張大軍，劉合朋，劉 軍，閔躍軍，鐘正虎

（北京航天控制儀器研究所，北京100039）

基于雙頻激光干涉儀的角速率檢測(cè)系統(tǒng)精度分析

張大軍，劉合朋，劉 軍，閔躍軍，鐘正虎

（北京航天控制儀器研究所，北京100039）

為了能夠精確檢測(cè)到測(cè)試轉(zhuǎn)臺(tái)在低速運(yùn)行下的角速率，設(shè)計(jì)了一種基于雙頻激光干涉儀的角速率精度檢測(cè)系統(tǒng)。首先，對(duì)本檢測(cè)系統(tǒng)各項(xiàng)誤差進(jìn)行機(jī)理分析。然后，綜合各項(xiàng)誤差項(xiàng)建立總體相對(duì)誤差模型。最終，通過仿真分析得到各個(gè)誤差因子對(duì)相對(duì)誤差項(xiàng)的影響，為保證檢測(cè)系統(tǒng)相對(duì)精度提供理論依據(jù)，能夠滿足對(duì)高精度慣性器件測(cè)試轉(zhuǎn)臺(tái)低速段0．0001（°）／s～1（°）／s速率檢測(cè)要求。

測(cè)試轉(zhuǎn)臺(tái)；低速；角速率測(cè)量；雙頻激光干涉；精度分析

Abstract：In order to accurately measure angular rate of the test turn?table running at low speeds，an angular rate measurement system based on dual?frequency laser interferometer is designed．Therefore，themechanism of the errors of the detection system is analyzed．Then，itswhole errormodel integrating relative error terms is established．Finally，calculated by simulation，the influence of error factors to relative error terms is obtained．The theory basis for ensuringmeasurement systematic accuracy is provided．At last，when high precision inertial components test turntable is running at low speed of 0．0001（°）／s～1（°）／s，angular ratemeasurement is achieved．

Key w ords：test turn?table;low speed;angular ratemeasurement;dual?frequency laser interferometer;precision a?nalysis

0 引言

轉(zhuǎn)臺(tái)在慣性器件測(cè)量領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，其中角速率精度又是重要指標(biāo)。速率精度可分為低速0．0001（°）／s～1（°）／s、中速1（°）／s～10（°）／s、高速10（°）／s～200（°）／s這3段。高精度慣性器件測(cè)試轉(zhuǎn)臺(tái)精度要求達(dá)到5×10－5（0．0001（°）／s～1（°）／s，1°平均）、5×10－6（1（°）／s～10（°）／s，10°平均）、5× 10－7（10（°）／s～200（°）／s，360°平均）的國際領(lǐng)先水平。采用傳統(tǒng)的測(cè)量方法測(cè)量轉(zhuǎn)臺(tái)低速階段角速率時(shí)，比如光電軸角編碼器法，要想滿足其測(cè)量相對(duì)精度，光電編碼器的絕對(duì)精度要到0．06″，目前技術(shù)達(dá)不到。因此，需要研制新的速率精度檢測(cè)方法。本文利用雙頻激光干涉儀與光學(xué)差動(dòng)結(jié)構(gòu)組合測(cè)量角速度的特點(diǎn)［1?2］，設(shè)計(jì)了一種基于雙頻激光干涉儀的轉(zhuǎn)臺(tái)低速速率精度檢測(cè)系統(tǒng)，并通過反正弦解算的方法，低速速率檢測(cè)相對(duì)精度可達(dá)1．7×10－5，解決了無法對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)高精度低速率進(jìn)行有效檢測(cè)的技術(shù)難題。因此，本文要分析基于雙頻激光干涉儀的角速率檢測(cè)系統(tǒng)精度，為保證檢測(cè)系統(tǒng)相對(duì)精度提供理論依據(jù)。

1 檢測(cè)系統(tǒng)組成及基本原理

轉(zhuǎn)臺(tái)角速率測(cè)量基本原理如式（1）所示：

式中，ω為角速率，Δα為角位移，ΔT為轉(zhuǎn)動(dòng)角位移Δα所經(jīng)歷的時(shí)間。時(shí)間間隔ΔT可采用高精度時(shí)鐘進(jìn)行采樣滿足精度要求，角位移Δα的高精度測(cè)量可根據(jù)雙頻激光干涉儀和光學(xué)差動(dòng)結(jié)構(gòu)共同實(shí)現(xiàn)。

