交.可以看出,這類狀態(tài)與真正的量子自旋霍爾態(tài)還是有所區(qū)別的,它是一種時間反演對稱破缺的量子自旋霍爾效應[14],不能為z2拓撲序所表征,而是被一個全新的拓撲不變量——自旋陳數(shù)CS所表征.當費米能級選擇為EF=?1.00時,存在四個不同的邊緣態(tài),根據(jù)速度公式可以知道邊緣態(tài)A和D沿+x方向傳播,而B和C態(tài)則沿著?x方向傳播.

圖3(b)給出了圖3(a)中四個邊緣態(tài)的波函數(shù)分布,圖中的橫坐標為系統(tǒng)在y方向的原胞排列,本文中,我們考慮系統(tǒng)在y方向有120個原胞.每個原胞上的|ψ|2均包含了A,B和C三個原子的貢獻.總體而言,|ψ|2主要分布在系統(tǒng)邊界約三個原胞的寬度范圍內,其中B態(tài)和D態(tài)局域在系統(tǒng)的同一個邊界,而A態(tài)和C態(tài)則局域在系統(tǒng)的另一個邊界.結合速度的情況得出,分布在系統(tǒng)同一個邊界的兩個態(tài)沿著相反的方向傳播,因而不存在電流.

圖3 (網刊彩色)1/3填充下的正方邊心格子 (a)帶有費米能級的能譜(部分);(b)邊緣態(tài)波函數(shù)分布Fig.3.(color online)(a)Energy spectrum of Lieb lattice ribbons for a 1/3 fi led system(the Fermi level corresponds to four edge states);(b)wave-function distributions across the width for the edge states.

判斷體系是否存在量子自旋霍爾效應還有一個重要的參照就是邊緣態(tài)的自旋極化率.可以用兩個自旋組分的差除以它們的和來表示自旋極化率,有在我們的模型中,Rashba自旋軌道耦合把自旋向上組分和向下組分混合在一起,電子很難達到完全的極化,轉而只能在合適的參數(shù)設置下,盡可能地獲得某種組分比較高的極化.從表面態(tài)的波函數(shù)出發(fā)就可以得到電子的自旋極化率.圖3(a)中,A態(tài)和B態(tài)中自旋向上的組分分別為0.72和0.82.相反地,在C態(tài)和D態(tài)中,自旋向下的組分則分別達到了0.78和0.70的占比.大體上,我們可以說A態(tài)和B態(tài)有較高的自旋向上極化而C態(tài)和D態(tài)有較高的自旋向下極化.模型中同一個邊界的兩個態(tài)具有相反的傳播方向和極化方向,這將形成螺旋狀的邊緣態(tài)分布,這類邊緣態(tài)不攜帶電流但將有助于形成自旋流.

在圖2(c)所示的能帶結構中,我們已經說明,在合適的參數(shù)設置下,正方邊心格子在1/3,1/2和2/3填充下都有完全打開的能隙,都能實現(xiàn)量子自旋霍爾效應.圖4給出了系統(tǒng)在2/3填充下所對應的(部分)能譜以及邊緣態(tài)的分布情況,相關參數(shù)的設置與圖2(c)一致,vR=0.4,g=0.6,vSO=0.5.

圖4 (網刊彩色)2/3填充下的正方邊心格子 (a)帶有費米能級的能譜(部分);(b)邊緣態(tài)波函數(shù)分布Fig.4.(color online)(a)Energy spectra of Lieb lattice ribbons for a 2/3 fi led system,the Fermi level corresponds to four edge states;(b)wave-function distributions across the width for the edge states.

在圖4(a)中我們標出了費米能級EF=1.125所對應的A,B,C,D四個邊緣態(tài),并在圖4(b)中給出了這四個態(tài)的分布.在圖2(c)中,對照我們設定的費米能級也可以看出當前的填充情況.在態(tài)A,B中,自旋向下的組分占到了相當大的比例,分別達到了0.93和0.64;而態(tài)C,D中則是自旋向上的組分占主導地位,分別為0.96和0.72.位于樣品同一個邊界的兩個態(tài)A和C(B和D)具有相反的傳播方向和自旋極化方向,這正是量子自旋霍爾效應的特征表現(xiàn)之一.計算此時系統(tǒng)的自旋陳數(shù)得到CS=1,這也證明此時的系統(tǒng)是量子自旋霍爾態(tài).

