●周 燕 (蕭山區(qū)第二高級(jí)中學(xué)，浙江 杭州 311251)

●朱 哲 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院，浙江 金華 321004)

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讓理性的數(shù)學(xué)課堂開(kāi)出感性之花*
——淺談數(shù)學(xué)文化在函數(shù)概念教學(xué)中的應(yīng)用

●周 燕 (蕭山區(qū)第二高級(jí)中學(xué)，浙江 杭州 311251)

●朱 哲 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院，浙江 金華 321004)

高中數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)亮點(diǎn)在于強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的重要性．在課堂上科學(xué)合理地滲透數(shù)學(xué)文化，能幫助教師更好地突破教學(xué)難點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣．以函數(shù)概念的教學(xué)為例，教師可以從實(shí)例的引入和符號(hào)的解釋入手，將數(shù)學(xué)文化融入課堂、輔助教學(xué)；同時(shí)可以借助函數(shù)概念的演變過(guò)程，將數(shù)學(xué)史穿插于教學(xué)之中，幫助學(xué)生走出函數(shù)概念的認(rèn)知誤區(qū)．

數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)文化;函數(shù)概念;數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)在大部分教師眼里，等同于解題技巧的傳授、運(yùn)算能力的培養(yǎng)和邏輯思維的訓(xùn)練．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中過(guò)度的形式化和抽象性，使學(xué)生感到枯燥乏味．但其實(shí)數(shù)學(xué)也具有社會(huì)性，也和文化相通．歷史上的許多文化名人，往往本身就是數(shù)學(xué)家，如達(dá)芬奇和柏拉圖．事實(shí)上，對(duì)現(xiàn)代教師而言，數(shù)學(xué)教育不光要進(jìn)行知識(shí)的傳播，還要注重文化的熏陶，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中感受到數(shù)學(xué)科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值的統(tǒng)一．

德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因曾把函數(shù)比作數(shù)學(xué)的靈魂[1]，它在高中數(shù)學(xué)課程中占有重要的地位．但是函數(shù)的概念因其表述抽象、符號(hào)繁多，往往使學(xué)生望而生畏，從而難以入門．其實(shí)，函數(shù)的發(fā)展過(guò)程蘊(yùn)含著豐富的實(shí)際背景和文化內(nèi)涵，筆者認(rèn)為：若能將其服務(wù)于課堂，則必能使教學(xué)達(dá)到事半功倍的效果．

以下是筆者關(guān)于如何將數(shù)學(xué)文化融入函數(shù)概念課的一些做法和構(gòu)想，以期在完成教學(xué)任務(wù)的同時(shí)獲得更好的教學(xué)效果．

1 從豐富的實(shí)際背景中引入函數(shù)的概念

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)(必修)·數(shù)學(xué)1(A版)》分別從炮彈高度、臭氧層空洞面積和恩格爾系數(shù)這3個(gè)實(shí)例引入，建構(gòu)概念．這不僅能讓學(xué)生們體會(huì)到函數(shù)在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，也能幫助他們突破對(duì)函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系認(rèn)識(shí)的局限性．教材上的實(shí)例雖具有科學(xué)性和典型性，但筆者認(rèn)為它們?nèi)鄙贂r(shí)效性和趣味性．這里，筆者以發(fā)射天宮二號(hào)運(yùn)載火箭為背景，提供引入函數(shù)和建構(gòu)概念的4個(gè)例子．

例1 2016年中秋節(jié)9月15日22時(shí)04分，搭載天宮二號(hào)空間實(shí)驗(yàn)室的長(zhǎng)征二號(hào)運(yùn)載火箭在中國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射．下面，請(qǐng)同學(xué)們就發(fā)射過(guò)程探討以下4個(gè)問(wèn)題．

1)火箭在進(jìn)入正常軌道后，運(yùn)動(dòng)軌跡可近似地看成和地球共圓心的圓，那么請(qǐng)問(wèn)此時(shí)天宮二號(hào)距離地面的高度h與時(shí)間t之間的關(guān)系是否為函數(shù)關(guān)系？

