安徽省蕪湖市第十二中學(xué) (郵編：241002)

復(fù)習(xí)考試

正確認(rèn)識(shí)全國(guó)卷(Ⅰ) 準(zhǔn)確把握高考新動(dòng)向
——談高考數(shù)列二輪復(fù)習(xí)的策略

安徽省蕪湖市第十二中學(xué)謝孝順(郵編：241002)

數(shù)列作為高考數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，是中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)有機(jī)聯(lián)系的橋梁，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位.從近幾年的高考試題來(lái)看，數(shù)列在高考中的考查，主要是“數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列的求和”兩類(lèi)問(wèn)題，有時(shí)還會(huì)綜合函數(shù)、不等式以及導(dǎo)數(shù)等有關(guān)知識(shí).有關(guān)數(shù)列的綜合性問(wèn)題在高考中通常以解答題的形式出現(xiàn)，這類(lèi)問(wèn)題不僅考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，還給學(xué)生提供了創(chuàng)新思維的空間，從而對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)進(jìn)行了充分考查.

數(shù)列；數(shù)列性質(zhì)；基本運(yùn)算；數(shù)學(xué)思想

數(shù)列作為高考數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，是中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)有機(jī)聯(lián)系的橋梁，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位.從近幾年的高考試題來(lái)看，數(shù)列在高考中的考查，主要是“數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列的求和”兩類(lèi)問(wèn)題，有時(shí)還會(huì)綜合函數(shù)、不等式以及導(dǎo)數(shù)等有關(guān)知識(shí).題目通常以等差數(shù)列、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列、等比數(shù)列的數(shù)列為依托，涉及數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的遞推關(guān)系、前n項(xiàng)和與an的關(guān)系、數(shù)列的性質(zhì)等問(wèn)題.有關(guān)數(shù)列的綜合性問(wèn)題在高考中通常以解答題出現(xiàn)，這類(lèi)問(wèn)題不僅考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，還給學(xué)生提供了創(chuàng)新思維的空間，從而對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)進(jìn)行了充分考查.

從2016年開(kāi)始，安徽省高考試卷由自主命題轉(zhuǎn)向教育部統(tǒng)一命制的全國(guó)卷(Ⅰ).如此一來(lái)，安徽省高中廣大一線數(shù)學(xué)教師就面臨這樣一個(gè)課題：加強(qiáng)對(duì)全國(guó)卷(Ⅰ)的研究，盡快了解全國(guó)卷(Ⅰ)命卷特點(diǎn)，提高復(fù)習(xí)效率.為此，筆者認(rèn)真探究了近五年全國(guó)卷(Ⅰ)的命卷特點(diǎn)與命題趨勢(shì)，并略有所得.下面就高三二輪復(fù)習(xí)中數(shù)列的復(fù)習(xí)，從三個(gè)方面談?wù)剛€(gè)人的看法.

1 考點(diǎn)回顧

縱觀近五年的全國(guó)卷(Ⅰ)，對(duì)數(shù)列知識(shí)的考查，重點(diǎn)體現(xiàn)在數(shù)列的基本公式、基本性質(zhì)和遞推數(shù)列、數(shù)列的求和以及所蘊(yùn)含的函數(shù)思想與方程的思想，試題基本圍繞等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類(lèi)模型展開(kāi)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，試題重視通性通法的考查，強(qiáng)調(diào)的是基本方法.解答題中，數(shù)列一般不作為壓軸題.

從數(shù)列考點(diǎn)分析情況看，近五年數(shù)列內(nèi)容在全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷(以下簡(jiǎn)稱(chēng)為全國(guó)卷)與安徽卷中的分布情況如下(以理科為例)：

2012-2016年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)列考點(diǎn)分布統(tǒng)計(jì)(理科)

2011-2015年安徽卷數(shù)列考點(diǎn)分布統(tǒng)計(jì)(理科)

統(tǒng)計(jì)表明，全國(guó)卷與安徽卷的主要差異如下：

(1)題量與分值：由于全國(guó)卷的解答題對(duì)數(shù)列與三角函數(shù)這兩塊主干知識(shí)的考查是交替出現(xiàn)，因此，若出現(xiàn)數(shù)列解答題時(shí)，僅有1道解答題(12分)；若沒(méi)有數(shù)列解答題時(shí)，通常是1道選擇題、1道填空題，共2道題(10分).安徽卷(理科)則一直穩(wěn)定為一小一大2道題(17-19分).

