湖北省陽新縣高級中學(xué)(435200) 鄒生書

一道定點(diǎn)調(diào)考題的解法與推廣探究

湖北省陽新縣高級中學(xué)(435200) 鄒生書

題目在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)A,B,C三點(diǎn)是曲線上三個(gè)不同的點(diǎn),且D,E,F分別是BC,CA,AB的中點(diǎn),則過D,E,F三點(diǎn)的圓一定經(jīng)過定點(diǎn)____.

這是湖北省武漢市2017屆高三2月調(diào)考數(shù)學(xué)理科第15題,題意簡明易懂,試題能力立意,綜合考查數(shù)學(xué)思想方法和推理探究能力,考查對問題的整體掌控能力和直覺思維能力,考查創(chuàng)新意識(shí)、數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面介紹筆者對這道定點(diǎn)調(diào)考題的解法與問題的推廣探究歷程,與讀者分享.

1.化歸轉(zhuǎn)化退步求解

華羅庚先生曾指出:“善于退,足夠的退,退到最原始而不失重要的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.”這里所說的“退”,其含義很豐富,包含從特殊退到特殊、從一般退到特殊和從特殊退到一般三種情形.所謂從特殊退到特殊,就是將一種特殊的情形退到另一種更為特殊的情形去研究;所謂從一般退到特殊,指的是運(yùn)用特例法對問題的一般情形做出判斷;所謂從特殊退到一般,指的是把問題放在一個(gè)一般的背景中去思考.

問題在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)A,B,C三點(diǎn)是曲線上三個(gè)不同的點(diǎn),且D,E,F分別是BC,CA,AB的中點(diǎn),則過D,E,F三點(diǎn)的圓一定經(jīng)過定點(diǎn)____.

2.合情推理探求定點(diǎn)

分析一方面,注意到的圖象是雙曲線,兩條坐標(biāo)軸是它的對稱軸,坐標(biāo)原點(diǎn)是它的對稱中心,因此解題時(shí)應(yīng)充分利用圖象的對稱性.另一方面,題目告訴我們過D,E,F三點(diǎn)的圓一定經(jīng)過定點(diǎn),但沒有說是幾個(gè)定點(diǎn),因此,首先要對定點(diǎn)個(gè)數(shù)作出判斷.顯然外接圓不可能過三過定點(diǎn),假若過三個(gè)定點(diǎn),則這些圓是同一個(gè)圓,這不可能.假若過兩個(gè)定點(diǎn),那么這些圓的圓心在以這兩個(gè)定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上,這也不可能.故外接圓只過一個(gè)定點(diǎn).當(dāng)然上面的推理用的是直覺思維,并非邏輯推理.基于上述兩點(diǎn)有如下幾種解法.

因?yàn)殡p曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱,則A,B,C三點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)A′,B′,C′在雙曲線的另一支上,設(shè)D′,E′,F′分別是邊B′C′,C′A′,A′B′的中點(diǎn),由中心對稱知△D′E′F′的外接圓方程為

解方程①②得唯一解x=0,y=0,即原點(diǎn)是兩個(gè)圓的唯一公共點(diǎn),故所求定點(diǎn)為原點(diǎn).

點(diǎn)評上述解法需要解方程組有一定的運(yùn)算量,下面我們改進(jìn)上述解法,采用方程思想進(jìn)行定性分析的方法求解.

解法2(用方程思想)設(shè)A,B,C是雙曲線在第一象限的一支上的任意三點(diǎn),設(shè)過D,E,F三點(diǎn)的圓的方程為

因?yàn)殡p曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱,則A,B,C三點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)A′,B′,C′在雙曲線的另一支上,設(shè)D′,E′,F′分別是邊B′C′,C′A′,A′B′的中點(diǎn),由中心對稱知△D′E′F′的外接圓方程為

依題意這兩個(gè)圓過同一定點(diǎn),所以方程組①②有解.兩方程相減得

則

若f＞0,則方程組無解,從而兩圓沒有公共點(diǎn),不合題意.若f＜0,則由方程③④知方程組有兩個(gè)解,但兩個(gè)解不是定值,即兩圓有兩個(gè)不是定點(diǎn)的公共點(diǎn),不合題意.若f=0,則方程組有唯一而確定的解x=0,y=0,符合題意.故所求定點(diǎn)為原點(diǎn).