一個小的技巧在于,當系統(tǒng)為2/3填充時,系統(tǒng)在費米能級的下方有四個價帶波函數(shù),這會增加計算自旋陳數(shù)的過程和難度,此時,我們可以轉而計算費米面上方的兩個導帶波函數(shù)所對應的自旋陳數(shù),其結果與價帶波函數(shù)的結果相反,這將在一定程度上簡化了計算的過程.在正方邊心格子中,在恰當?shù)膮?shù)設置下,當系統(tǒng)有圖2(b)所示的能帶結構時,改變系統(tǒng)的填充情況從1/3至1/2再到2/3的過程中,系統(tǒng)將經歷從量子自旋霍爾態(tài)到半金屬再到量子自旋霍爾態(tài)的轉變.而當系統(tǒng)在一定參數(shù)下具有圖2(c)所示的能帶時,在這三種填充下,系統(tǒng)都將處于量子自旋霍爾態(tài).需要指出的是,在時間反演對稱破缺的情況下,兩個反向傳播的波函數(shù)之間存在一個微弱的背散射,自旋的輸運過程總是伴隨著一些能量損耗,這與時間反演對稱保護下無耗散的自旋流還是有一些差別的.盡管如此,這一系統(tǒng)還是可以用在自旋注入等方面,在電子和自旋設備以及量子通信中有著潛在的價值和應用.

3 結 論

本文在Rashba自旋軌道耦合和交換場同時存在的情況下,詳細研究和討論了正方邊心格子中的量子自旋霍爾效應.正方邊心格子具有簡立方對稱性,每個原胞中包含三個不同的原子但其第一布里淵區(qū)中只含有一個狄拉克錐.我們的計算表明,在正方邊心格子中,只有在內稟自旋軌道耦合不為零的情況下,第一布里淵區(qū)中M點的簡并才能消除,從而得到一個完全打開的能隙,而這正是實現(xiàn)量子自旋霍爾效應的必要條件.借助于自旋陳數(shù)這一拓撲序以及邊緣態(tài)和極化率等分析,我們發(fā)現(xiàn)在交換場破壞了系統(tǒng)時間反演對稱的情況下,正方邊心格子中依然能夠實現(xiàn)量子自旋霍爾效應,雖然它和最初由Kane和Mele[11]提出的受時間反演對稱保護的量子自旋霍爾效應有些微小的差別,但我們還是可以把這類現(xiàn)象歸結為量子自旋霍爾效應,并受到自旋陳數(shù)的保護.

量子自旋霍爾效應在時間反演對稱破缺的情況下仍然能夠存在,這大大拓展了量子自旋霍爾效應的范疇,為借助磁場來控制量子自旋霍爾效應提供了理論依據(jù)和一個可能的模型基礎.在表征量子自旋霍爾效應方面,自旋陳數(shù)比z2拓撲不變量具有更廣泛的使用范圍.自旋陳數(shù)不但適用于時間反演對稱保護下的系統(tǒng),其在時間反演對稱破缺的情況下,仍然能夠很好地表征類量子自旋霍爾效應.二維正方邊心格子和三維立方邊心格子在自然界中廣泛存在[34].二維的Cu-O晶格就具有和正方邊心格子類似的結構,研究者已經在其中實現(xiàn)了量子反常霍爾效應[36].邊心格子最具有代表性的例子當屬具有高居里溫度的銅酸鹽超導體(如YBa2Cu3O7和Bi2Sr2CaCu2O8)中的CuO2平面.

實驗上,把K40或者Li6等單組分費米子放置在具有正方邊心對稱的格點上就可以實現(xiàn)類似的系統(tǒng)[37,38].當溫度足夠低時,這類原子之間的相互作用可以忽略不計,這時,我們在本文中所采用的緊束縛近似哈密頓量就可以成立[39,40].此外,如同目前已經實現(xiàn)的“人造石墨烯”[41],調節(jié)一個具有邊心正方對稱的二維電子氣模型也有望實現(xiàn)人工的正方邊心格子.二維冷費米氣由于其良好的可操控性而被用來模擬許多其他的物理系統(tǒng),最近人們已經在實驗上實現(xiàn)了超冷原子體系中的自旋軌道耦合相互作用,這為研究多體物理提供了一個全新的方法和途徑[42?44].圖5給出了具有正方邊心對稱的冷費米子氣體的部分能帶圖,可以看出相應的模型可以實現(xiàn)Majorana零模,這也為在實驗上尋找Majorana費米子提供了一個潛在的模型,并且有望在量子信息和量子計算等領域發(fā)揮一定的作用.

