●沈 良

(蕭山區(qū)第五高級中學(xué),浙江 杭州 311202)

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遮談數(shù)學(xué)教學(xué)中的概念引入*

●沈 良

(蕭山區(qū)第五高級中學(xué),浙江 杭州 311202)

在概念引入中，問題情境的科學(xué)性是前提，教學(xué)要關(guān)注情境嚴(yán)謹(jǐn)性；問題探究是主線，將學(xué)生置于問題情境中，引導(dǎo)學(xué)生主動探索與建構(gòu)概念；融入數(shù)學(xué)思想是核心，數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程也是數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)生過程；滲透數(shù)學(xué)文化是更高追求，融入數(shù)學(xué)文化有利于培養(yǎng)學(xué)生的高尚情操，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).這4個方面也是貫穿于我們數(shù)學(xué)教學(xué)的4個重要方面.

概念引入;科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn);問題探究;數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)概念引入，是開展概念學(xué)習(xí)的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，是概念教學(xué)的前奏，是概念教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié).數(shù)學(xué)概念引入，旨在為學(xué)生創(chuàng)設(shè)概念學(xué)習(xí)的良好環(huán)境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生探索問題情境，從而進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析、比較、綜合、抽象出概念的本質(zhì)屬性.從這15節(jié)課的概念引入來看，有些教師的概念引入非常精彩，問題情境引人入勝，數(shù)學(xué)思想貫穿主線，數(shù)學(xué)文化融入其中，能有效抓住知識本質(zhì)，但也有一些教師在概念引入中存在一些問題，如所給情境的科學(xué)性等.因此，為了更好地開展概念教學(xué)，筆者就概念教學(xué)的引入作一些探討與交流.

1 科學(xué)為前提

對于概念引入，教師往往會采取情境引入的方式提出問題.當(dāng)然，情境引入的首要前提是問題情境的科學(xué)性.數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特點.數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)要求數(shù)學(xué)表達(dá)必須準(zhǔn)確、簡潔，要求對問題的推理論證必須嚴(yán)格、周密.教學(xué)中，我們需時時刻刻將數(shù)學(xué)的這種嚴(yán)謹(jǐn)傳達(dá)給學(xué)生，而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那疤岜厝皇强茖W(xué).

在這15節(jié)課中，有些教師為提出問題積極創(chuàng)設(shè)情景，其出發(fā)點是好的，但科學(xué)性有時卻存在問題.如在“等比數(shù)列的前n項和”一課中，有教師設(shè)計了這樣一個情境:假如我們班級的一名同學(xué)，第一周記了1個公式，第二周記了2個公式，第3周記了4個公式，依此下去，每一周記的公式都是前一周的2倍，那么一直到第18周該同學(xué)總共記了多少公式？通過引入，學(xué)生不難得出要求的等比數(shù)列前18項和：S18=1+2+22+…+217，從而提出所要學(xué)習(xí)的課題.該引入的優(yōu)點是背景簡單明了，學(xué)生容易聯(lián)想到要解決的問題，但仔細(xì)分析該問題的內(nèi)涵時，即可發(fā)現(xiàn)該引入存在科學(xué)性問題：第一周記1個公式，第二周記2個公式，到第18周時記了217個，而217=131 072是一個非常龐大的數(shù)字，高中數(shù)學(xué)階段不可能有那么多公式，學(xué)生也不可能記住那么多公式，而且數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式不是以記憶為準(zhǔn)則而是以理解為基礎(chǔ).因此，該引入缺失科學(xué)性，與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、理性及人文背道而馳.

再比如，在“一元二次不等式及其解法”一課的引入中，一位教師從一元一次不等式“2x-7>0”開始引入，從一元一次不等式發(fā)展為一元二次不等式，這是非常好的，符合學(xué)生的認(rèn)知特點，但其中解決的方法還是引起了筆者思考.該教師拋出問題“2x-7>0”后，直接引導(dǎo)學(xué)生畫出y=2x-7的圖像，然后通過圖像觀察不等式的解，并利用數(shù)形結(jié)合的思想解一元二次不等式“x2-x-6>0”.這里是否真需要用數(shù)形結(jié)合的方法解不等式“2x-7>0”呢？筆者認(rèn)為：一元一次不等式在學(xué)生的認(rèn)知狀態(tài)里是直接移項求的，是不需要也不會去借助圖像解一元一次不等式的，這樣的引入是沒必要的，倒不如直接讓學(xué)生探究不等式“x2-x-6>0”的解，因為學(xué)生對拋物線有良好的認(rèn)知基礎(chǔ)，利用二次函數(shù)圖像解一元二次不等式也不是一個難題，同時直面問題更有利于激活學(xué)生思維，讓學(xué)生能更好地理解數(shù)形結(jié)合思想，更好地理解函數(shù)、方程與不等式之間的轉(zhuǎn)化.

