王曜宇, 胡育佳

(上海理工大學(xué) 機械工程學(xué)院,上海 200093)

滾珠絲杠等效剛度解析表達(dá)研究

王曜宇, 胡育佳

(上海理工大學(xué) 機械工程學(xué)院,上海 200093)

為了得到精準(zhǔn)的滾珠絲杠等效抗拉及抗扭剛度的計算公式,對一種絲杠剛度的計算方法進(jìn)行了研究.通過理論推導(dǎo)、數(shù)值仿真和基于修正的二維對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)擬合得到了考慮不同參數(shù)的滾珠絲杠的抗彎和抗拉剛度的解析表達(dá)式.對比公式計算結(jié)果和有限元仿真結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)本文的剛度表達(dá)公式具有更強的通用性和計算精度.

滾珠絲杠; 剛度; 對數(shù)正態(tài)分布

滾珠絲杠是將回轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)化成直線運動的產(chǎn)品,它具有低摩擦、高精度及運動可逆性等優(yōu)點,在工業(yè)設(shè)備和精密儀器傳動中被廣泛使用.在絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的研究中,絲杠的抗拉剛度和抗扭剛度是重要的參數(shù),直接影響到進(jìn)給系統(tǒng)的定位精度以及靜、動力學(xué)性能.然而,關(guān)于絲杠剛度的計算方法,國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 17587.4—2008[1]以及一些已發(fā)表的研究結(jié)果仍舊存在不足.在國標(biāo)GB/T 17587.4—2008中,抗拉剛度計算時只考慮絲杠溝槽與滾珠接觸點的半徑,忽略了溝槽深度及接觸半徑外側(cè)材料對剛度的影響.Jarosch[2]將絲杠簡化成直徑與絲杠外徑相同的圓柱體,并未考慮到溝槽對剛度的削弱作用.李東君[3]設(shè)計了絲杠抗拉剛度的實驗方案,并在理論分析的基礎(chǔ)上,將理論計算與實驗進(jìn)行了比對[4].徐鳳翔[5]對抗拉剛度進(jìn)行了理論分析及實驗方案設(shè)計,搭建了抗拉剛度測試平臺.Messager等[6]通過均質(zhì)化理論分析了螺旋狀物體的剛度.Dadalau等[7]研究了絲杠剛度與導(dǎo)程之間的聯(lián)系,但未將溝槽和絲杠內(nèi)徑、外徑對剛度的影響加入討論范圍.

本文建立的滾珠絲剛度通用的解析表達(dá)式,綜合考慮滾珠絲杠外徑、內(nèi)徑、溝槽直徑、導(dǎo)程等的影響.首先在極坐標(biāo)系下推導(dǎo)了等截面(截面形狀為滾珠絲杠橫截面)梁剛度的解析表達(dá)式.通過引入尺寸效應(yīng)系數(shù)、修正的二維對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)和大量的有限元仿真計算結(jié)果,并考慮極限條件的影響,最終擬合得到了考慮不同參數(shù)的滾珠絲杠的抗彎和抗拉剛度的解析表達(dá).對比公式計算結(jié)果和有限元仿真結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn),本文的剛度表達(dá)公式具有較高的計算精度,相比已有方法更具通用性.

1 滾珠絲杠的幾何特征及模型建立

滾珠絲杠的幾何形狀主要由以下幾個參數(shù)決定:外徑d1、內(nèi)徑d2、溝槽直徑dg、導(dǎo)程Ph和螺紋數(shù)n.溝槽直徑可以通過它與滾珠直徑之間的關(guān)系式[6]來確定,dg=1.08dw,導(dǎo)程Ph是螺紋數(shù)n與螺距P的乘積.本文考察的絲杠樣本的螺紋數(shù)n為1,因此,絲杠導(dǎo)程等于它的螺距,圖1是絲杠的參數(shù)示意圖,α為螺紋的升角.

絲杠橫截面如圖2(a)所示,為去除一月牙形的類圓截面.絲杠的分析模型可以看成絲杠在其橫截面沿法線方向拉伸的基礎(chǔ)上,額外附加一個繞軸心O的旋轉(zhuǎn)(圖2(b)).由于絲杠參數(shù)較多且形狀復(fù)雜,因此,獲得絲杠的剛度解析表達(dá)式十分困難,甚至不可實現(xiàn).為了簡化問題,引入等截面梁作為一個研究對象,即將橫截面沿著法線方向拉伸(圖2(c)).