雙頻激光干涉角速率檢測(cè)系統(tǒng)工作原理如圖1所示。雙頻激光發(fā)生器1產(chǎn)生2個(gè)相互垂直的具有不同頻率的偏振光，頻率分別為f1和f2，一部分偏振光在內(nèi)部實(shí)現(xiàn)干涉，被內(nèi)部光電接收器檢測(cè)到基準(zhǔn)信號(hào)（f1－f2）。同時(shí)，一部分光通過偏振分光鏡4，按照偏振方向不同，兩偏振光分離，f1光透過偏振分光鏡4，通過反射鏡5兩次反射，投射到正弦臂8上的一個(gè)角錐棱鏡7；f2光從偏振分光鏡4反射到另一反射鏡5，再反射投射到正弦臂8上的另一個(gè)角錐棱鏡7。

式中，N1為在t時(shí)間內(nèi)由偏振光f1引起的周期數(shù)，N2為在t時(shí)間內(nèi)由偏振光f2引起的周期數(shù)。

角錐棱鏡沿光路移動(dòng)L表達(dá)式為：

式中，λ1為偏振光f1的波長，λ2為偏振光f2的波長，c為光速。

根據(jù)式（2）和式（3）可推導(dǎo)得出沿光路移動(dòng)L與周期數(shù)N之間的關(guān)系：

根據(jù)正弦定理得：

式中，α為轉(zhuǎn)動(dòng)角位移，R為角錐棱鏡光學(xué)中心到旋轉(zhuǎn)中心的距離。

根據(jù)式（4）和式（5），λ1與λ2兩波長近似相等，記作λ。因此，可得到轉(zhuǎn)動(dòng)角位移α與周期數(shù)N的關(guān)系為：

式（6）為基于雙頻激光干涉儀的轉(zhuǎn)臺(tái)角速率檢測(cè)系統(tǒng)角位置數(shù)學(xué)模型，可以根據(jù)該數(shù)學(xué)模型精確反正弦解算出轉(zhuǎn)臺(tái)的角位移。同時(shí)，使用具有高精度晶振時(shí)基的多功能數(shù)字相位卡進(jìn)行高速數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)采樣，數(shù)據(jù)處理后可得到角速率信息。

2 檢測(cè)系統(tǒng)各項(xiàng)誤差機(jī)理分析

2.1 正弦零位誤差引起的相對(duì)誤差

由于正弦零位位置是個(gè)理想位置，在實(shí)際工程中，是存在正弦零位誤差的，如圖2所示。

由圖2可知，實(shí)際角位移α~與周期數(shù)N的關(guān)系為：

式中，ε為正弦零位誤差。

根據(jù)式（6）和式（7），得到實(shí)際角位移α~與測(cè)量角位移α、正弦零位誤差ε之間的關(guān)系：

可得出正弦零位誤差引起的相對(duì)誤差項(xiàng)ΔJ：

2.2 正弦臂差動(dòng)結(jié)構(gòu)偏心安裝誤差引起的相對(duì)誤差

正弦臂安裝誤差存在以下幾種情況，分別如圖3～圖5所示，其誤差對(duì)檢測(cè)系統(tǒng)相對(duì)精度的影響程度是不一樣的，針對(duì)這些情況，進(jìn)行精度分析。

如果正弦臂差動(dòng)結(jié)構(gòu)偏心安裝如圖3所示，當(dāng)正弦臂中心與轉(zhuǎn)臺(tái)的旋轉(zhuǎn)中心沿著徑向方向有偏置時(shí)，實(shí)際角位移α~可表示為：

式中，Δ為偏心距離，L1、L2分別為兩角錐棱鏡沿光路方向移動(dòng)的距離。

根據(jù)式（2）和式（10）整理得到：

通過式（11），采用平均真空波長為633nm的雙頻激光頭，拍頻為1MHz～4MHz，也就是說λ1＋λ2?λ1－λ2，已經(jīng)滿足系統(tǒng)的相對(duì)精度的要求。因此，2R（λ1＋λ2）?2（λ1－λ2）Δ，使得該方式偏心安裝引起的系統(tǒng)測(cè)量誤差可以忽略不計(jì)。

如果正弦臂差動(dòng)結(jié)構(gòu)偏心安裝如圖4所示，當(dāng)正弦臂中心與轉(zhuǎn)臺(tái)的旋轉(zhuǎn)中心沿著周方向有偏置時(shí)，實(shí)際角位移α~可表示為：

式中，θ為由于偏置Δ所產(chǎn)生的夾角。

根據(jù)式（12）和式（13）整理得到：

通過式（14），采用平均真空波長為633nm的雙頻激光頭，拍頻為1MHz～4MHz，也就是說λ1≈λ2。因此，可以得出偏心安裝誤差引起的系統(tǒng)測(cè)量誤差可忽略不計(jì)。