(2)位置與難度：全國(guó)卷對(duì)數(shù)列的考查，基本穩(wěn)定為中等難度.若沒(méi)有考查數(shù)列的解答題時(shí)，則相關(guān)知識(shí)點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)在選擇題或填空題靠后的位置(2012年理第16題、2013年理第12題、2012年文第12題)，難度一般不大，主要是考查等差或等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式等；若以解答題形式呈現(xiàn)，則在解答題板塊第一題的位置，難度一般偏向中、低，考查重點(diǎn)為等差或等比數(shù)列、通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法，往往也和其它知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合.安徽卷對(duì)數(shù)列的考查常出現(xiàn)在后3題，皆為綜合性大題，并常有高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)競(jìng)賽背景，難度偏高.

(3)關(guān)于遞推數(shù)列：全國(guó)卷與安徽卷均有考查，但全國(guó)卷中遞推關(guān)系比較單一(2012理16、2014理17、2015理17、2012文12)，安徽卷對(duì)遞推關(guān)系考查背景則比較寬泛.

2 考點(diǎn)精析

2.1 基本關(guān)系與基本運(yùn)算

數(shù)列中的基本關(guān)系與基本運(yùn)算是數(shù)列的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是高考數(shù)學(xué)的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，主要體現(xiàn)在對(duì)數(shù)列的考查，基本上都可以轉(zhuǎn)化為對(duì)等差(比)數(shù)列的定義、基本性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等差(比)中項(xiàng)的考查.?？嫉闹R(shí)點(diǎn)有：求等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)、通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和、項(xiàng)數(shù)、求公差(比)、或已知某一項(xiàng)或若干項(xiàng)0的和求某一項(xiàng)的取值范圍.因此，在二輪復(fù)習(xí)中，要引導(dǎo)學(xué)生回歸課本，夯實(shí)基礎(chǔ)，強(qiáng)化基本運(yùn)算，抓住等差(比)數(shù)列中的基本量a1,d,q，通過(guò)基本訓(xùn)練達(dá)到解題能力的提高及數(shù)學(xué)思維發(fā)展的提升.

2.2 兩類(lèi)特殊數(shù)列的性質(zhì)

等差數(shù)列、等比數(shù)列是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容、核心知識(shí)，它常集觀察、計(jì)算、推理、證明于一體，巧妙地將分類(lèi)討論、化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)方法融于其中，達(dá)到考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算、推理論證及分析、解決問(wèn)題的能力的目的.為此我們必須要熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，深刻理解其基本性質(zhì)，這將有助于拓寬解題思路，提高解題速度，從而達(dá)到事半功倍的效果.

(1)求S20；

(2)求當(dāng)Sn最大時(shí)n的值.

思路分析本題考查的是等差數(shù)列的定義、基本運(yùn)算和性質(zhì)，以及對(duì)分類(lèi)討論思想的運(yùn)用.

(1)數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)，是首項(xiàng)為23、公差為4的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)，是首項(xiàng)為-9、公差為-8的等差數(shù)列，

S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=-40.

(2)可以先求出Sn的表達(dá)式.

利用二次函數(shù)知識(shí)，當(dāng)n=8或11時(shí)，Sn可以取得最大值且S11>S8.

此題在解決具體問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)建立等差數(shù)列中相關(guān)量之間的數(shù)量關(guān)系，不僅著重考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和Sn公式，同時(shí)也考查了等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用.

2.3 通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn

在進(jìn)行錯(cuò)位相減時(shí)，要把握好剩余項(xiàng)的處理.學(xué)生出錯(cuò)的原因，主要是求解過(guò)程不夠仔細(xì)而造成符號(hào)或運(yùn)算的錯(cuò)誤.所以在復(fù)習(xí)中要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，同時(shí)提醒學(xué)生要有耐心，并力求步驟書(shū)寫(xiě)清楚.

