安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院 (郵編：241000)

數(shù)學(xué)通報2283號問題的再推廣

安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院劉其右郭要紅(郵編：241000)

《數(shù)學(xué)通報》2283號問題[1]如下：

設(shè)a、b、c>0，求證：

文[2]從指數(shù)方面出發(fā)，給出了上述一個不等式的推廣如下：

定理1若a、b、c>0，且指數(shù)α>1，則

(1)

本文從項數(shù)與系數(shù)入手，給出定理1的一個推廣.

(2)

欲證(2)式成立，只須證

?[1+λ(n-1)α](Sα)2≥λn(n-1)α-1(Sα)2+n[1-λ(n-1)α-1]S2α，

?n[λ(n-1)α-1-1]S2α≥λn(n-1)α-1(Sα)2-[1+λ(n-1)α](Sα)2，

?n[λ(n-1)α-1-1]S2α≥[λ(n-1)α-1-1](Sα)2

(3)

若α=1且λ=1，則(3)為恒等式.

若α>1或λ>1，(3)式等價于

nS2α≥(Sα)2，也即

(4)

由加權(quán)平均不等式知(4)成立，所以(3)式成立，故(2)式成立，定理2得證.

在定理2中，取n=3,λ=1，則(2)轉(zhuǎn)化為(1)式，所以定理2是定理1的推廣.

1 姜坤崇. 問題2283[J]. 數(shù)學(xué)通報，2016，55(1)

2 黃兆麟. 數(shù)學(xué)通報2283號問題的指數(shù)推廣[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2016(4)：55

3 匡繼昌著. 常用不等式(第三版)[M]. 濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004.58

2017-04-11)