如果正弦臂差動(dòng)結(jié)構(gòu)與轉(zhuǎn)臺(tái)平面有安裝夾角，如圖5所示。實(shí)際角位移可通過式（15）得到：

式中，β為正弦臂差動(dòng)結(jié)構(gòu)與轉(zhuǎn)臺(tái)平面有安裝夾角。

根據(jù)式（6）和式（15），得到實(shí)際角位移α~與測(cè)量角位移α、平行度β之間的關(guān)系：

可得出正弦臂差動(dòng)結(jié)構(gòu)偏心安裝誤差引起的相對(duì)誤差項(xiàng)ΔA：

在安裝正弦臂時(shí)，盡量做到正弦臂差動(dòng)結(jié)構(gòu)與轉(zhuǎn)臺(tái)平面平行。本文采用現(xiàn)場(chǎng)臂長標(biāo)定方法，在保證檢測(cè)系統(tǒng)精度的同時(shí)，對(duì)正弦臂的安裝精度要求降低。

2.3 正弦臂臂長相對(duì)誤差

環(huán)境溫度的變化使正弦臂長發(fā)生變化，進(jìn)而影響測(cè)角精度。同時(shí)，安裝時(shí)正弦臂不平行于臺(tái)面可以看作影響臂長來影響測(cè)角精度。因此，如何保證現(xiàn)場(chǎng)的臂長精度是十分必要的。本文采用現(xiàn)場(chǎng)臂長標(biāo)定方法，即在檢測(cè)轉(zhuǎn)臺(tái)低速角速率之前，先使用轉(zhuǎn)臺(tái)位置控制模式，對(duì)光學(xué)正弦臂臂長進(jìn)行標(biāo)定。利用轉(zhuǎn)臺(tái)的絕對(duì)位置精度高，標(biāo)定臂長時(shí)增加轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過角度。

根據(jù)正弦定理得：

式中，?為標(biāo)定時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)的角位移。

根據(jù)式（8），?對(duì)R求微分，整理得到：

式中，?為標(biāo)定時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)的角位移，Δ?為轉(zhuǎn)臺(tái)角位移絕對(duì)精度，ΔR是標(biāo)定的正弦臂長誤差。

因此，得到現(xiàn)場(chǎng)標(biāo)定的臂長相對(duì)誤差項(xiàng)ΔR與標(biāo)定時(shí)選擇的轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)臺(tái)絕對(duì)精度的關(guān)系。

2.4 角錐棱鏡的反射光學(xué)特性及其引起的相對(duì)誤差

角錐棱鏡又稱角體合作目標(biāo)［3］，是由3個(gè)互相垂直的平面組成3個(gè)直角。頂點(diǎn)是3個(gè)互相垂直棱的交點(diǎn)，底部切割成一等邊三角形。直角表面為反射面，角體合作目標(biāo)的表面不平度、直角誤差均影響反射光束的發(fā)散角和反射光束的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射花樣［4?6］。下面對(duì)角體合作目標(biāo)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行初步的精度分析。

角體合作目標(biāo)的內(nèi)部光線軌跡：光線從角體合作目標(biāo)的底面入射后，入射線將在三角面上依次反射，出射線將平行于入射線射出，幾何相的對(duì)稱中心是三角面頂點(diǎn)。

根據(jù)光學(xué)反射定律，入射光經(jīng)過角體合作目標(biāo)的3個(gè)直角反射面全反射恰好可以等效為光線從入射點(diǎn)關(guān)于頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)入射，通過角體合作目標(biāo)內(nèi)部射出后方向正好與入射光方向相反［7?9］。因此，角錐棱鏡等效光路圖可以看成如圖6所示，將檢測(cè)系統(tǒng)中正弦臂兩端的兩角錐棱鏡展開成平板玻璃，并分別建立坐標(biāo)系，令正弦臂臂長O1O2為2R。

當(dāng)正弦臂在水平面內(nèi)繞正弦臂回轉(zhuǎn)中心M旋轉(zhuǎn)一個(gè)微小角度α?xí)r，根據(jù)正弦原理，光程差H的表達(dá)式可表示為：

正弦原理沒有考慮正弦臂兩端角錐棱鏡的安裝和制造不對(duì)稱引入的光程差，當(dāng)考慮其不對(duì)稱性時(shí)，實(shí)際測(cè)試中的光程差ΔI可根據(jù)式（21）得到：