2)火箭發(fā)射時(shí)大致可看成是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，那么它的速度v與發(fā)射時(shí)間t之間的關(guān)系(可以解出表達(dá)式)是否為函數(shù)關(guān)系？

3)發(fā)射過(guò)程中，火箭外的大氣壓P隨高度h的變化而變化(可給出大致曲線),請(qǐng)問(wèn)P是否為關(guān)于h的函數(shù)？

4)發(fā)射天數(shù)t和燃料剩余情況y之間的關(guān)系(給出表格)是否為函數(shù)關(guān)系？

在一個(gè)大前提下完成概念的引入和建構(gòu)的過(guò)程，可以使課堂顯得更加連續(xù)和完整，同時(shí)也能節(jié)約學(xué)生上課閱讀題干的時(shí)間，提高課堂的效率．另外,后面3個(gè)問(wèn)題的研究正好涵蓋了用解析式、圖像和表格來(lái)反映對(duì)應(yīng)關(guān)系的3種情況，可謂和教材的例題異曲同工，但卻更加新穎有趣、與時(shí)俱進(jìn)．

2 從形象的比喻中理解符號(hào)的作用

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)教師教學(xué)用書(shū)(必修)·數(shù)學(xué)1(A版)》中指出:本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)在于函數(shù)概念及符號(hào)的理解．但教材中沒(méi)有提及為何要引入符號(hào)f.許多教師在解釋y=f(x)時(shí)也只是強(qiáng)調(diào)“f(x)是一個(gè)函數(shù)符號(hào)，表示y是x的函數(shù)”，這樣的效果往往不能讓人滿意．函數(shù)概念的歷史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，各種符號(hào)的出現(xiàn)也有其根源，若在課堂上穿插“f”的故事，生動(dòng)形象地解釋“y=f(x)”的含義，不失時(shí)機(jī)地向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)文化的價(jià)值，不僅能使他們更好地理解抽象的概念，更能培養(yǎng)他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣．

國(guó)外的教材稱函數(shù)為function，它是德國(guó)哲學(xué)家萊布尼茨于1673年最早引進(jìn)的,因此書(shū)上常用f來(lái)表示函數(shù)中的對(duì)應(yīng)法則．在我國(guó)，清代數(shù)學(xué)家李善蘭首次把英文“function”翻譯成“函數(shù)”．“函”即“匣”，盒子的意思．因此符號(hào)f可以看成是一個(gè)盒子，它的作用就是把放x進(jìn)去之后經(jīng)過(guò)一系列變換變成唯一確定的y值[2]．例如f(x)=2x+3，就是把x放進(jìn)這個(gè)f的盒子后，它先乘以了2再加上了3得到一個(gè)新的數(shù)y．這個(gè)盒子就可以理解為函數(shù)概念的對(duì)應(yīng)法則．在提出把f看成盒子之后，教師可以用“函數(shù)機(jī)器”的比喻來(lái)形容函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系[2]：即將f看成一個(gè)機(jī)器，例如解釋f(x)=2x+3時(shí)，可以給出如下圖1：

圖1

用生動(dòng)的比喻和直觀的圖形解釋f的作用，可使對(duì)應(yīng)關(guān)系形象化．另外函數(shù)機(jī)器的用法在后續(xù)學(xué)習(xí)求抽象函數(shù)定義域和求復(fù)合函數(shù)解析式時(shí)也有用武之地．

例2 已知f(x)=x4，g(x)=2x+3，求f(g(x))的解析式．

圖2

如圖2所示，課堂上可向?qū)W生解釋復(fù)合函數(shù)實(shí)際上是x經(jīng)過(guò)了兩臺(tái)機(jī)器的先后作用：先由內(nèi)機(jī)器g將x變成2x+3，再將2x+3作為整體經(jīng)過(guò)外機(jī)器f的加工，變成(2x+3)4．

