數(shù)學(xué)園地

錯在哪里

1 江蘇省海州高級中學(xué)

馮善狀(郵編：222023)

2 新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團第二中學(xué)

張國治(郵編：830002)

甘肅省渭源縣第三中學(xué)

蘭建軍(郵編：748200)

題目(金太陽教育研究院2017年《小題大做》第22頁高考仿真卷九第11題)

解析(該資料提供的標(biāo)準解答)

圖1

題目錯了，錯在哪里？

上述題目及解答似乎無懈可擊，但卻犯了一個致命的錯誤，即符合題意的四面體P-ABC是否存在？此題的作者在編擬試題時有心理上的“潛在假設(shè)”，即認為符合題意的四面體是存在的，但是本題中的四面體P-ABC并不存在，從而此題根本上是一個錯題.

錯誤剖析1：

圖2

錯誤剖析2六正數(shù)如何能構(gòu)成四面體六棱長？為此查詢期刊，《六正數(shù)構(gòu)成四面體六棱長的充要條件》一文(以下簡稱文[1])中給出如下結(jié)論：

圖3

設(shè)a、a′、b、b′、c、c′為六個正數(shù)，則這六個正數(shù)構(gòu)成四面體的充要條件是：F(a,a′,b,b′,c,c′)=a2a′2(b2+b′2+c2+c′2-a2-a′2)+b2b′2(c2+c′2+a2+c′2-b2-b′2)+c2c′2(a2+a′2+b2+b′2-c2-c′2)-(a2b2c2+a2b′2c′2+a′2b2c′2+a′2b′2c2)>0(其中a、a′;b、b′;c、c′各為四面體的一組對棱，如圖3).

若將題目作如下修正，則不失為一道訓(xùn)練學(xué)生思維能力的一道好題.

試題修正：

說明如圖4，設(shè)球O的半徑為R，若符合題意的四面體P-ABC存在等價于則四面體O-ABC必存在，由文[1]的結(jié)論可知，F(xiàn)(R,1,1,

可見，對于題目的編制應(yīng)遵循條件相容性原則，即題設(shè)條件之間不能互相矛盾.

此題較明顯的錯誤是底面積的前后不同.事實上，通過正本清源發(fā)現(xiàn)更本質(zhì)的錯誤在于根本忽視了六正數(shù)如何能構(gòu)成四面體六棱長這一隱含條件.

總之，試題編擬過程中題目的條件對于推出結(jié)論是充分的，而有些條件不充分的題目，之所以存在，是由于編擬試題和解題時有心理上的“潛在假設(shè)”，或邏輯上的“以偏概全”.當(dāng)然，在試題編擬過程中要特別注意隱含條件，題設(shè)條件不能與本系統(tǒng)的公理、定理、已知正確的結(jié)論等相矛盾，而且題設(shè)中的多個條件之間也不能互相矛盾.當(dāng)然，解題環(huán)節(jié)中也需要“常回頭看看”，養(yǎng)成良好的檢查習(xí)慣.