摘 要：從奇數(shù)Jb序列中發(fā)現(xiàn)，除了2與5，其他所有素?cái)?shù)只存在于尾數(shù)為1、3、7、9的奇數(shù)中，然后求出Jb序列中的合數(shù)方程式，當(dāng)Jb數(shù)軸上消去這些合數(shù)后，即得到Jb數(shù)軸上的素?cái)?shù)及素?cái)?shù)分布情況。又將偶數(shù)PY分為兩個(gè)相等的整數(shù)，采用和差共有數(shù)ΔK，將兩個(gè)相等的整數(shù)變?yōu)閮蓚€(gè)素?cái)?shù)，ΔK從尾數(shù)相等及Jb序列素?cái)?shù)的分布中求出，（+ΔK）+（-ΔK）=0，則得到下式：PY=（[12P]Y+ΔK）+（[12P]Y-ΔK）=qi+qi+1，qi為素?cái)?shù)，由此證明了哥德巴赫-歐拉猜想是成立的。

關(guān)鍵詞：偶數(shù)；奇數(shù)；合數(shù)；素?cái)?shù)；和差共有數(shù)

序言：德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫（Goldbach，Christoan，1690—1764）于1742年6月7日在給歐拉（Enler，Lecnhard，1707—1783，瑞士數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家）的信中，提出了下列猜想，即任何一個(gè)n≥9的奇數(shù)，可以用三個(gè)素?cái)?shù)之和來表示。同年6月30日，歐拉在回信中表示，為了解決這個(gè)問題，需要充分證明：每一個(gè)偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和。哥德巴赫問題或哥德巴赫-歐拉問題可歸結(jié)為以下論點(diǎn)：任意一個(gè)n≥4的偶數(shù)都可分為兩個(gè)素?cái)?shù)之和；任何一個(gè)n≥7的奇數(shù)都可分為三個(gè)素?cái)?shù)之和（詳見參考文獻(xiàn)[1]和[2]）。

已經(jīng)過去了270多年了，很多數(shù)學(xué)家都未能證明這兩個(gè)相關(guān)的問題。許多數(shù)學(xué)愛好者也爭相證明。這兩個(gè)看似簡單而又很難證明的相關(guān)猜想，讓許多人耗去了一生的心血。

其實(shí)數(shù)與數(shù)之間的相互關(guān)系，不能用那些模糊的、復(fù)雜的數(shù)學(xué)推理去證明。我們只要根據(jù)數(shù)與數(shù)之間的變化規(guī)律，即可用準(zhǔn)確而簡單的公式來證明。

序幕：在未證明命題之前，首先要確定數(shù)名的代表符號及解釋各詞組的定義。這里令：Py代表偶數(shù)、Jb代表奇數(shù)、HR代表合數(shù)、qi代表素?cái)?shù)（或質(zhì)數(shù)）、ΔK代表和差共有數(shù)、[C]·代表尾數(shù)、m代表自然數(shù)或正整數(shù)，以1為進(jìn)位單位，m=1，2，3，…∞，n代表公式中的序列數(shù)，以1為進(jìn)位單位，n=1，2，3，…∞，b、y、i、R、k為腳注號，表示有許多不同的整數(shù)或連續(xù)或不連續(xù)的序列數(shù)；（+ΔK）+（-ΔK）恒等于零。

重要詞組：偶數(shù)、奇數(shù)、合數(shù)、素?cái)?shù)、尾數(shù)、序列數(shù)、和差共有數(shù)。

對于早已熟知的詞組無須注解。這里只注解一個(gè)新詞組-和差共有數(shù)：任何一個(gè)偶數(shù)，均可分成兩個(gè)完全相等的整數(shù)，其中一個(gè)整數(shù)加一個(gè)整數(shù)可成為素?cái)?shù)，另一個(gè)相等的整數(shù)減去同一個(gè)整數(shù)也可成為素?cái)?shù)，這個(gè)共同的整數(shù)即為該兩個(gè)相等整數(shù)的和差共有數(shù)。得公式：