式中，ΔH為正弦臂兩端角錐鏡不對(duì)稱性引入的光程差。

經(jīng)分析，正弦臂兩端角錐鏡的不對(duì)稱性可以歸納成2種情況：

1）兩角錐棱鏡均為標(biāo)準(zhǔn)的相同尺寸的角錐鏡，但兩者安裝在鏡組中時(shí)前表面不平行，存在微小夾角ε；

2）兩角錐棱鏡均為標(biāo)準(zhǔn)角錐棱鏡，但兩者厚度不等，分別記為Ha和Hb，表現(xiàn)為將角錐棱鏡展開成平板玻璃以后的厚度不相等。

圖6是初位置角錐棱鏡等效光路，激光器發(fā)出的光束垂直于正弦臂中角錐棱鏡前表面入射。但是由于兩角錐棱鏡安裝時(shí)前表面不平行，當(dāng)入射光束垂直于角錐鏡a的前表面時(shí)，必然與角錐鏡b前表面存在一個(gè)夾角ε。

兩角錐棱鏡的光路長度分別為：

式中，n為角錐棱鏡折射率，S為O1O2距基準(zhǔn)面的初始距離。推導(dǎo)出兩光路的光路差I(lǐng)0為：

同理，當(dāng)正弦臂繞回轉(zhuǎn)中心M轉(zhuǎn)過微小角度α后，角錐棱鏡與激光器入射光束的相對(duì)位置發(fā)生變化。圖7為正弦臂轉(zhuǎn)過α角后兩角錐棱鏡的等效光路圖。經(jīng)分析，正弦臂轉(zhuǎn)過α角后，光束通過兩角錐棱鏡的光路長度分別為：

式中，S1為轉(zhuǎn)動(dòng)α角后O1距基準(zhǔn)面的距離，S2為轉(zhuǎn)動(dòng)α角時(shí)O2距基準(zhǔn)面的距離。

推導(dǎo)出兩光路的光路差I(lǐng)′為：

可看出2（S2－S1）＝4R sinα，則正弦臂轉(zhuǎn)過α角后，由雙頻激光干涉測(cè)量系統(tǒng)測(cè)得的光程差ΔI為：

因此，根據(jù)式（20）、式（21）和式（28）可計(jì)算得到角錐棱鏡不對(duì)稱性引起的相對(duì)誤差項(xiàng)ΔZ：

3 檢測(cè)系統(tǒng)綜合誤差分析

根據(jù)式（1）可以得出，角速率檢測(cè)系統(tǒng)誤差由測(cè)角誤差和采樣時(shí)鐘誤差共同決定?？捎檬剑?0）表示：

式中，ΔT為采樣周期的相對(duì)誤差，Δα為角位移α相對(duì)誤差。

將式（6）全微分，略去高次項(xiàng)可得：

式中，Δα為轉(zhuǎn)角變化量，Δλ為波長不確定量，ΔN為周期數(shù)不確定量，ΔR為臂長不確定量。

其中，時(shí)鐘基準(zhǔn)誤差項(xiàng)ΔT、電氣相對(duì)誤差項(xiàng)ΔN和光波波長相對(duì)誤差項(xiàng)Δλ都可以做得很小，滿足檢測(cè)系統(tǒng)相對(duì)精度的要求［10］。因此，本文重點(diǎn)對(duì)其他重要誤差項(xiàng)進(jìn)行了機(jī)理研究，并進(jìn)行了仿真計(jì)算。

4 仿真分析

使用Matlab仿真分析各個(gè)誤差因子對(duì)檢測(cè)系統(tǒng)各個(gè)誤差項(xiàng)的相對(duì)精度影響。

圖8是正弦零位誤差項(xiàng)ΔJ跟隨正弦零位絕對(duì)誤差和轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角的變化曲面。由圖8可知，正弦零位誤差控制在40″范圍內(nèi)，測(cè)量范圍在±5°以內(nèi)，正弦零位引起的相對(duì)誤差項(xiàng)ΔJ可控制在1×10－5范圍內(nèi)。