圖5 (網刊彩色)具有正方邊心對稱的冷費米子氣體中的Majorana零模Fig.5.(color online)Majorana zero modes in cold Fermi gas with a periodic potential possessing Lieb symmetry.

[1]Klitzing K V,Dorda G,Pepper M 1980 Phys.Rev.Lett.45 494

[2]Tsui D C,Stormer H L,Gossard A C 1982 Phys.Rev.Lett.48 1559

[3]Kane C L,Mele E J 2005 Phys.Rev.Lett.95 226801

[4]Zhang H J,Xu Y,Wang J,Chang K,Zhang S C 2014 Phys.Rev.Lett.112 216803

[5]Miao M S,Yan Q,van de Wall C G,Lou W K,Li L L,Chang K 2012 Phys.Rev.Lett.109 186803

[6]Zhang D,Lou W K,Miao M S,Zhang S C,Chang K 2013 Phys.Rev.Lett.111 156402

[7]Hasan M Z,Kane C L 2010 Rev.Mod.Phys.82 3045

[8]Qi X L,Zhang S C 2010 Physics Today 63 33

[9]Li Z J,Li Q,Chen Z G,Li H B,Fang Y 2014 Chin.Phys.B 23 028102

[10]Thouless D J,Kohmoto M,Nightingale M P,Den Nijs M 1982 Phys.Rev.Lett.49 405

[11]Kane C L,Mele E J 2005 Phys.Rev.Lett.95 146802

[12]Bernevig B A,Hughes T L,Zhang S C 2006 Science 314 1757

[13]Kon?ig M,Wiedmann S,Brune C,Roth A,Buthmann H,Molenkamp L W,Qi X L,Zhang S C 2007 Science 318 766

[14]Sheng D N,Weng Z Y,Sheng L,Haldane F D M 2006 Phys.Rev.Lett.97 036808

[15]Yang Y Y,Xu Z,Sheng L,Wang B G,Xing D Y,Sheng D N 2011 Phys.Rev.Lett.107 066602

[16]Pradan E 2009 Phys.Rev.B 80 125327

[17]Qiao Z H,Yang S A,Feng W X,Tse W K,Ding J,Yao Y G,Wang J,Niu Q 2010 Phys.Rev.B 82 161414

[18]Haldane F D M 1988 Phys.Rev.Lett.61 2015

[19]Onoda M,Nagaosa N 2003 Phys.Rev.Lett.90 206601

[20]Liu C X,Qi X L,Dai X,Fang Z,Zhang S C 2008 Phys.Rev.Lett.101 146802

[21]Raghu S,Chung S B,Qi X L,Zhang S C 2010 Phys.Rev.Lett.104 116401

[22]Yu R,Zhang W,Zhang H J,Zhang S C,Dai X,Fang Z 2010 Science 329 61

[23]Wu C 2008 Phys.Rev.Lett.101 186807

[24]Guo H M,Franz M 2009 Phys.Rev.B 80 113102

[25]Zhang Z Y 2011 J.Phys.Condens.Matter 23 365801

[26]Ishizuka H,Motome Y 2013 Phys.Rev.B 87 081105

[27]Kargarian M,Fiete G A 2010 Phys.Rev.B 82 085106

[28]Chen W C,Liu R,Wang Y F,Gong C D 2012 Phys.Rev.B 86 085311

[29]Ohgushi K,Murakami S,Nagaosa N 2000 Phys.Rev.B 62 R6065

[30]Wang Z,Zhang P 2008 Phys.Rev.B 77 125119

[31]Shen R,Shao L B,Wang B,Xing D Y 2010 Phys.Rev.B 81 041410

[32]Beugeling W,Everts J C,Morais S C 2012 Phys.Rev.B 86 195129

[33]Zhao A,Shen S Q 2012 Phys.Rev.B 85 085209

[34]Weeks C,Franz M 2010 Phys.Rev.B 82 085310

[35]Sun K,Fradkin E 2008 Phys.Rev.B 78 245122

[36]He Y,Moore J,Varma C M 2012 Phys.Rev.B 85 155106

[37]Stanescu T D,Galitski V,Vaishnav J Y,Clark C W,Das Sarma S 2009 Phys.Rev.A 79 053639

