四川省巴中市巴州區(qū)大和初中 (郵編：636031)

探究“a+kb型”線段和最小值問題

四川省巴中市巴州區(qū)大和初中李發(fā)勇(郵編：636031)

將軍飲馬問題是典型的兩條線段和最短問題，記為“a+b型”，常利用對稱進(jìn)行等量變換，將最短問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”原理的簡單應(yīng)用問題.但其一些變式問題，譬如“a+kb(常數(shù)k>0)型”線段和最小值問題，對學(xué)生具有很大挑戰(zhàn)性，如何突破學(xué)生思維障礙呢？通常需要進(jìn)行一種新的變換，通過構(gòu)造的方法轉(zhuǎn)化、化歸為簡單情形，從而有效地尋找解題突破口，使問題順利獲解.下面舉例探究如下：

1 構(gòu)造直角三角形變換

圖1

例1如圖1，在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=120°，點(diǎn)D是AB上的點(diǎn)，且BD=2AD，點(diǎn)E是AC上的動(dòng)點(diǎn).

(2)求3DE+CE的最小值.

圖2

解(1)如圖2，過C作CF∥AB，過A作AF⊥AB，CF與AF交于點(diǎn)F，從而AKCF是矩形.過E作EH⊥CF于點(diǎn)H，連接DE.過點(diǎn)D作DG⊥CF于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)E0，因?yàn)锳B=AC=4，∠ACB=120°，所以∠CAK=30°，從而∠ACF=30°.

由于CF∥AB，于是DG=CK=2.

故所求的最小值為2.

圖3

例2平面上有A(-4,-4)、B(4,2)兩點(diǎn).

(1)求直線AB的解析式；

(2)設(shè)直線AB和x軸所夾的銳角為α，求sinα的值；

(3)點(diǎn)C(1,3)是AB外一點(diǎn)，點(diǎn)D在AB上移動(dòng)，求3AD+5CD的最小值.

解(1)略；(2)略；

圖4

由于AE∥x軸，BE∥y軸.

由CF∥y軸，C(1,3)，得點(diǎn)F(1,-4)，所以CF=7.

思考1系數(shù)k可以為任意正實(shí)數(shù)嗎？答案是肯定的.

已知∠CAB，點(diǎn)A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，求kPA+PB的最小值.

圖5

⑴當(dāng)k≥1時(shí)，如圖5，在△PAB中，PA+PB>AB.則kPA+PB≥PA+PB≥AB，所以當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，kPA+PB的最小值為AB.

⑵當(dāng)k<1時(shí)，以AB為直徑作半圓，點(diǎn)D在半圓上，使sin∠CAD=k，因∠ADC=90°，所以kPA=PE.

圖6

圖7

①如圖6，當(dāng)∠BAD<90°時(shí)，過點(diǎn)B作BE⊥AD于E，

在△PBE中，PE+PB>BE，kPA+PB=PE+PB≥BE.BE與AC交于點(diǎn)P為所求點(diǎn).

②如圖7，當(dāng)∠BAD≥90°時(shí)，過點(diǎn)B作直線AD的垂線，交DA的延長線于點(diǎn)E，交CA的延長線于點(diǎn)P.在△PAB中，PA+PB>AB.所以kPA+PB=PE+PB=PB≥AB.

所以kPA+PB的最小值為AB，此時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合.

2 構(gòu)造相似三角形變換

圖8

例3如圖8，正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，P是⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PD、PC.

在Rt△CDE中，易得DE=5.

在Rt△PDE中，PD+PE>DE.

圖9

(2)如圖9，連結(jié)BD、PB，作∠BPE=∠PDB.

在△PCE中，PC+PE>CE.

圖10

例4如圖10，在△ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半徑為6，P是⊙A上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PB、PC.求2PB+3PC的最小值.分析注意到BP所在△ABP中，AP∶AB=2∶3，所以構(gòu)造△ABP的相似三角形.解如圖10，作∠APD=∠ABP交AB于點(diǎn)D，連結(jié)CD，易得△PAD∽△BAP.所以

在△BCD中，由余弦定理，得CD=7.

在△PCD中，PC+PD>CD.

圖11

在△CDE中，CD+DE≥CE.

于是，CD+2PD=CD+DE≥CE.

圖12

在△OPE中，由余弦定理，得

在△PDE中，PD+DE≥PE.所以6CD+5PD≥5PE.

思考2兩線段前面的系數(shù)可以任意取值嗎？當(dāng)然不是，關(guān)鍵是滿足兩線段的系數(shù)之比等于其中某線段所在三角形兩邊之比.

通過上述兩種新變換，將兩線段和中的不同系數(shù)轉(zhuǎn)化為相同系數(shù)，即“a+kb(常數(shù)k>0)型”化歸為“a+b型”常規(guī)問題，再進(jìn)行解答，有化難為易的功效.解決數(shù)學(xué)問題的方法很多，構(gòu)造法是其中的一種創(chuàng)新方法.其實(shí)質(zhì)就是通過觀察，分析問題的結(jié)構(gòu)特征和內(nèi)在規(guī)律，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，構(gòu)造一個(gè)與原命題密切相關(guān)的"數(shù)學(xué)模型"，實(shí)現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)化、化歸.通過構(gòu)造法的應(yīng)用可將抽象問題形象化，復(fù)雜問題簡單化，激發(fā)學(xué)生的解題熱情，增強(qiáng)解題信心，提高解題效率.

2017-03-30)