浙江省寧波市第四中學(xué) (郵編：315016)

剖析立體幾何中幾個(gè)常見(jiàn)模型的運(yùn)用

浙江省寧波市第四中學(xué)張延斌魏定波(郵編：315016)

教育部《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂組組長(zhǎng)、博士生導(dǎo)師王尚志教授在“關(guān)于普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂”的專題報(bào)告中，他提出中國(guó)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)好六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.相比之下，當(dāng)前無(wú)論是課程的編制、教學(xué)計(jì)劃的制訂，還是教學(xué)效果的評(píng)估，數(shù)學(xué)建模是最為薄弱的一項(xiàng).由此看來(lái)，如何提供一些基本內(nèi)容的實(shí)際背景，反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，開(kāi)展“數(shù)學(xué)建?！盎顒?dòng)，將成為我們數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要方法和手段.下面就立體幾何中幾個(gè)常見(jiàn)模型運(yùn)用給以舉例說(shuō)明.

1長(zhǎng)方體模型例1 (2016年北京市高考數(shù)學(xué)試卷第6題)某三棱錐的三視圖如圖1-1所示，則該三棱錐的體積為( )

圖1-1

圖1-2

圖2

例2 (2010年河北省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)在四面體ABCD中，三組對(duì)棱分別相等，依次為了5、4、x，則x的取值范圍為( )

圖3

圖4-1

圖4-2

圖5

例5 (第十一屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高一試題)已知四面體ABCD中，AB2+CD2=BC2+AD2，則異面直線AC、BD所成角的度數(shù)是( )

A.90° B.60° C.45° D.30°

圖6

例6 (2008年遼寧省高考試題改編)如果空間三條直線a、b、c兩兩成異面直線，那么與a、b、c都相交的直線有( )

A.不存在B.有且只有兩條

C.有且只有三條D.有無(wú)數(shù)條

解析在a、b、c上取三條線段AB、B1C1、DD1，作一個(gè)平行六面體ABCD-A1B1C1D1，如圖6所示在c上，即在直線DD1上取一點(diǎn)P，過(guò)a、P作一個(gè)平面β,平面β與A1D1交于Q、與C1D1交于R，則由面面平行的性質(zhì)定理，得QR∥a，于是PR不與a平行，但PR與a共面．故PR與a相交，得直線PR是與a、b、c都相交的一條直線，根據(jù)點(diǎn)P的任意性，得與a、b、c都相交的直線有無(wú)窮多條．故選D.

圖7-1

圖7-2

評(píng)注由空間向量建立的平行六面體，與四面體具有密切的“母子相依”關(guān)系，涉及四面體的問(wèn)題(如異面直線的夾角、三棱椎的體積等)，可把四面體放置到平行六面體中，以擴(kuò)大解題活動(dòng)的空間，構(gòu)造恰到好處的參照物，從而妙解相關(guān)問(wèn)題.3圓錐模型

圖8-1

圖8-2

例8 (2014年1月浙江省學(xué)業(yè)水平考試第25題)如圖8-1，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜邊AB的中點(diǎn)，將△BCD沿直線CD翻折，若在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得CB⊥AD，則x的取值范圍是( )

圖9-1

圖9-2

例9 (2015浙江高考理科第8題)如圖9-1，已知△ABC，D是AB的中點(diǎn)，沿直線CD將△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則( )

A. ∠A′DB≤α

B. ∠A′DB≥α

C. ∠A′CB≤α

D. ∠A′CB≥α

評(píng)注翻折問(wèn)題是立體幾何中一類常見(jiàn)的動(dòng)態(tài)問(wèn)題.通過(guò)對(duì)比翻折前后的平面圖形和空間圖形，找到了我們熟悉的旋轉(zhuǎn)體模型——圓錐，這不僅讓空間中的點(diǎn)、線、面在一個(gè)具體的空間幾何體中找到了落腳處，讓問(wèn)題變得更清晰，有助于我們從宏觀的角度來(lái)把握問(wèn)題，也讓動(dòng)態(tài)問(wèn)題變得更具趣味性.

征稿啟事

2017年高考、中考已經(jīng)結(jié)束啦，可是對(duì)中、高考試卷或試題的研究才剛剛開(kāi)始.我刊將在第四期、第五期集中優(yōu)先刊發(fā)試題研究方面的優(yōu)秀論文，歡迎廣大讀者、作者踴躍投稿.試題研究方面的文章，可以一題一議、多題一議乃至全卷評(píng)析，但切忌僅僅給出所謂的新解、別解或簡(jiǎn)解，變成了解法的羅列，而且應(yīng)有試題背景分析，思路與解法的生成過(guò)程，以及對(duì)教學(xué)的啟示.親愛(ài)的讀者、作者，我們歡迎您在第一時(shí)間投稿，我們也將會(huì)在第一時(shí)間刊登您的優(yōu)秀論文，但不要一稿多投.

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《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》編輯部

2017-04-12)