張鏡水 孔令琴 董立泉 劉明 左劍 張存林 趙躍進?

1)(北京理工大學(xué)光電學(xué)院,北京 100081)

2)(首都師范大學(xué)物理系,北京 100048)

太赫茲互補金屬氧化物半導(dǎo)體場效應(yīng)管探測器理論模型中擴散效應(yīng)研究?

張鏡水1)孔令琴1)董立泉1)劉明1)左劍2)張存林2)趙躍進1)?

1)(北京理工大學(xué)光電學(xué)院,北京 100081)

2)(首都師范大學(xué)物理系,北京 100048)

(2017年3月1日收到;2017年4月5日收到修改稿)

針對基于經(jīng)典動力學(xué)理論傳統(tǒng)模型中忽略擴散效應(yīng)的問題,通過對基于玻爾茲曼理論的場效應(yīng)管傳輸線模型的理論分析,建立了包含擴散效應(yīng)的太赫茲互補金屬氧化物半導(dǎo)體(CMOS)場效應(yīng)管探測器理論模型,研究擴散效應(yīng)對場效應(yīng)管電導(dǎo)及響應(yīng)度的影響.同時,將此模型與忽略了擴散效應(yīng)的傳統(tǒng)模型進行了對比仿真模擬,給出了兩種模型下的電流響應(yīng)度隨溫度及頻率變化的差別.依據(jù)仿真結(jié)果,并結(jié)合3σ原則明確了場效應(yīng)管傳輸線模型中擴散部分省略的依據(jù)和條件.研究結(jié)果表明:擴散部分引起的響應(yīng)度差異大小主要由場效應(yīng)管的工作溫度及工作頻率決定.其中工作頻率起主要作用,溫度變化對差異大小影響較為微弱;而對于工作頻率而言,當(dāng)場效應(yīng)管工作頻率小于1 THz時,模型中的擴散部分可以忽略不計;而當(dāng)工作頻率大于1 THz時,擴散部分不可省略,此時場效應(yīng)管模型需同時包含漂移、散射及擴散三個物理過程.本文的研究結(jié)果為太赫茲CMOS場效應(yīng)管理論模型的精確建立及模擬提供了理論支持.

互補金屬氧化物半導(dǎo)體場效應(yīng)管探測器,太赫茲,模型模擬,玻爾茲曼理論

1 引 言

隨著太赫茲波技術(shù)在軍事和民用各個領(lǐng)域的不斷發(fā)展,研制高響應(yīng)度、低噪聲的太赫茲探測器成為相關(guān)科研領(lǐng)域的研究重點之一,而互補金屬氧化物半導(dǎo)體(CMOS)場效應(yīng)管太赫茲探測器因其成熟的技術(shù)、相對較低的成本及其他材料目前無法企及的良好性能(其最高響應(yīng)度可達2.2 kV/W,等效噪聲功率可達到而受到廣泛的關(guān)注[1?5].為了減小探測器的制作成本,需要對設(shè)計好的探測器進行性能模擬測試,而該項工作的可信度依賴于太赫茲場效應(yīng)管模型的精準(zhǔn)程度,故精確的太赫茲場效應(yīng)管探測器模型一直是國內(nèi)外相關(guān)領(lǐng)域的重點研究方向[6?14].

目前常用太赫茲波段CMOS場效應(yīng)模型為基于均勻電荷控制理論的線性電阻-電容-電感(resistance-capacitance-inductance,RCL)傳輸線理論模型.該模型運用1996年Dyaknov和Shur[15]提出的均勻電荷控制理論,通過經(jīng)典動力學(xué)理論的一維德魯?shù)履Ｐ兔枋鰷系纼?nèi)載流子的整體運動,并將其轉(zhuǎn)變?yōu)橛稍S多RCL單元組成的RCL傳輸線模型[16].目前針對基于該模型的理論研究只考慮載流子的漂移及散射運動,忽略了溝道內(nèi)載流子濃度不均勻分布的擴散效應(yīng)的影響.此外,關(guān)于擴散效應(yīng)可省略的依據(jù)及條件并未見相關(guān)報道.