例3 已知f(x+1)的定義域?yàn)閇1,2]，求函數(shù)f(3-x)的定義域．

抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題一直來(lái)都困擾著學(xué)生，教師在講解這部分內(nèi)容時(shí)可以借助上述比喻，幫助學(xué)生更好地理解其做法．如圖3所示，即對(duì)于同一臺(tái)函數(shù)機(jī)器f而言，放進(jìn)去的“產(chǎn)品”，即括號(hào)中的整體，其規(guī)格和型號(hào)都必須相同．

圖3

引入函數(shù)機(jī)器的比喻，將對(duì)應(yīng)關(guān)系形象化、具體化，不僅可以有效減少概念的抽象性給學(xué)生的理解帶來(lái)的困難，而且能幫助學(xué)生更好地吃透函數(shù)概念中所蘊(yùn)含的本質(zhì)和精髓．

3 從函數(shù)的發(fā)展史中深化函數(shù)本質(zhì)的理解

在教學(xué)中，教師往往會(huì)通過(guò)練習(xí)的形式或注意事項(xiàng)的提醒，來(lái)清除學(xué)生認(rèn)知上的盲區(qū)．那么能否換個(gè)方式，讓學(xué)生在課堂上循著數(shù)學(xué)家們的腳步去尋找概念產(chǎn)生的歷史蹤跡；讓他們看一看困擾著他們的問(wèn)題在歷史上是否也一樣困擾過(guò)科學(xué)家們；讓他們感受一下先人們是如何通過(guò)解決這些問(wèn)題來(lái)推動(dòng)函數(shù)概念的發(fā)展的．在具體教學(xué)中，教師可以按照以下流程，分4個(gè)階段介紹函數(shù)的發(fā)展史．

1)函數(shù)的萌芽.

法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何學(xué)》中提出了變量的思想，同時(shí)引入兩個(gè)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)概念．而科學(xué)家們?cè)谔剿靼l(fā)現(xiàn)世界的過(guò)程中，特別是研究物體運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，不斷遇到各種需要能準(zhǔn)確表示兩個(gè)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)概念．

課堂上通過(guò)介紹函數(shù)的萌芽，讓學(xué)生感受到函數(shù)概念的產(chǎn)生并非是憑空的，而是社會(huì)和科學(xué)發(fā)展的結(jié)果．而數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)源往往是樸素的，依賴于人們的直觀，這種質(zhì)樸的數(shù)學(xué)思想，正是一種文化現(xiàn)象[3]．

2)函數(shù)是解析式.

1748年，歐拉在出版的《無(wú)窮分析引論》中明確指出：函數(shù)是由一個(gè)變量與一些常量以任何方式形成的解析表達(dá)式[4]．他認(rèn)為一個(gè)函數(shù)就是一個(gè)解析式，一個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)一條連續(xù)的曲線[5]．

事實(shí)上，學(xué)生在初中時(shí)期所學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，都是典型的具有一個(gè)解析表達(dá)式的函數(shù)，都是那個(gè)時(shí)代的產(chǎn)物．讓學(xué)生了解自己對(duì)函數(shù)認(rèn)識(shí)的局限性，才能讓他們擁有重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念的動(dòng)力．

3)函數(shù)是對(duì)應(yīng).

18世紀(jì)后半葉，歐拉和拉格朗日允許函數(shù)在不同區(qū)域上有不同的表達(dá)式，這與18世紀(jì)數(shù)學(xué)家們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解相沖突，比如函數(shù)

和

就不滿足“一個(gè)函數(shù)就是一個(gè)解析式”的觀點(diǎn)．但是隨著概念的擴(kuò)充，這類函數(shù)也漸漸被納入了函數(shù)的大家庭之中．隨后，狄利克雷提出著名的函數(shù)

“一個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)一條連續(xù)的曲線”的觀點(diǎn)也不攻自破了．1837年狄利克雷給函數(shù)下了一個(gè)定義：如果對(duì)于給定區(qū)間上的每一個(gè)x值都有唯一的y值同它對(duì)應(yīng)，那么y就是x的一個(gè)函數(shù)，至于在整個(gè)區(qū)間上y是否按照一種規(guī)律依賴于x，或者y依賴于x是否可以用數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)表達(dá)，那都是無(wú)關(guān)緊要的[6]．

在課堂練習(xí)“利用定義判斷函數(shù)”時(shí)，就可以引入上述兩個(gè)經(jīng)典的函數(shù)．同時(shí)，教師可以通過(guò)講解這一階段歷史，讓學(xué)生走出“函數(shù)即是解析式”和“函數(shù)即是圖像”的誤區(qū)，深刻體會(huì)初、高中階段函數(shù)概念的區(qū)別．

4)函數(shù)是關(guān)系.