圖2 絲杠橫截面視圖及建模過程Fig.2 Screw’s sectional view and its modeling procedure

為了獲得滾珠絲杠的等效剛度公式,通過計算圖2(c)中絲杠截面在等截面梁的情況下的抗扭剛度GIρ和抗拉剛度EA,再引入尺寸效應(yīng)系數(shù)f(d1,d2,dw,Ph)和g(d1,d2,dw,Ph),最終得到滾珠絲杠的等效抗扭剛度(GIρ)eq以及等效抗拉剛度(EAρ)eq:

式中:G和E分別為材料的剪切模量和彈性模量;Iρ為等截面梁的極慣性矩;A為橫截面面積;f,g為尺寸效應(yīng)系數(shù),是與絲杠外徑d1、內(nèi)徑d2、球徑dw和導(dǎo)程Ph相關(guān)的函數(shù).

2 等截面梁的剛度計算

假設(shè)將一直徑為dg、導(dǎo)程為Ph的螺旋體緊貼著溝槽纏繞在絲杠上,再將絲杠按圖3(b)所示的方向剖開,得到圖3(c),紅色線條為絲杠橫截面在剖視圖上的投影.圖中橢圓形區(qū)域為螺旋體的剖面,結(jié)合dg和滾珠絲杠的升角可以推導(dǎo)出橢圓的解析表達(dá)式;連接橢圓圓心和橢圓與絲杠橫截面的交點,該連線與絲杠橫截面形成的夾角為β.當(dāng)θ=0時,ρ(θ)為d2/2,β和Δh均為0;當(dāng)θ=φ時,ρ(θ)為d1/2,通過圖3(c)可以得到Δh,ρ(θ)和橢圓之間的尺寸關(guān)聯(lián),進(jìn)而可以得到φ和ρ(θ)的表達(dá)式.

圖3 滾珠絲杠截面及參數(shù)說明Fig.3 Sectional view of the ball screw and the explanation of parameters

滾珠絲杠的升角

當(dāng)ρ(θ)轉(zhuǎn)過角度θ，

當(dāng)θ=φ時,

通過圖3(c)中的尺寸關(guān)聯(lián),可以得到

同時也可以根據(jù)尺寸關(guān)聯(lián)推得ρ(θ)的表達(dá)式為

有了鐘形曲線的表達(dá)式和區(qū)間,便可對截面兩塊區(qū)域的面積和極慣性矩分別進(jìn)行計算,區(qū)域1的面積和極慣性矩為

區(qū)域2的面積A2和極慣性矩I2通過積分后可以得到.

其中

將式(8)～(11)進(jìn)行整理后,便可得到絲杠截面在等截面梁情況下的極慣性矩Iρ和面積A.

3 尺寸效應(yīng)系數(shù)的計算

3.1 尺寸效應(yīng)系數(shù)的仿真計算

通過有限元仿真計算,可以得到給定參數(shù)的絲杠樣本的等效剛度的數(shù)值,將數(shù)值結(jié)果與等截面情況下的計算結(jié)果進(jìn)行比對,即可得到尺寸效應(yīng)系數(shù).為了提高樣本計算效率,本文使用APDL語言[8]編寫了宏文件,實現(xiàn)了樣本的建模、加載和計算參數(shù)化.在比對不同的計算結(jié)果后,得到絲杠的慣性矩Iy,Iz與極慣性矩Iρ存在以下的近似關(guān)系:

為了得到更準(zhǔn)確的計算結(jié)果和較高的計算效率,選取了某一型號的絲杠作為研究對象,它的尺寸參數(shù)為:外徑39 mm,內(nèi)徑36.4 mm,球徑3.5 mm.通過改變絲杠模型的長度,觀察計算結(jié)果的變化規(guī)律,如圖4所示,最終選取10Ph作為絲杠樣本的建模長度.在該長度下,計算結(jié)果已經(jīng)趨近于一個穩(wěn)定的數(shù)值,且計算效率較高.

圖4 尺寸效應(yīng)系數(shù)與絲杠樣本長度的變化關(guān)系Fig.4 Relationship between the ball screw’s length and size-effect coefficient

3.2 考慮導(dǎo)程和球徑的尺寸效應(yīng)系數(shù)的研究

為了研究尺寸效應(yīng)系數(shù)在絲杠內(nèi)徑、外徑不變時的變化規(guī)律,選取某一型號絲杠作為樣本,絲杠的參數(shù)[9]如表1所示.p為螺距,d0為公稱直徑.