基于此,本文從玻爾茲曼理論出發(fā),研究模型中擴散效應(yīng)對太赫茲場效應(yīng)管電導(dǎo)及響應(yīng)度的影響.首先從玻爾茲曼電流方程推導(dǎo)出基于此理論的RCL模型方程,并通過與一維德魯?shù)翿CL模型的對比,明確擴散效應(yīng)在模型中的表達式.其次通過理論計算與模擬分析,分別得到靜態(tài)與動態(tài)下兩種不同理論的場效應(yīng)管模型的響應(yīng)區(qū)別,分析擴散效應(yīng)對場效應(yīng)管模型響應(yīng)度的影響.同時,通過分析擴散效應(yīng)隨溫度與頻率的變化情況,結(jié)合3σ原則給出了擴散效應(yīng)在模型中可省略的條件.研究結(jié)果為太赫茲CMOS場效應(yīng)管探測器模型的精確建立提供了重要依據(jù),并為其進一步技術(shù)及工程實現(xiàn)提供了關(guān)鍵理論及技術(shù)支持.

2 模型理論

現(xiàn)在的模型主要基于流體動力學(xué)中一維德魯?shù)履Ｐ?其主要包含漂移和散射效應(yīng).而玻爾茲曼方程則主要從非平衡態(tài)時的分布函數(shù)出發(fā),推導(dǎo)出溝道的電流情況.故本節(jié)中通過對比二者之間的差異來說明擴散效應(yīng)的重要性.

2.1 經(jīng)典動力學(xué)傳輸線模型的基本形式

根據(jù)經(jīng)典動能理論,溝道中的載流子運動可以用德魯?shù)履Ｐ蛠砻枋?基于該理論,對于溝道中電荷為q的電子,其動量p(x,t)為

其中E(x,t)為溝道x處的電場大小;τ為有效電子散射時間,此處考慮聲子作用與雜質(zhì)碰撞.為了描述場效應(yīng)管溝道中載流子的運動情況,Dyaknov和Shur[15]用經(jīng)典動力學(xué)理論提出了一維德魯?shù)履Ｐ图傲Ｗ舆B續(xù)邊界條件,

式中m為粒子的等效質(zhì)量;n,v和Ug分別為溝道x處的載流子密度、載流子速度和柵極至溝道處的電壓幅值大小.

若只考慮溝道內(nèi)等離子體的基波與一次諧波,(2a)與(2b)式可以寫成:

其中W為場效應(yīng)管溝道寬度,μ為粒子遷移率,I是溝道內(nèi)電流.(3a)和(3b)式與電報方程的基本形式一致,故溝道中載流子的運動實際可表示為RCL傳輸線模型,如圖1所示.其R,L和C的阻抗表達分別為[16]

(4a),(4b)及(4c)式即為基于經(jīng)典動力學(xué)理論的場效應(yīng)管RCL傳輸線模型方程.運用該模型方程,場效應(yīng)管溝道中載流子的運動可轉(zhuǎn)化為如圖1所示的模型.

圖1 場效應(yīng)管溝道RCL傳輸線理論模型,其中Ug為柵極至溝道的電壓差,Ugs為柵源極間所加直流電壓,Uac為通過天線耦合進場效應(yīng)管的太赫茲波;R,L和C的計算分別如(4a),(4b)和(4c)式所示Fig.1.The transmission line model for fi eld-electrictransistor in high frequency.Ugis the gate-to-channel local voltage,Ugsis the gate-to-source DC voltage,and Uacis the terahertz signal that coupled by the antenna.R,C and L are calculated with Eq.(4a),(4b)and(4c).