PY=[12P]Y+[12P]Y=（[12P]Y+ΔK）+（[12P]Y-ΔK）=qi+qi+1

哥德巴赫-歐拉猜想的準(zhǔn)證明：要證明命題，首先要了解素?cái)?shù)（質(zhì)數(shù)）在Jb數(shù)軸上的分布規(guī)律。在Jb數(shù)軸上消除了合數(shù)數(shù)組，則得到了Jb數(shù)軸上剩余的空格數(shù)組就是素?cái)?shù)數(shù)組了。因?yàn)樵贘b數(shù)軸上，Jb[5]·是以5為尾數(shù)，大于5的所有數(shù)均為合數(shù)數(shù)組，無須研究。除了2與5，其余全部素?cái)?shù)只存在于Jb中的四個(gè)數(shù)軸中：Jb[3]·、Jb[7]·、Jb[9]·、Jb[11]·。為了有效消除Jb數(shù)軸上的合數(shù)數(shù)組，第一必須保證合數(shù)數(shù)組的尾數(shù)是一致的；第二要保證至計(jì)算點(diǎn)沒有合數(shù)數(shù)組的遺漏。為保證這兩個(gè)必要條件，建立以下合數(shù)方程式。

（2-2）式、（5-5）式、（8-8）式及（11-11）式中，每一個(gè)合數(shù)數(shù)組的n均從0開始，以1為進(jìn)位單位，各個(gè)合數(shù)數(shù)組互不干擾。上述四個(gè)數(shù)軸，各自消除了由方程式所給出的合數(shù)數(shù)組后，數(shù)軸上剩余的合數(shù)空格數(shù)組即為素?cái)?shù)。在數(shù)軸上出現(xiàn)了同一個(gè)Jb數(shù)組有多個(gè)重復(fù)的合數(shù)數(shù)組，只取其一個(gè)合數(shù)數(shù)組，因?yàn)镴b數(shù)軸上的數(shù)組都是唯一的。為了方便檢驗(yàn)，我們以Jb[11]·數(shù)軸為例，取部分值進(jìn)行運(yùn)算，以觀察實(shí)際效果。

我們利用上述合數(shù)方程式，可求得任意的奇數(shù)中素?cái)?shù)的占有量。

二、素?cái)?shù)數(shù)組的變化規(guī)律

1.單位數(shù)組中qi的部分實(shí)算占有量

為了便于比較，我們將m序列數(shù)組分成許多相等的數(shù)段，m最小數(shù)是1，而向大數(shù)方向的數(shù)是無限的。為了避開10以內(nèi)的特殊點(diǎn)（后面做專項(xiàng)說明），令m=Jb+Py=500個(gè)數(shù)組+500個(gè)數(shù)組=1000個(gè)數(shù)組，Jb從11起始，Py從12起始，把m序列數(shù)組分成很多以1000個(gè)數(shù)組為單位的數(shù)組段。相應(yīng)得到，Jb=Jb[C]·+ Jb[5]·=400個(gè)數(shù)組+100個(gè)數(shù)組=500個(gè)數(shù)組，Jb[C]·=Jb[3]·+ Jb[7]·+Jb[9]·+Jb[11]·=100個(gè)數(shù)組+100個(gè)數(shù)組+100個(gè)數(shù)組+100個(gè)數(shù)組=400個(gè)數(shù)組。由前面的方程式及介紹的方法，很容易求得尾數(shù)為：[3]·=3， [7]·=7， [9]·=9， [11]·=[1]·=1的qi在400個(gè)Jb[C]·數(shù)組中的占有量，相應(yīng)得到qi在m及Jb中的占有量。由此即得以下的比例：qi/Jb[C]·，qi/Jb，qi/m。實(shí)測值列入E表實(shí)測項(xiàng)，q0從11-1009共400個(gè)Jb[C]·數(shù)組qi的占有量，q1從1011-2009共400個(gè)Jb[C]·數(shù)組qi的占有量，以此類推。由E表實(shí)測數(shù)據(jù)看出，隨著Jb[C]·向大數(shù)方向推移，qi的占有量在不斷的減少。