表1 絲杠樣本參數(shù)表Tab.1 Parameters of ball screw

計算樣本時,將dw/d1和Ph/d1作為自變量,抗扭剛度的尺寸效應(yīng)系數(shù)f的倒數(shù)作為因變量,dw/d1的變化范圍為0.10～0.25,Ph/d1的變化范圍為0.12～1.50.計算了150組樣本,得到相對應(yīng)的效應(yīng)系數(shù),并繪制得到了1/f(d1,dw,Ph)分布圖.

從圖5可以看出,效應(yīng)系數(shù)倒數(shù)的分布符合二維對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)[10].對標(biāo)準(zhǔn)的二維對數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行修正,并給定表達(dá)式:

上式的形式滿足邊界條件:當(dāng)dw/d1趨近于0或+時,絲杠的截面呈圓形,此時,尺寸效應(yīng)系數(shù)f(d1,dw,Ph)=1;當(dāng)Ph/d1趨近于0時,絲杠截面也呈現(xiàn)圓形,因此,f(d1,dw,Ph)=1,當(dāng)其趨向于+時,可以看作是直線拉伸,此時,f(d1,dw,Ph)=1.將計算結(jié)果及表達(dá)式導(dǎo)入到1stopt軟件中進(jìn)行擬合,得到的結(jié)果如表2所示.

圖5 考慮導(dǎo)程和球徑的尺寸效應(yīng)系數(shù)分布圖Fig.5 Specific equivalent coefficient’s distribution of the torsional stiffness表2 抗拉剛度的尺寸效應(yīng)系數(shù)擬合結(jié)果Tab.2 Fitted results of the size-effect coefficient of the axial stiffness

aIbIcIdIeIR20.07672.6417-2.33071.1793-1.34990.9560

該次擬合判定系數(shù)為0.956,擬合的結(jié)果十分良好.通過該樣本可以看出,在絲杠內(nèi)徑、外徑固定不變的情況下,絲杠的效應(yīng)系數(shù)分布十分貼近修正后的二維對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù).對于等效抗拉剛度的尺寸效應(yīng)系數(shù)g(d1,dw,Ph),本文假定其分布也類似抗扭剛度的效應(yīng)系數(shù)分布形式.

3.3 綜合尺寸效應(yīng)系數(shù)的研究

前面得到的尺寸效應(yīng)系數(shù)公式僅適用于表1的絲杠樣本,對于不同型號的絲杠樣本,它們本身的內(nèi)徑、外徑也會發(fā)生變化.為了獲得適用范圍更廣的等效系數(shù)公式,需要對更多不同型號的絲杠樣本進(jìn)行計算.本文將10組不同參數(shù)的絲杠樣本進(jìn)行了建模計算,得到1/f(d1,d2,dw,Ph)的分布,如圖6(a)所示.

圖6 通用的抗彎和抗拉剛度的尺寸效應(yīng)系數(shù)分布圖Fig.6 General size-effect coefficient’s distribution of the torsional and axial stiffness

由圖4可知,單一絲杠的分布規(guī)律符合二維對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù),因此,可以將該分布看作是不同絲杠的分布趨勢的混疊.在這里引入變量d2/d1,對式(14)進(jìn)行修正,得到新的表達(dá)式:

將計算數(shù)據(jù)導(dǎo)入軟件進(jìn)行擬合,得到了新的擬合結(jié)果,各系數(shù)的值以及綜合判定系數(shù)在表3中列出.

表3 抗扭剛度公式擬合結(jié)果Tab.3 Fitted results of the general size-effect coefficient of the torsional stiffness

抗拉剛度的系數(shù)分布圖如圖6(b)所示,其分布的函數(shù)形式為

將計算得到的結(jié)果導(dǎo)入軟件進(jìn)行擬合,可以得到表4.

對擬合后得到的式(15)和式(16)取倒數(shù),便可得到滾珠絲杠的抗扭剛度的尺寸效應(yīng)系數(shù)f(d1,d2,dw,Ph)和抗拉剛度的尺寸效應(yīng)系數(shù)g(d1,d2,dw,Ph)的公式,再通過式(1)便可得到絲杠的等效抗扭剛度和等效抗拉剛度.通過計算絲杠樣本剛度得到仿真解,并將擬合所得公式計算的系數(shù)與仿真所得系數(shù)進(jìn)行對比,得到了圖7.