2.2 基于玻爾茲曼理論傳輸線模型的基本形式

玻爾茲曼傳輸方程描述了非平衡下的熱動力學(xué)系統(tǒng)中流體特征的變化情況.從玻爾茲曼傳輸方程可求得溝道中一維電流密度J滿足如下公式[6]:

式中kB為玻爾茲曼常數(shù),Tn為溝道內(nèi)載流子溫度.其中在現(xiàn)代模型模擬中通常省略,省略后可得到只包含亞聲波流動區(qū)域的拋物線能量波矢關(guān)系曲線系統(tǒng)[6].同時,設(shè)定沿溝道方向的溫度變化為零,給定熱電壓VT的定義為VT=kBTn/q,則(5)式可表達為

為進一步明確玻爾茲曼理論與經(jīng)典動力學(xué)理論的差別,將(3a)式轉(zhuǎn)化為電流密度形式,可得基于經(jīng)典動力學(xué)理論的溝道一維電流密度為

對比(6)式和(7)式,可得玻爾茲曼理論除包含經(jīng)典動力學(xué)理論中的漂移部分qnμE和散射部分外,還包含擴散部分

將(7)式轉(zhuǎn)換成傳輸線理論方程可得

結(jié)合粒子連續(xù)邊界條件,可得基于玻爾茲曼理論的RCL傳輸線模型表達式為

為方便對比兩種模型,此處用電導(dǎo)取代電阻,表述RCL模型單元中載流子主要的漂移運動.由(4a)和(9a)式可得,基于流體力學(xué)德魯?shù)履Ｐ偷目傠妼?dǎo)(每單位長度)如(10a)式,而基于玻爾茲曼傳輸方程的總電導(dǎo)(每單位長度)如(10b)式:

由(10b)式可得,基于玻爾茲曼理論的總電導(dǎo)由兩部分組成,第一部分為漂移電導(dǎo),其形式與流體力學(xué)德魯?shù)履Ｐ退每傠妼?dǎo)相同;第二部分即為擴散電導(dǎo),與溫度及載流子密度隨Ug的變化有關(guān).

3 模型計算及仿真結(jié)果

為了更好地說明經(jīng)典動力學(xué)傳輸線模型和玻爾茲曼理論傳輸線模型的差別,本節(jié)中根據(jù)前文理論計算,分別對兩種模型進行靜態(tài)下電導(dǎo)仿真和高頻電流響應(yīng)度仿真,并通過二者差值對兩種模型的差異性進行闡述分析.

3.1 靜態(tài)下擴散部分對整體電導(dǎo)的影響

根據(jù)(10a)及(10b)式,可得漂移電導(dǎo)和擴散電導(dǎo)的計算式分別為

為探討擴散電導(dǎo)的影響,我們用擴散電導(dǎo)σDiffusion與傳統(tǒng)基于經(jīng)典動力學(xué)理論總電導(dǎo)σKinetic的比值Raσ來表示擴散電導(dǎo)對整體電導(dǎo)的影響.Raσ的計算如(12)式所示:

根據(jù)(12)式可計算得到擴散部分的加入對整體電導(dǎo)的影響.該計算中相關(guān)取值依據(jù)如下:場效應(yīng)管閾值電壓取為CMOS場效應(yīng)管常用閾值電壓Vth=0.4 V,柵極電壓變化范圍為CMOS場效應(yīng)管常用柵極電壓范圍0—1 V,溫度變化范圍為Si材料正常工作溫度273 K(0?C)至523 K(250?C),由此得到計算結(jié)果如圖2所示.由圖2(a)可知,擴散部分電導(dǎo)對整體電導(dǎo)的影響隨柵極電壓的增大而減小,隨溫度緩慢遞增.這是由擴散運動本質(zhì),即粒子濃度不均勻性引起的.隨著柵極電壓的增大,溝道內(nèi)載流子濃度隨柵極電壓的變化逐漸降低,粒子濃度不均勻性減小,擴散效應(yīng)減弱,因此擴散電導(dǎo)對整體電導(dǎo)的影響力隨之減小.當(dāng)溫度增大時,載流子無規(guī)則熱運動增大,擴散效應(yīng)隨之變強.

然而在圖2(a)中,溫度的影響不明顯.為更好地體現(xiàn)溫度變化在擴散運動中的作用,此處取柵極電壓分別為:Ugs=0.2 V,Ugs=0.4 V及Ugs=0.6 V,可得到比值Raσ在此三個柵極電壓處隨溫度的變化如圖2(b)所示.由圖2(b)可知,比值Raσ隨溫度的增大緩慢增大,且隨柵極電壓的增大變化趨勢逐漸減緩,這也與之前所得結(jié)論——擴散部分電導(dǎo)對整體電導(dǎo)的影響隨柵極電壓的增大而減小相符.