2.在系列數(shù)組段中qi的變化規(guī)律

作者取部分實(shí)測值的光滑曲線，發(fā)現(xiàn)是一條很規(guī)則的數(shù)學(xué)曲線。經(jīng)研究推演，得到光滑曲線的方程式為：

qi0=[165×[1-n=1∞710n+12]] （A）

（A）式中：n=1，2，……∞，n所對應(yīng)的數(shù)組段qi0與qi相同。計(jì)算時(shí)，小數(shù)點(diǎn)后四舍五入取整數(shù)。由于合數(shù)的增量及合數(shù)重復(fù)密度的差異，實(shí)測值qi沿著理論值qi0發(fā)生小幅度的波動。理論值qi0列入E表qi0項(xiàng)。

由實(shí)測值qi與理論值qi0得到兩者的公差數(shù)為：

⊿S=±[qi-qi02n-1]=±[223681-1]=±5

公差較小。部分外延驗(yàn)證，理論曲線代表實(shí)測曲線的基本線。

由qi在Jb[C]·中占有量的曲線顯示，隨著數(shù)段向大數(shù)方向推移，開始數(shù)段qi的下降速度較快，然后再向更大的數(shù)組段方向推移時(shí)，qi在Jb[C]·中占有量的曲線下降速度越來越緩慢，這和新的數(shù)組段中，新的合數(shù)起始點(diǎn)不斷增多完全一致。在比較小的數(shù)組段中，新的合數(shù)起始點(diǎn)數(shù)量較多，由公式qi=Jb[C]·-HR[C]·已知，HR[C]·增大時(shí)，qi減少，Jb[C]·向更大的數(shù)段推移時(shí)，×qi的間距因qi減少而逐漸拉大，在較大數(shù)段中新的合數(shù)起始點(diǎn)的數(shù)量逐漸減少，致使qi在Jb[C]·中占有量的曲線下降的速度越來越緩慢；總之，單位素?cái)?shù)的占有量隨著數(shù)組段向大數(shù)方向推移在不斷的減少。由（A）式得到，當(dāng)n很大很大時(shí)，7/10（n+1）2→0， （A）式的后部分由變數(shù)逐漸趨近于常數(shù)，得到（A）式的極限值為：[limqi]>20。由此得到qi與Jb[C]·、Jb、m的最大比例、中等比例與最小比例分別為：qi0/Jb[C]·=165/400→80/400→>20/400，qi0/Jb=165/500→80/500→>20/500，qi0/m=165/1000→80/1000→>20/1000。

哥德巴赫-歐拉猜想的證明：

1.幾個(gè)特殊點(diǎn)及小整數(shù)的直觀判定

0不是正整數(shù)也不是負(fù)整數(shù)的整數(shù)。1是正整數(shù)或自然數(shù)最小整數(shù)但不是素?cái)?shù)。2是小偶數(shù)也是最小素?cái)?shù)。2與5只能在自然數(shù)基數(shù)或正整數(shù)基數(shù)中被定為素?cái)?shù)。>5以5為尾數(shù)的所有奇數(shù)均為合數(shù)。2與5為不能進(jìn)入運(yùn)算系統(tǒng)的特殊點(diǎn)。小整數(shù)是否符合猜想很容易直接判定。如：4=2+2；6=3+3；8=3+5；10=3+7=5+5；12=5+7；14=7+7=3+11；16=5+11=3+13；18=5+13=7+11；20=7+13=3+17。>20的任意偶數(shù)可分成兩個(gè)素?cái)?shù)之和的素?cái)?shù)全部存在于尾數(shù)為：1、3、7、9的奇數(shù)中，已由前面的方程式給出。>5的小奇數(shù)分成三個(gè)素?cái)?shù)之和可直觀判定。如：7=2+2+3；9=3+3+3；11=3+3+5；13=3+5+5=3+3+7；15=5+5+5=3+5+7；17=3+7+7=3+3+11；19=3+5+11=5+7+7；21=3+5+13=3+7+11。>21的任意奇數(shù)可由方程式給出。