思路分析本題將“等差數(shù)列的前項(xiàng)和、等比數(shù)列及性質(zhì)、裂項(xiàng)相消法求和及分類(lèi)討論思想”有機(jī)地交匯在一起，是非常典型的等差數(shù)列與等比數(shù)列的混合問(wèn)題.對(duì)于第二問(wèn)，在教學(xué)時(shí)，可以逐步引導(dǎo)學(xué)生思考：怎么求和？求和有哪些方法？觀察通項(xiàng)適合哪種方法？觀察分子與分母能否裂項(xiàng)？解(1)略

(2)第(2)問(wèn)中，觀察分子和分母的特點(diǎn)會(huì)發(fā)現(xiàn)(2n-1)(2n+1)=4n，

則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

2.4 數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想與方法

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)：“掌握數(shù)學(xué)就是要能善于解題.”通常，我們?cè)诮鉀Q一個(gè)問(wèn)題時(shí)，自然就會(huì)想到用相應(yīng)的常規(guī)思路與解題方法，但這并不能在面對(duì)所有問(wèn)題時(shí)，都會(huì)行之有效.學(xué)生只有在真正掌握了正確的解題方法，具有了一定的數(shù)學(xué)思想后，才能融會(huì)貫通，應(yīng)對(duì)自如.

高考數(shù)學(xué)非常注重對(duì)學(xué)生能力的考查，尤其是數(shù)學(xué)思想方法的考查.可以說(shuō)，“知識(shí)”是基礎(chǔ)、“方法”是手段、“思想”是深化.只有強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，進(jìn)而提升他們的數(shù)學(xué)能力.因此，在高三數(shù)學(xué)的整個(gè)復(fù)習(xí)過(guò)程中，教師要讓學(xué)生明白等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的關(guān)系以及等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，促使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)不斷優(yōu)化和完善、思維能力不斷發(fā)展與提升.

本題是典型的傳統(tǒng)數(shù)列知識(shí)向解析幾何綜合過(guò)渡，體現(xiàn)了由數(shù)到形、抽象思維到形象思維的轉(zhuǎn)化，突出考查了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、極限等數(shù)學(xué)思想方法，綜合考查了分析問(wèn)題、解決問(wèn)題和創(chuàng)新能力.

3 備考策略

3.1 研讀考綱，把握命題方向

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，包括等差數(shù)列與等比數(shù)列兩個(gè)特殊數(shù)列以及一般數(shù)列三個(gè)方面.高考試題主要有兩個(gè)類(lèi)型：數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，有時(shí)會(huì)與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)相聯(lián)系.近幾年全國(guó)卷對(duì)數(shù)列考查的難度有所降低.大題一般出現(xiàn)在解答題的第一題的位置，難度屬于中等，重點(diǎn)考查等差(比)數(shù)列的概念，基本性質(zhì)、通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法求數(shù)列和的問(wèn)題，對(duì)數(shù)的運(yùn)算的考查往往體現(xiàn)在有關(guān)數(shù)列中的基本量的運(yùn)算.所以在數(shù)列的二輪復(fù)習(xí)中，不要加大題目的難度，特別是遞推數(shù)列的有關(guān)試題，要突出基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的訓(xùn)練，以及數(shù)學(xué)思想方法的強(qiáng)化.教師應(yīng)始終以等差數(shù)列與等比數(shù)列的內(nèi)容為復(fù)習(xí)重點(diǎn)，突出數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和兩類(lèi)問(wèn)題，強(qiáng)化基本方法的訓(xùn)練，注重通性通法，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想在數(shù)列中的應(yīng)用，以此不斷提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

縱觀近五年全國(guó)卷(Ⅰ)和全國(guó)各省高考試題及《2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)考試大綱》與《2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)考試大綱》，2017年的數(shù)列仍然會(huì)圍繞等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本知識(shí)、基本公式和基本性質(zhì)，難度應(yīng)該不會(huì)太大，主要考查基本方法和基本技能的訓(xùn)練以及數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.

3.2 關(guān)注重點(diǎn)內(nèi)容，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)

(1)牢固基本量法

此類(lèi)問(wèn)題一般出現(xiàn)在選擇題與填空題中，主要涉及等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)及前n項(xiàng)和.教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握“a1,an,d(q),n,Sn”中知道三個(gè)量去求其余二個(gè)量的基本(方程)思想，這是解決等差數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題的通法.