另外,一般場效應(yīng)管探測器工作在室溫(T=300 K),其最佳工作點在閾值電壓附近(Ugs=Vth=0.4 V),由圖2可以看到,此時二者之間的差值約占經(jīng)典動力學(xué)模型電導(dǎo)的25%,仍為較大比重,故此時擴散效應(yīng)不可忽略.

圖2 (網(wǎng)刊彩色)(a)Raσ隨柵極電壓及溫度的變化情況;(b)不同柵極電壓下Raσ隨溫度的變化情況Fig.2.(color online)(a)The variation of Raσwith the gate voltage and the temperature;(b)the variation of Raσwith the temperature at di ff erent gate voltage.

3.2 擴散電導(dǎo)對場效應(yīng)管電流響應(yīng)度的影響

電流響應(yīng)度是評價場效應(yīng)管探測器的重要參數(shù)之一.因探測器實際工作時需配合天線完成自由空間太赫茲波耦合,故電流響應(yīng)度的高低除受場效應(yīng)管本身性能決定之外,還與配合天線的損耗與二者之間的匹配系數(shù)有關(guān).此處假定天線無損耗,且天線與場效應(yīng)管完全匹配,分別對基于玻爾茲曼理論模型的電流響應(yīng)度?Boltzmann與基于經(jīng)典動力學(xué)德魯?shù)吕碚撃Ｐ偷碾娏黜憫?yīng)度?Kinetic進行仿真分析,并為了研究二者的差別,給出其差值定義RRI為

所得到的模擬計算結(jié)果如圖3所示.由圖3可知,二者差值隨溫度升高而逐漸降低,隨頻率增大而逐漸增大.對于CMOS場效應(yīng)管探測器而言,其正常工作在室溫(T=300 K)下,由圖3可知,二者差值在1 THz以下差距較小,當(dāng)探測器的工作頻率大于1 THz時,二者的差距開始逐漸增大.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)RRI隨柵極頻率及溫度的變化情況,其中,橫軸為溫度,縱軸為場效應(yīng)管工作頻率Fig.3.(color online)The variation of RRIwith the frequency and the temperature.In the fi gure,the x axis is temperature,and the y axis is the transistor working frequency.

4 仿真結(jié)果分析

由上文可知,當(dāng)頻率和溫度不同時,RRI不同.為了給出明確的擴散部分省略條件,我們依據(jù)如下兩條判斷依據(jù)給出省略原則.

1)數(shù)學(xué)計算中,認(rèn)為當(dāng)滿足

時,δ→0.

此處我們運用3σ原則對“→”運算進行判斷,認(rèn)為當(dāng)滿足

時,(1+δ)(1?δ)→1,δ→0.

2)給定命題真假評判系數(shù)α,并設(shè)定需評判的命題為模型中擴散部分可以省略.可得當(dāng)擴散部分可省略成立時,命題為真,α=1;當(dāng)模型中擴散部分不可省略時,命題為假,α=0.

由以上兩條原則,結(jié)合(13)式與(15)式,可得當(dāng)

由(17)式得到α隨溫度及頻率的變化如圖4所示.其中藍色部分為α=1,即擴散部分可省略區(qū)域;紅色部分為α=0,即擴散部分不可省略區(qū)域.圖4中紅色占據(jù)主要部分,故可知在大部分情況下,模型中的擴散部分是不可以忽略的.只有當(dāng)頻率足夠低(頻率<1 THz)、部分頻率下溫度足夠高時,場效應(yīng)管模型可簡化為只包含漂移和散射部分,忽略擴散效應(yīng)對模型的影響.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)α隨頻率及溫度的變化情況,圖中橫軸為溫度,縱軸為場效應(yīng)管工作頻率;圖中藍色部分為擴散部分可以省略區(qū)域,紅色部分為不可省略區(qū)域Fig.4.(color online)The variation of α with the frequency and the temperature.In the fi gure,the x axis is temperature,and the y axis is the transistor working frequency.The blue part is the area that the di ff usion part can be neglected in the model,and the red one is for not neglected part.