因此，在概念引入中，教師要對問題情境多一點思考，思考其科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性、自然性，思考其對數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的意義，思考其對學(xué)生思維發(fā)展的作用等，其中“科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)”是我們首先要考慮的.

2 問題為導(dǎo)向

數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)往往從問題開始，問題是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動的邏輯起點.提出問題后，解決問題成為探索活動的主題，可以說提出問題和解決問題是數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)活動的主要形式.美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出：定理、證明、概念、定義、理論、公式、方法中的任何一個都不是數(shù)學(xué)的心臟，只有問題是數(shù)學(xué)的心臟.問題是數(shù)學(xué)活動的心臟，問題解決是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，問題驅(qū)動思維，思維促進(jìn)素養(yǎng)提升.

概念引入以問題為導(dǎo)向，通過創(chuàng)設(shè)一系列邏輯連貫的問題，激勵學(xué)生主動探究，在質(zhì)疑探索中習(xí)得概念.首先，需要把形式化的數(shù)學(xué)材料轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)材料，轉(zhuǎn)化為蘊含概念本質(zhì)、適合學(xué)生探究、符合學(xué)生認(rèn)知的問題，通過自主探究，把學(xué)生引向概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)；其次，把知識的發(fā)生發(fā)展過程轉(zhuǎn)化為一系列的問題探究過程，真正使有關(guān)材料成為學(xué)生的思考對象，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，點燃學(xué)生思維.

如在“一元二次不等式及其解法”的教學(xué)引入中，一位教師就設(shè)計了一個汽車相撞問題：在一個限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，甲、乙均及時剎車，但還是碰撞了.現(xiàn)場勘查測得甲車的剎車距離不超過12m,乙車的剎車距離略超過10m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離S (m)與車速x (km/h)之間分別有如下關(guān)系：S甲=0.01x2+0.1x,S乙=0.005x2+0.05x，問誰負(fù)主要責(zé)任？通過問題情境設(shè)計，積極引發(fā)學(xué)生思考，在學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)上提出所要學(xué)習(xí)的課題.在學(xué)生學(xué)習(xí)一元二次不等式解法之后，又回到該問題，讓學(xué)生解決該不等式，提出問題、探究問題、解決問題成為課堂學(xué)習(xí)的主線.

概念引入，將學(xué)生置于問題情境中，有利于充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、好奇心和表現(xiàn)欲；有利于引導(dǎo)學(xué)生積極主動探索問題，培養(yǎng)探究和創(chuàng)新能力；有利于將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程成為學(xué)生對知識的再發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造過程.特別是數(shù)學(xué)問題探究有利于推進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動的發(fā)展，并為思維指明方向，數(shù)學(xué)思維的過程就是不斷提出、分析和解決問題的過程.

3 思想為核心

數(shù)學(xué)思想方法是基于數(shù)學(xué)知識與方法的一種隱性的數(shù)學(xué)知識，源于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識及常用的數(shù)學(xué)方法，是數(shù)學(xué)知識在更高層次的抽象和概括，是適用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的通法，它為分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題提供了解題方向、解題方法與策略，是數(shù)學(xué)的核心與靈魂.日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏認(rèn)為：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)創(chuàng)造與發(fā)展的源泉，是數(shù)學(xué)教育目的的集中表現(xiàn)，數(shù)學(xué)的知識可以記憶一時，但數(shù)學(xué)的精神、思想與方法卻永遠(yuǎn)發(fā)揮作用，使人終身受益.在高中數(shù)學(xué)教材中，很多概念都是知識與思想方法的有機(jī)結(jié)合，數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程也就是數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)生過程.

基本不等式蘊含于幾何，我們可以通過幾何觀察，得到代數(shù)結(jié)論，具體可按以下6個教學(xué)過程推進(jìn)：

圖1

1)賞析趙爽“弦圖”的對稱美與和諧美(如圖1所示)，同時引導(dǎo)學(xué)生分析趙爽“弦圖”的構(gòu)成：4個全等的直角三角形與小正方形構(gòu)成了一個大正方形；

2)引導(dǎo)學(xué)生回顧利用趙爽“弦圖”證明勾股定理，利用面積關(guān)系S正方形ABCD=S正方形EFGH+4S△AEB，得到

c2=(a-b)2+2ab，

而

(a-b)2+2ab=a2+b2，

故

c2=a2+b2；

3)由面積的相等關(guān)系證得勾股定理思路，引導(dǎo)學(xué)生通過面積不等關(guān)系猜想重要不等式，在教學(xué)中大多數(shù)學(xué)生能觀察到大正方形面積大于等于4個直角三角形面積之和，從而得到a2+b2≥2ab；