這里有個(gè)新提法：同一個(gè)偶數(shù)可分成多個(gè)不同的兩個(gè)素?cái)?shù)之和的素?cái)?shù)對，依次被稱為一個(gè)素?cái)?shù)對，兩個(gè)素?cái)?shù)對及多個(gè)素?cái)?shù)對。比如前面的小偶數(shù)也可分成一個(gè)素?cái)?shù)對及兩個(gè)素?cái)?shù)對。

2.Δk的求解與（B）式的證明

從前面的方程式已詳盡知道了qi在m序列中的分布規(guī)律，為解決證題打下了基礎(chǔ)。我們又已知，任何大于或等于4的偶數(shù)均可分成兩個(gè)完全相等的整數(shù)，如果我們能求出Δk，下式必然成立：

3.（B）式的進(jìn)一步證明

（1）視素?cái)?shù)對ΔK（f）與[12] PY的關(guān)系式

為了區(qū)分真假素?cái)?shù)對，我們將ΔK分成兩部分，令ΔK（f）為視素?cái)?shù)對的數(shù)量，ΔK（g）為真素?cái)?shù)對的數(shù)量。ΔK（f）視素?cái)?shù)對的定義為：和的兩個(gè)數(shù)組都是合數(shù)，也可以是一個(gè)數(shù)組是合數(shù)，另一個(gè)數(shù)組是素?cái)?shù)，也可以是和的兩個(gè)數(shù)組都是素?cái)?shù)。ΔK（g）真素?cái)?shù)對的定義為：和的兩個(gè)數(shù)組都必須是素?cái)?shù)。由（B）式的10個(gè)分式已知，[12] PY±ΔK的ΔK數(shù)為：ΔK=3個(gè)[C]·+3個(gè)10K，當(dāng)K每進(jìn)位1時(shí)，則在ΔK中進(jìn)位10。視素?cái)?shù)對ΔK（f）的多少取決于[12] PY的大小。由此得到：

由（C）式即可求得PY為任何大的偶數(shù)時(shí)，PY擁有的視素?cái)?shù)對ΔK（f）的數(shù)量。比如PY=102，由（C）式求得：ΔK（f）=（51-1）×[310]=15個(gè)視素?cái)?shù)對。此時(shí)ΔK=ΔK（f），由前面的公式查得：[PY]·=2及[[12] PY]·=1時(shí)，得ΔK=0+10K；2+10K；8+10K（K=0，1，2，……）。由此得到：PY=51+51=102=（51+0）+（51-0）=（51+10）+（51-10）=（51+20）+（51-20）=（51+30）+（51-30）=（51+40）+（51-40）=（51+2）+（51-2）=（51+12）+（51-12）=（51+22）+（51-22）=（51+32）+（51-32）=（51+42）+（51-42）=（51+8）+（51-8）=（51+18）+（51-18）=（51+28）+（51-28）=（51+38）+（51-38）=（51+48）+（51-48）。數(shù)組對上面打X為非素?cái)?shù)對，數(shù)組對上面打△為真素?cái)?shù)對。由具體式求得ΔK（f）=15個(gè)對，ΔK（g）=7個(gè)對，得到真素?cái)?shù)對在視素?cái)?shù)對中占有的百分比為：ΔK（g）/ ΔK（f）×100/100=46.7%。

（2）ΔK（g）的超低取值

參考文獻(xiàn)：

[1]主編丹尼爾·拉佩茲（Dznie/N·1·apedecs），科學(xué)技術(shù)百科全書，第一卷，數(shù)學(xué)[M].科學(xué)出版社，1980：5.

[2]曾少潛主編，世界著名科學(xué)家簡介，增訂版[M].科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，1983：11-15，21.

[3]作者黃詩炎，《應(yīng)用尾數(shù)域證明費(fèi)爾馬大定理》，發(fā)表在《中國科教論文選》第一卷[M].紅旗出版社出版，1997：653-659.

作者簡介：

黃詩炎（1937—），男，湖北保康人，工程師，主要從事地震預(yù)測研究及數(shù)論研究。