表4 抗拉剛度公式擬合結(jié)果Tab.4 Fitted results of the general size-effect coefficient of the axial stiffness

圖7 擬合公式所得系數(shù)與仿真所得系數(shù)的誤差對比Fig.7 Comparison of relative errors between the size-effect coefficients obtained by the fitted expression and the simulation

通過圖7可以看出,絕大多數(shù)樣本的誤差均在2%以內(nèi),通過綜合尺寸效應(yīng)系數(shù)計算得到的結(jié)果具有較高的精確性.

4 結(jié)束語

通過解析解和擬合得到的剛度公式,得到了滾珠絲杠在已知參數(shù)下的綜合尺寸效應(yīng)系數(shù)計算公式,與仿真結(jié)果進(jìn)行比對,結(jié)果表明,其誤差較小.相較于先前單純考察絲杠某一參數(shù)的剛度的研究,本文的公式將絲杠的所有參數(shù)都包含在了計算分析的范圍中,使得到的公式具有更好的準(zhǔn)確性,且應(yīng)用范圍更加廣.經(jīng)過推廣,申請了一種滾珠絲杠等效抗扭、抗拉和抗彎剛度的專利(申請?zhí)?01710232572.6),該專利所述方法計算所得的結(jié)果更精確,適用性更強.

[1] 中華人民共和國國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫總局,中國國家標(biāo)準(zhǔn)化管理委員會.GB/T 17587.4-2008滾珠絲杠副,第4部分:軸向靜剛度[S].北京:中國標(biāo)準(zhǔn)出版社,2009.

[2] JAROSCH P.Zur Lebensdauerprognose zyklisch hoch belasteter Kugelgewindetriebe[M].Buch:Shaker Verlag,2008.

[3] 李東君.滾珠絲杠副軸向靜剛度測試方案研究[J].機床與液壓,2011,39(10):112-114.

[4] 李東君.滾珠絲杠副軸向靜剛度的分析[J].機械強度,2015,37(5):930-934.

[5] 徐鳳翔.滾珠絲杠副軸向靜剛度理論分析及試驗平臺開發(fā)研究[D].南京:南京理工大學(xué),2014.

[6] MESSAGER T,CARTRAUD P.Homogenization of helical beam-like structures:application to single-walled carbon nanotubes[J].Computational Mechanics,2008,41(2):335-346.

[7] DADALAU A,MOTTAHEDI M,GROH K,et al.Parametric modeling of ball screw spindles[J].Production Engineering,2010,4(6):625-631.

[8] ANSYS Inc.PDF documentation for release 15.0[DB/OL].[2016-08-29].148.204.81.206/ANSYS/readme.html.

[9] Bosch Rexroth Inc.Precision ball screw assemblies R310EN 3301[DB/OL].[2008-07-01].http:∥www.rexroth-kbh.com/pdf/BALLSCREW.pdf.

[10] AITCHISON J,BROWN J A C.The lognormal distribution[M].Cambridgeshire:CUP Archive,1976.

(編輯:石 瑛)

Analytical Expressions for the Equivalent Stiffnesses of Ball Screws

WANG Yaoyu, HU Yujia

(SchoolofMechanicalEngineering,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093,China)

To obtain the analytical expressions for a ball screw’s axial and torsional stiffnesses and guarantee their high precision,a new method was proposed to calculate the ball screw’s stiffnesses.Using the theoretical derivation,the finite element method analysis and the fitting of a modified density function with lognormal distribution,the analytical expressions of stiffnesses considering different parameters were provided.Comparing the data obtained by the expressions with the finite element method results,it is shown that the expressions proposed are of much better generality and accuracy.

ballscrew;stiffnesses;lognormaldistribution

1007-6735(2017)03-0249-06

10.13255/j.cnki.jusst.2017.03.008

2016-09-29

王曜宇(1991-),男,碩士研究生.研究方向:參數(shù)辨識.E-mail:shineyao0221@163.com

胡育佳(1979-),男,副教授.研究方向:固體力學(xué)、計算力學(xué).E-mail:huyujia@126.com

TH 114

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