由圖4可知,場效應(yīng)管探測器工作頻率越大,擴散效應(yīng)產(chǎn)生的影響越明顯.產(chǎn)生此現(xiàn)象的原因與溝道內(nèi)載流子濃度不均勻性隨頻率增大而提高有關(guān).當(dāng)場效應(yīng)管探測器工作在太赫茲頻段并且溝道長度大于溝道內(nèi)等離子體波的衰減長度時(衰減長度隨等離子體波振蕩頻率增大而降低,太赫茲波段衰減長度一般為10—30 nm,小于常用CMOS場效應(yīng)管溝道長度),太赫茲波從場效應(yīng)管溝道一段耦合進溝道內(nèi),并在傳輸過程中等離子體波振幅迅速衰減至零.這就導(dǎo)致了溝道一段載流子濃度隨太赫茲波振幅改變而變化,頻率越高,太赫茲波振幅變化越快,載流子濃度變化越大,溝道兩端的載流子濃度不均勻性也隨之提高,進而令擴散效應(yīng)愈發(fā)明顯.因此,在高頻區(qū)域,模型中的擴散運動不可忽略.

5 結(jié) 論

綜上所述,本文針對現(xiàn)有太赫茲CMOS場效應(yīng)管理論模型中忽略擴散效應(yīng)的問題,通過理論計算及模擬分析給出模型中擴散部分的作用,明確了該部分可以省略的理論依據(jù)和條件.文中首先給出了基于玻爾茲曼理論的場效應(yīng)管傳輸線模型,并將其與只包含漂移與散射效應(yīng)的經(jīng)典動力學(xué)理論場效應(yīng)管傳輸線模型進行對比,從理論上得到二者之間的差別和擴散部分電導(dǎo)的具體表達式,并明確溝道中載流子擴散效應(yīng)主要由溫度及載流子密度隨柵極至溝道的電壓引起.其次,本文通過模擬結(jié)果給出了靜態(tài)下的電導(dǎo)比及高頻下的電流響應(yīng)度之比來討論兩種模型之間的差異.結(jié)果表明:靜態(tài)下,擴散部分的影響隨溫度的升高呈微弱增大,隨柵極電壓的增大而減小;常溫下,當(dāng)柵極電壓為閾值電壓時,場效應(yīng)管探測器處于最佳工作點,此時擴散電導(dǎo)占總電導(dǎo)的25%;高頻狀態(tài)下,擴散部分對探測器電流響應(yīng)度的影響隨頻率增大而增大,隨溫度升高而降低.同時,基于計算及模擬結(jié)果,我們結(jié)合3σ原則提出擴散部分可省略的具體條件:當(dāng)頻率足夠低(頻率<1 THz)或溫度足夠高時,模型中的擴散部分可以省略,此時兩個模型可認(rèn)為無差別.當(dāng)場效應(yīng)管工作頻率高于1 THz時,模型中擴散部分的省略會導(dǎo)致場效應(yīng)管模型的不準(zhǔn)確.產(chǎn)生此現(xiàn)象的原因為擴散運動與溝道內(nèi)載流子濃度不均勻性有關(guān).柵極電壓增大時,溝道內(nèi)載流子濃度隨柵極電壓的變化逐漸降低,粒子濃度不均勻性減小,擴散效應(yīng)減弱,因此擴散電導(dǎo)對整體電導(dǎo)的影響力隨之減小;當(dāng)溫度增大時,載流子無規(guī)則熱運動增大,擴散效應(yīng)隨之變強;當(dāng)頻率增高時,溝道一端等離子體波的振幅變化越快,而溝道另一端因衰減效應(yīng)始終為零,故此時溝道兩端載流子濃度變化增大,載流子濃度不均勻性變化也隨之提高,進而令擴散效應(yīng)愈發(fā)明顯.綜上所述,場效應(yīng)管正常工作時的柵極電壓一般在閾值電壓附近,此時隨著溫度增高、工作頻率增大,溝道內(nèi)的擴散效應(yīng)影響增強,在模型中不可忽略.

