浙江省江山市清湖高級(jí)中學(xué)(324100) 康井榮

平面向量基本定理應(yīng)用的幾種策略

浙江省江山市清湖高級(jí)中學(xué)(324100) 康井榮

縱觀近幾年的各地高考,經(jīng)常出現(xiàn)平面向量基本定理應(yīng)用的向量問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題一般屬于中檔題,但很多學(xué)生都怕做這種題目,碰到這種問(wèn)題大多是空白一片.究其原因,是學(xué)生對(duì)平面向量基本定理理解得不深刻,對(duì)等式c=λa+μb中系數(shù)λ,μ的含義不清楚,導(dǎo)致對(duì)基本定理的處理,缺乏必要的方法和技巧;另外,處理這類(lèi)問(wèn)題時(shí)往往還需要數(shù)形結(jié)合,綜合運(yùn)用平面幾何知識(shí)、解三角形知識(shí)、函數(shù)知識(shí)等加以解決,而學(xué)生這方面的綜合能力比較欠缺,思維比較單一,使得學(xué)生對(duì)這種問(wèn)題心生畏懼,望而卻步.

其實(shí)這類(lèi)問(wèn)題的處理,基本思路是突出數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想,運(yùn)用平面幾何知識(shí)和向量的運(yùn)算性質(zhì),化向量運(yùn)算為純代數(shù)運(yùn)算或幾何運(yùn)算,歸納起來(lái),大致有以下六種轉(zhuǎn)化策略:

1.將向量分解,轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題

平面向量基本定理實(shí)質(zhì)就是向量的合成與分解.因此,將向量c沿基底a,b進(jìn)行分解,結(jié)合已知條件和平面圖形的幾何性質(zhì),可以較快的找到λ,μ的關(guān)系.

2.利用向量相等的充要條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ,μ的方程(組)解決

具體地說(shuō),就是根據(jù)已知條件c=λa+μb,結(jié)合圖形,用另一種方法將c用基底a,b線性表示,即將c寫(xiě)成c=ma+nb,然后比較系數(shù)得到λ=m,μ=n的方程(組).

3.兩邊點(diǎn)乘向量轉(zhuǎn)化為純代數(shù)運(yùn)算

由于向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量,因此,對(duì)等式c=λa+μb兩邊點(diǎn)乘向量a、b或c,也可以將其轉(zhuǎn)化為純代數(shù)運(yùn)算.

4.通過(guò)兩邊平方,化向量為純代數(shù)運(yùn)算

由于向量的模和平方都是數(shù)量,因此在等式c=λa+μb中,如果已知a,b的?；蛘咚鼈儕A角,可以通過(guò)兩邊平方轉(zhuǎn)化為純代數(shù)運(yùn)算.

例4(2015年杭州二中高考仿真模擬題第16題)在△ABC中,∠B=60°,O為△ABC的外心,P為劣弧AC上的一動(dòng)點(diǎn),且則x+y的取值范圍為_(kāi)___.

分析由于向量的模相等,且的夾角也確定,因此可以考慮兩邊平方轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式問(wèn)題.

5.利用坐標(biāo)運(yùn)算將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為純代數(shù)問(wèn)題

由于向量的坐標(biāo)運(yùn)算也是純代數(shù)運(yùn)算,因此通過(guò)建系設(shè)點(diǎn),利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決c=λa+μb的問(wèn)題也是一種轉(zhuǎn)化的策略.

分析要求出動(dòng)點(diǎn)P所形成的平面區(qū)域的面積,必須探求動(dòng)點(diǎn)P所形成的平面圖形,為此我們可以通過(guò)建立坐標(biāo)系,設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)(m,n),再根據(jù)已知條件找到m,n所滿(mǎn)足的條件,這樣就將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的問(wèn)題了.

6、利用平面向量基本定理的推論轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題

(1)平面向量基本定理的推論是指:設(shè)平面內(nèi)有三點(diǎn)P、A、B,且若滿(mǎn)足λ+μ=1,則P、A、B三點(diǎn)共線,反之也成立.解題時(shí),如果能將已知條件轉(zhuǎn)化為λ+μ=1,就可以根據(jù)這個(gè)結(jié)論確定c的終點(diǎn)位置,利用平面幾何知識(shí)快速解題.

分析如果將λ+2μ=2變換成再將OA延長(zhǎng)一倍,那么就將條件轉(zhuǎn)化為λ′+μ′=1了,這樣就可以根據(jù)P點(diǎn)的位置快速求出投影的取值范圍.

小結(jié)深刻理解平面向量基本定理,牢牢抓住c=λa+μb轉(zhuǎn)化的基本思想,結(jié)合圖形和向量的運(yùn)算性質(zhì),在解題過(guò)程中就會(huì)顯得游刃有余.同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)解題中只要善于多思考,多總結(jié),那么一切困難都可以迎刃而解.運(yùn)用基本定理的推論,可以使解題更快捷簡(jiǎn)便,前面的例4、例5兩個(gè)例題,都可以采用這個(gè)結(jié)論解決,讀者不妨一試!

[1]楊雪.一類(lèi)向量線性和的系數(shù)問(wèn)題解決方案的探究[J].中學(xué)教研,2014(9):33-36.

[2]高賀清.利用三點(diǎn)共線巧解一類(lèi)向量系數(shù)問(wèn)題[J].中學(xué)生數(shù)理化,2012(11):20-20.