(2)明了基本性質(zhì)

明了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，有助于理解數(shù)列特征、快捷解決一些關(guān)于這兩類(lèi)特殊數(shù)列的基本試題.

(3)關(guān)注通項(xiàng)與求和

通項(xiàng)與求和問(wèn)題是數(shù)列的兩大基本問(wèn)題，也是高考全國(guó)卷的高頻考題.通項(xiàng)的求解在全國(guó)卷中難度不大，對(duì)于絕大多數(shù)學(xué)生來(lái)講我們沒(méi)有必要過(guò)于拔高；求和的考查也不超過(guò)教材要求，但應(yīng)適當(dāng)加強(qiáng)訓(xùn)練，提高熟練程度和準(zhǔn)確性.

(4)滲透四種思想

每年的高考數(shù)學(xué)試題，無(wú)論是全國(guó)卷還是各省市試卷，都會(huì)涉及數(shù)學(xué)思想方法的考查.數(shù)列部分主要涉及四種數(shù)學(xué)思想：函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想.高考數(shù)學(xué)的二輪復(fù)習(xí)，我們應(yīng)將上述四種數(shù)學(xué)思想方法滲透到平時(shí)的強(qiáng)化訓(xùn)練中，不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)分析問(wèn)題、解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

3.3 關(guān)注知識(shí)的應(yīng)用

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：學(xué)生在掌握高中階段的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能外，還要不斷發(fā)展自身的空間想象能力、概括抽象能力、運(yùn)算求解與數(shù)據(jù)處理等基本能力；應(yīng)具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心以及應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，能逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，具有一定的鉆研精神和科學(xué)的態(tài)度.

縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷(Ⅰ)，都是以重要知識(shí)為載體，方法為依托，著力考查學(xué)生的邏輯思維能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)潛能.而應(yīng)用數(shù)列知識(shí)考查實(shí)際問(wèn)題的試題在高考中還沒(méi)有獨(dú)立出現(xiàn)，應(yīng)該值得我們關(guān)注.所以在高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)關(guān)注生活中的一些熱點(diǎn)問(wèn)題：如銀行儲(chǔ)蓄、個(gè)人貸款、人口增長(zhǎng)等等.解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是，通過(guò)分析題意，建立一個(gè)數(shù)列模型.同時(shí)在復(fù)習(xí)時(shí)，還要注重?cái)?shù)列知識(shí)的整合，留意數(shù)列與函數(shù)、不等式、平面向量、三角函數(shù)及解析幾何等知識(shí)的整合，關(guān)注教材中有關(guān)數(shù)列的閱讀與思考材料，以及探究與發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)材料，關(guān)注數(shù)學(xué)文化在高考中的滲透.

總之，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是后續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).高考試卷中，客觀題突出“小、巧、活”，主觀題呈現(xiàn)綜合性、新穎性、難度大的特點(diǎn).在數(shù)列的復(fù)習(xí)中，教師必須緊緊抓住“數(shù)列通項(xiàng)的求解、數(shù)列的求和問(wèn)題”兩條主線，在熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上，熟記與靈活地運(yùn)用相關(guān)的重要結(jié)論與性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想分析、解決問(wèn)題的能力，以適應(yīng)高考改革對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新要求.

1 蔣海甌.2016年高考專(zhuān)題復(fù)習(xí)創(chuàng)新與發(fā)展——難點(diǎn)突破[M].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2016(3):29-34

2 林京榕.2016年高考專(zhuān)題復(fù)習(xí)創(chuàng)新與發(fā)展——難點(diǎn)突破[M].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2016(3):35-40

3 李本祿.數(shù)列中的基本量與基本關(guān)系式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2017(1-2上旬):104-108

4 王永生.數(shù)列中的探究性問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2017(1-2上旬):108-109

5 熊如佐.數(shù)列的綜合問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2015(1-2上旬):123-128

6 黃嚴(yán)生.近五年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷的命題特點(diǎn)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2015(12上旬):44

2017-03-27)