上述函數(shù)的概念雖然擺脫了解析式和圖像的制約，但是其中“依賴”“對(duì)應(yīng)”等術(shù)語(yǔ)依然沒(méi)有明確的界定和解釋．而數(shù)學(xué)嚴(yán)格化的進(jìn)程，要求函數(shù)的概念建立在已經(jīng)定義的概念的基礎(chǔ)之上[6]．另一方面，19世紀(jì)末德國(guó)著名數(shù)學(xué)家康托的集合論的誕生以及映射概念的引入，為最終函數(shù)概念的完善奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

而這個(gè)定義就是今天教材上所給出的，它使得函數(shù)概念得到了空前嚴(yán)格的程度．函數(shù)概念的演變過(guò)程，是由人們對(duì)運(yùn)動(dòng)與變化的研究、對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)而推動(dòng)的，經(jīng)歷了不斷的爭(zhēng)論和完善，是許許多多數(shù)學(xué)家們智慧的結(jié)晶．

在實(shí)際教學(xué)中，有一部分教師認(rèn)為在課堂上滲透數(shù)學(xué)文化，穿插數(shù)學(xué)史，會(huì)擠壓學(xué)生練習(xí)的時(shí)間，從而影響教學(xué)成績(jī)，這其實(shí)是片面的．在函數(shù)概念的課堂上，若能讓學(xué)生看一看它的內(nèi)涵不斷被精煉、深化、豐富的過(guò)程，是一件十分有意義的事情，它既培養(yǎng)了學(xué)生的理性思維能力，又使學(xué)生接受了人文精神的熏陶．

4 結(jié)語(yǔ)

以上是筆者對(duì)于數(shù)學(xué)文化融入函數(shù)概念教學(xué)的一點(diǎn)想法和做法，具體在教學(xué)中操作的流程如圖4所示：

圖4

課堂上數(shù)學(xué)文化的滲透是為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中形成“樂(lè)學(xué)”的態(tài)度．當(dāng)數(shù)學(xué)文化真正豐富了課堂，融入了教學(xué)，學(xué)生心目中高冷的數(shù)學(xué)才會(huì)更“接地氣”，數(shù)學(xué)就會(huì)通過(guò)文化的層面進(jìn)一步被學(xué)生所理解和熱愛(ài)．當(dāng)然，這對(duì)我們眾多教育者而言，任重而道遠(yuǎn)．

[1] 梁宗臣，王青建，孫宏安.世界數(shù)學(xué)通史[M].沈陽(yáng)：遼寧教育出版社，1999.

[2] 倪露蘋.函數(shù)概念難點(diǎn)研究及教學(xué)設(shè)計(jì)研究[D].上海：華東師范大學(xué)，2015.

[3] 黃孝長(zhǎng).高中數(shù)學(xué)新教材中的數(shù)學(xué)文化[D].金華：浙江師范大學(xué)，2008.

[4] 克萊因.古今數(shù)學(xué)思想(第二冊(cè))[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1979.

[5]StruikDE.ASourceBookinMathematics1200-1800[M].Cambridge,Massachusetts:HarvardUniversityPress,1969.

[6] 賈隨軍.函數(shù)概念的演變及其對(duì)高中函數(shù)教學(xué)的啟示[J].課程·教材·教法,2008，28(7)：49-52.

?2017-04-18；

2017-05-21

周 燕(1987-)，女，浙江寧波人，中學(xué)一級(jí)教師．研究方向：數(shù)學(xué)教育．

O122.1

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1003-6407(2017)08-07-03