解法3(根據(jù)軸對稱性進(jìn)行合情推理)因?yàn)閮蓷l坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸,設(shè)A,B,C三點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)分別為A′,B′,C′,設(shè)D′,E′,F′分別是邊B′C′,C′A′,A′B′的中點(diǎn),則△DEF的外接圓與△D′E′F′的外接圓也關(guān)于x軸對稱.因?yàn)檫@兩個(gè)圓經(jīng)過同一定點(diǎn),所以定點(diǎn)一定在x軸上,同理定點(diǎn)也在y軸上,所以定點(diǎn)就是兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即坐標(biāo)原點(diǎn)O.

解法4(根據(jù)中心對稱性進(jìn)行合情推理)因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)是雙曲線的對稱中心,設(shè)A,B,C三點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A′,B′,C′,設(shè)D′,E′,F′分別是邊B′C′,C′A′,A′B′的中點(diǎn),則△DEF的外接圓與△D′E′F′的外接圓也關(guān)于原點(diǎn)對稱.因?yàn)檫@兩個(gè)圓都只經(jīng)過同一定點(diǎn),所以定點(diǎn)只能是坐標(biāo)原點(diǎn)O.

根據(jù)以上分析和合情推理,我們不難求出調(diào)考題所求的定點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).

3.演繹推理證明推廣

下面我們將問題一般化并將方程標(biāo)準(zhǔn)化可得如下結(jié)論:

性質(zhì)1 在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)A,B,C三點(diǎn)是等軸雙曲線xy=λ(λ＞0)上三個(gè)不同的點(diǎn),且D,E,F分別是BC,CA,AB的中點(diǎn),證明過D,E,F三點(diǎn)的圓必過坐標(biāo)原點(diǎn)O.

證法1(證四邊形OFDE的一組對角互補(bǔ))因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)是等軸雙曲線xy=λ上三個(gè)不同的點(diǎn),故可設(shè)A,B,C三點(diǎn)與雙曲線有如下兩種位置關(guān)系:一是三點(diǎn)均在同一支上,如圖1;二是其中一個(gè)點(diǎn)在一支上,另兩個(gè)點(diǎn)在另一支上,如圖2.

圖1

圖2

要證△ABC各邊的中點(diǎn)△DEF的外接圓過原點(diǎn)O,只需證O,D,E,F四點(diǎn)共圓,只需證∠EOF+∠EDF=180°.易知EAFD是平行四邊形,所以∠EDF= ∠BAC,故只需證 ∠EOF+ ∠BAC=180°,只需證 tan∠EOF=?tan∠BAC.

綜上,tan∠EOF=?tan∠BAC.故O,D,E,F四點(diǎn)共圓,則過D,E,F三點(diǎn)的圓經(jīng)過定點(diǎn),這個(gè)定點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)也就是等軸雙曲線的對稱中心.

同理,邊OD與邊OF的垂直平分線的交點(diǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)M相同,即它們也相交于同一點(diǎn)M.由線段垂直平分線的性質(zhì)得MO=MD=ME=MF,故O,D,E,F四點(diǎn)在以點(diǎn)M為圓心的圓上,所以過D,E,F三點(diǎn)的圓必經(jīng)過點(diǎn)O.

由曲線平移的知識(shí)可得如下一般性結(jié)論:

性質(zhì)2 在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)A,B,C三點(diǎn)是曲線

上三個(gè)不同的點(diǎn),且D,E,F分別是BC,CA,AB的中點(diǎn),則過D,E,F三點(diǎn)的圓必過曲線的對稱中心即定點(diǎn)(a,b).

等軸雙曲線的上述性質(zhì)用文字語言表達(dá)如下:

性質(zhì)等軸雙曲線上任意三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的中點(diǎn)三角形的外接圓必過雙曲線的中心.

筆者借助幾何畫板研究發(fā)現(xiàn),上述性質(zhì)是等軸雙曲線的一個(gè)特有性質(zhì),并非所有的雙曲線所擁有.

通俗地說,合情推理是一種“合乎情理”的推理,在上述研究中,我們用合情推理猜測出“如果定點(diǎn)存在,則定點(diǎn)只能是一個(gè)并且是等軸雙曲線的對稱中心”,這一猜測為我們用四點(diǎn)共圓的方法來證明命題提供了證明的思路和方向.演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程,但數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn),主要靠合情推理.合情推理和演繹推理是思維的兩個(gè)不可缺失的方面,兩者相輔相成、相得益彰.數(shù)學(xué)的教學(xué)是思維的教學(xué),在課堂教學(xué)中,我們不僅要教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)證明,也要教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)猜想.