本文的研究工作為CMOS場效應(yīng)管模型的精確建立提供了理論依據(jù),為更好地進行場效應(yīng)管的設(shè)計工作和節(jié)約成本提供了更有效的保障.

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PACS:73.43.Cd,73.50.Mx,85.30.Tv,85.60.GzDOI:10.7498/aps.66.127302

Di ff usion part in terahertz complementary metal oxide semiconductor transistor detector model?

Zhang Jing-Shui1)Kong Ling-Qin1)Dong Li-Quan1)Liu Ming1)Zuo Jian2)Zhang Cun-Lin2)Zhao Yue-Jin1)?

1)(Institute of Opto-Electronics,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China)
2)(Department of Physics,Capital Normal University,Beijing 100048,China)

1 March 2017;revised manuscript

5 April 2017)

In this paper,we discuss the di ff usion motion of carriers in the transistor channel in a terahertz frequency range,and propose an resistance-capacitance-inductance(RCL)model based on Boltzmann transport theory,and then put forward the rules to determine whether the di ff usion part in the RCL model can be neglected for terahertz fi eld-e ff ect-transistor(FET)detectors.The traditional RCL model for FET detectors is based on classic kinetic theory.In this model only the drift and the scattering motion of the carrier density in transistor channel are considered,and the di ff usion part is neglected without giving any explanation.To solve this problem,in this paper we adopt three steps: fi rst,instead of classic kinetic theory,the equations of RCL transistor model including di ff usion part are derived from Boltzmann transport equation,and by comparing the two models,the speci fi c expression for the di ff usion part is given.Second,the di ff erences between the two models are calculated and simulated,including the conductivity in quasi-static mode and the current response in high frequency mode,with di ff erent gate voltages,temperatures and working frequencies.Third,combined with the 3σ rules,the conditions to neglect the di ff usion motion in the model are put forward.The results show that the di ff usion motion of the carriers is caused by the inhomogeneity of the carrier density,a ff ected by the gate voltage,the temperature and the changing speed of the carriers with respect to the local voltage.In quasi-static mode,the role of di ff usion part will change with the gate voltage,and when the gate voltage equals threshold voltage(which is the best working point for transistor detector),the di ff usion part cannot be neglected,for which the reason is that a larger gate voltage will lead to a smaller inhomogeneity of channel carrier density and then a weaker di ff usion e ff ect,thus the e ff ect of di ff usion conductance on the whole transistor conductance becomes smaller.For the terahertz-frequency working mode,the di ff usion part will depend on temperature and frequency.With temperature increasing,the current responsivity di ff erence caused by the di ff usion part in the model slightly decreases;when the working frequency increases but below 1 THz,the di ff usion part can be neglected;however,when the working frequency is above 1 THz,the transistor model should contain drift,scattering and di ff usion part at the same time,for which the explanation is that when the temperature increases,the random thermal motion of the carrier becomes larger,thus the di ff usion e ff ect will be stronger;and if the frequency increases,the number of the carriers in one terminal of the channel will change faster,but due to the channel damping,the number of the carriers in another terminal will always be zero,thus the changing speed of the carrier density between the two terminals will be faster,then a larger inhomogeneity of carrier density and a stronger di ff usion e ff ect will appear.In conclusion,normally the transisitor works at the threshold gate voltage,and at this point,the di ff usion e ff ect in the channel will increase with working temperature and frequency increasing,thus the di ff usion part in the model cannot be neglected.The results in this paper make a signi fi cant contribution to a more accurate terahertz transistor detector model.

complementary metal oxide semiconductor transistor detector,terahertz,model simulation,Boltzmann theory

10.7498/aps.66.127302

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:61377109)資助的課題.

?通信作者.E-mail:yjzhao@bit.edu.cn

?2017中國物理學(xué)會Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.61377109).

?Corresponding author.E-mail:yjzhao@bit.edu.cn