[38]Zhu S L,Fu H,Wu C J,Zhang S C,Duan L M 2006 Phys.Rev.Lett.97 240401

[39]Bloch I,Dalibard J,Zwerger W 2008 Rev.Mod.Phys.80 885

[40]Goldman N,Urban D F,Bercioux D 2011 Phys.Rev.A 83 063601

[41]Gibertini M,Singha A,Pellegrini V,Polini M,Vignale G,Pinczuk A,Pfei ff er L N,West K W 2009 Phys.Rev.B 79 241406

[42]Zhang C,Tewari S,Lutchyn R M,Das Sarma S 2008 Phys.Rev.Lett.101 160401

[43]Chosh P,Sau J D,Tewari S,Das Sarma S 2010 Phys.Rev.B 82 184525

[44]Temari S,Sau J D 2012 Phys.Rev.Lett.109 150408

PACS:73.43.–f,71.70.Ej,73.61.–rDOI:10.7498/aps.66.127303

Time-reversal-symmetry broken quantum spin Hall in Lieb lattice?

Geng Hu1)Ji Qing-Shan2)Zhang Cun-Xi1)Wang Rui1)?

1)(Department of Electronic Information Science and Engineering,Zhejiang Ocean University,Zhoushan 316022,China)
2)(Department of Donghai Science and Engineering,Zhejiang Ocean University,Zhoushan 316000,China)

8 December 2016;revised manuscript

17 April 2017)

In this paper,the time-reversal(TR)symmetry broken quantum spin Hall(QSH)in Lieb lattice is investigated in the presence of both Rashba spin-orbit coupling(SOC)and uniform exchange fi eld.The Lieb lattice has a simple cubic symmetry,and it has three di ff erent sites in each unit cell.The most distinctive feature of this model is that it contains only one Dirac-cone in the fi rst Brillouin zone,where the upper dispersive band and the lower dispersive band touch the middle zero-energy band at M point and form a cone-like dispersion.The intrinsic SOC is essentially needed to open the full energy gap in the bulk.When the intrinsic SOC is nonzero,all the band structures are separated everywhere in the Brillouin zone and can be characterized by some topological invariants.The exact QSH fi rst put forward by Kane and Mele in 2005 is characterized by the z2number.The protection from the TR symmetry ensures the gapless crossing in the surface state in the bulk gap.In our model,the presence of the exchange fi eld breaks the TR symmetry,which results in opening a small gap in the crossing point and the z2topological order is not suitable for the system.This kind of state is a TR symmetry broken QSH,which is characterized by the spin Chern numbers.The spin Chern numbers have a much wider scope of application than z2index.It is suitable for both TR symmetry system and the TR symmetry broken system.For Lieb lattice ribbons,the spin polarization and the wave-function distributions are obtained numerically.There exists a weak scattering between the counter-propagating states in the TR symmetry broken QSH,and the spin transport along the boundary with a low dissipation replaces the dissipationless spin current in a TR symmetry system.In experiment,such a system can be realized by the two-dimensional Fermi gases in optical lattice with Lieb symmetry.The above conclusions are expected to give theoretical guidance in the spin device and the quantum information.

quantum spin Hall e ff ect,spin-orbit coupling,topological order

10.7498/aps.66.127303

?國家自然科學基金(批準號:11304281,10547001)和浙江省自然科學基金(批準號:LY13D060002)資助的課題.

?通信作者.E-mail:wangrui@zjou.edu.cn

?2017中國物理學會Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

*Project supported by National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11304281,10547001)and the Natural Science Foundation of Zhejiang Province,China(Grant No.LY13D060002).

?Corresponding author.E-mail:wangrui@zjou.edu.cn