4)對于a2+b2≥2ab中等號成立問題，可結(jié)合幾何畫板動態(tài)演示，加強直觀認(rèn)識，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時等號成立；

5)探究不等式“a2+b2≥2ab”的代數(shù)證明，既可用作差法證明

a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，

也可用放縮法證明

a2+b2=(a-b)2+2ab≥2ab，

特別是放縮法建立了“相等”與“不等”的橋梁，代數(shù)運算蘊含幾何意義；

6)由“a2+b2≥2ab”猜想“當(dāng)a>0,b>0時，a+b≥______”，學(xué)生運用替代思想，得到

雖然基本不等式的建構(gòu)走過了比較曲折的道路，但這個過程中融入了數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.教學(xué)中，我們要充分挖掘概念、定理、公式等形成過程中蘊含的思想方法，滲透數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力.

4 文化為目標(biāo)

數(shù)學(xué)發(fā)展源遠(yuǎn)流長，可以說人類文明的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)，而“數(shù)學(xué)是一種文化”的觀念也早已深入人心.隨著社會的不斷發(fā)展，人們對數(shù)學(xué)教育的理解也在不斷改變，數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)育人中的重要性也在不斷得到提升，人們對數(shù)學(xué)文化的作用表現(xiàn)出了其前所未有的重視.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》指出：數(shù)學(xué)文化是人類文化的重要組成部分，是人類進(jìn)步的產(chǎn)物，也是推動社會發(fā)展的動力，數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教學(xué)是緊密聯(lián)系的.

數(shù)學(xué)概念引入中，融入數(shù)學(xué)文化不僅包含融入數(shù)學(xué)故事和名人勵志故事等，更包含通過數(shù)學(xué)文化啟迪學(xué)生智慧，以古人之智慧啟迪今人之智慧，實現(xiàn)思維的碰撞與迸發(fā).融入數(shù)學(xué)文化，以數(shù)學(xué)史為素材巧妙構(gòu)造利用，有利于揭示知識的來龍去脈與發(fā)展淵源，有利于引導(dǎo)學(xué)生正確體會古人思想，激發(fā)思維碰撞，有利于引導(dǎo)學(xué)生感悟古人精神，特別是對數(shù)學(xué)家的意志與創(chuàng)新精神的感悟.

圖2

數(shù)學(xué)文化是學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)問題的重要輔助工具，它可以激發(fā)學(xué)生興趣、開闊學(xué)生眼界.首先，通過數(shù)學(xué)文化學(xué)習(xí)，學(xué)生對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)概念有一個更宏觀的了解，從而促進(jìn)其數(shù)學(xué)整體意識的培養(yǎng)；其次，現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究方向越來越精細(xì)、分支越來越多，學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時，往往有“一葉障目”的感覺，通過數(shù)學(xué)文化學(xué)習(xí)，能夠?qū)?shù)學(xué)進(jìn)行再認(rèn)識；最后，數(shù)學(xué)文化與其他學(xué)科存在著緊密聯(lián)系，例如數(shù)學(xué)與其他科學(xué)技術(shù)的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與人類思想的革新的關(guān)系等，都有利于開拓學(xué)生的視野.

5 結(jié)束語

筆者通過15節(jié)課的觀摩與思考，探討了“數(shù)學(xué)概念引入”的4個方面.在概念引入中，問題情境的科學(xué)性是前提，在教學(xué)中要多思考問題情境的內(nèi)涵，多考慮情境的科學(xué)性，多關(guān)注知識本質(zhì)；問題探究是主線，問題是啟發(fā)學(xué)生思維的良好載體，是教師對教材重新組織與加工的有力法寶；融入數(shù)學(xué)思想是核心，一定程度上，整個數(shù)學(xué)科學(xué)就是建立在這些思想基礎(chǔ)上并按照這些思想發(fā)展起來的；滲透數(shù)學(xué)文化是更高追求，數(shù)學(xué)文化有利于培養(yǎng)學(xué)生的高尚情操，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而為學(xué)生一生的可持續(xù)發(fā)展奠定堅實基礎(chǔ).當(dāng)然，更深層次看“科學(xué)、問題、思想、文化”這4個維度，她們不僅是概念引入的4個重要方面，也是滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)的4個重要方面，需要我們每位教師思考與踐行.

?2017-04-25；

2017-05-27

沈 良(1982-)，男，浙江杭州人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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1003-6407(2017)08-03-04