通過分析可知，采用光學(xué)差動(dòng)結(jié)構(gòu)能夠減小安裝誤差對(duì)測(cè)量系統(tǒng)精度的影響。各類安裝誤差影響最大的是正弦臂差動(dòng)結(jié)構(gòu)與轉(zhuǎn)臺(tái)平面平行度，其他的安裝誤差都能夠滿足1×10－5相對(duì)精度。因此，針對(duì)該誤差因子進(jìn)行仿真分析。圖9是相對(duì)誤差項(xiàng)ΔA跟隨轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角和平行度β的變化曲面。由圖9可知，正弦臂差動(dòng)結(jié)構(gòu)與轉(zhuǎn)臺(tái)平面平行度控制在0．3°范圍內(nèi)，測(cè)量范圍在±5°以內(nèi)，正弦臂安裝誤差引起的相對(duì)誤差項(xiàng)ΔA可控制在1×10－5范圍內(nèi)。

本文提供現(xiàn)場(chǎng)臂長標(biāo)定方案，利用轉(zhuǎn)臺(tái)角位置的絕對(duì)精度高的優(yōu)勢(shì)來提高正弦臂臂長的相對(duì)精度，同時(shí)對(duì)正弦臂的安裝精度要求降低。通過Matlab計(jì)算繪制現(xiàn)場(chǎng)標(biāo)定的臂長相對(duì)誤差跟隨標(biāo)定時(shí)所選的轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)臺(tái)位置精度關(guān)系變化曲面，如圖10所示。通過分析可知轉(zhuǎn)臺(tái)位置精度在0．3″內(nèi)，現(xiàn)場(chǎng)標(biāo)定的臂長相對(duì)精度 ΔR可控制在1×10－5范圍內(nèi)。

由于正弦臂兩端角錐鏡的不對(duì)稱性造成的光程差對(duì)檢測(cè)系統(tǒng)相對(duì)精度具有一定影響，配置各類參數(shù)后（R＝32mm，n＝1．4，Ha＝10mm，α＝1°），用Matlab仿真繪制相對(duì)誤差項(xiàng)ΔZ跟隨厚度差和兩錐面的夾角變化曲面，如圖11所示。分析可知，角錐棱鏡的加工工藝誤差以及在正弦臂中的安裝偏差都會(huì)對(duì)雙頻激光干涉正弦測(cè)角帶來測(cè)量誤差。由圖11可知，安裝偏差（兩角錐棱鏡前表面不平行度）在20″范圍內(nèi)，制造工藝誤差（兩角錐棱鏡的厚度差）在0．1mm范圍內(nèi)，相對(duì)誤差項(xiàng)ΔZ可控制在1×10－5內(nèi)。

5 結(jié)論

本文建立了基于雙頻激光干涉儀的角速率檢測(cè)系統(tǒng)總體誤差模型，分析各個(gè)誤差因子與相對(duì)誤差項(xiàng)的關(guān)系，并利用Matlab對(duì)其進(jìn)行了誤差仿真分析，可以得到以下結(jié)論：檢測(cè)系統(tǒng)測(cè)量范圍在±5°內(nèi)，正弦零位誤差控制在40″范圍內(nèi)，正弦零位引起的相對(duì)誤差項(xiàng) ΔJ可控制在1×10－5范圍內(nèi)；轉(zhuǎn)臺(tái)位置精度在0．3″內(nèi)，添加標(biāo)定時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)角選擇5°，現(xiàn)場(chǎng)標(biāo)定的臂長相對(duì)精度ΔR可控制在1×10－5范圍內(nèi)；安裝偏差（兩角錐鏡前表面不平行度）在20″范圍內(nèi)，制造工藝誤差（兩角錐鏡的厚度差）在0．1mm范圍內(nèi)，相對(duì)誤差項(xiàng)ΔZ可控制在1×10－5內(nèi)。綜上所述，該角速率檢測(cè)系統(tǒng)相對(duì)精度可以達(dá)到1．7×10－5，滿足了對(duì)高精度慣性器件測(cè)試轉(zhuǎn)臺(tái)低速段0．0001（°）／s～1（°）／s速率檢測(cè)要求。同時(shí)，本文的誤差分析也為進(jìn)一步提高該檢測(cè)系統(tǒng)精度提供了理論依據(jù)。

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Precision Analysis on Angu lar Rate M easurem en t System Based on Dual?frequency Laser In terferom eter

ZHANG Da?jun，LIU He?peng，LIU Jun，MIN Yue?jun，ZHONG Zheng?hu
（Beijing Institute of Aerospace Control Devices，Beijing 100039）

U666．1

A

1674?5558（2017）03?01340

10．3969／j．issn．1674?5558．2017．04．012

張大軍，男，碩士，精密儀器及機(jī)械專業(yè)，研究方向?yàn)榫軠y(cè)量技術(shù)。

2016?11?25

國家重大科學(xué)儀器設(shè)備開發(fā)專項(xiàng)（編號(hào)：2013YQ310737）