仇力，欒小麗，劉飛

（江南大學(xué)輕工過程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫 214122）

基于主元相似度的間歇過程操作曲線遞推優(yōu)化

仇力，欒小麗，劉飛

（江南大學(xué)輕工過程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫 214122）

針對(duì)一類較長(zhǎng)周期的間歇過程操作優(yōu)化問題，提出了一種基于正常運(yùn)行批次的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)型操作曲線遞推優(yōu)化方法。首先采用分段離散化方法將原非線性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為線性優(yōu)化問題，再利用主元分析對(duì)離散化后的高維時(shí)段變量進(jìn)行降維處理，然后在降維后的主元平面中，基于時(shí)段變量與最終產(chǎn)品指標(biāo)間的余弦相似度，實(shí)現(xiàn)對(duì)原操作曲線的攝動(dòng)優(yōu)化。考慮到時(shí)段變量方差和相似度隨批次會(huì)發(fā)生變化，建立了遞推算法以實(shí)現(xiàn)操作曲線的遞推更新。最后將該方法應(yīng)用于某化工產(chǎn)品的間歇結(jié)晶過程中，結(jié)果驗(yàn)證了所提方法的有效性。

間歇過程；操作軌跡優(yōu)化；主元分析；余弦相似度；遞推算法

引 言

隨著現(xiàn)代社會(huì)對(duì)多品種、多規(guī)格和高質(zhì)量產(chǎn)品需求的提高，以小批量、精細(xì)化和高附加值為主要特征的間歇生產(chǎn)過程得到快速發(fā)展。相比于連續(xù)過程，間歇過程沒有穩(wěn)定的靜態(tài)工作點(diǎn)，過程操作的基本方式是確保批次過程跟蹤設(shè)定操作曲線[1-2]。間歇過程的優(yōu)化目標(biāo)通常為縮短運(yùn)行周期或提高終端產(chǎn)品產(chǎn)量和質(zhì)量[3]。在完成有效的動(dòng)態(tài)控制基礎(chǔ)上，間歇過程操作曲線的優(yōu)化成為提高經(jīng)濟(jì)效益的關(guān)鍵。

間歇過程的操作優(yōu)化概括分為機(jī)理驅(qū)動(dòng)型優(yōu)化和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)型優(yōu)化[4]。機(jī)理驅(qū)動(dòng)型優(yōu)化需要過程精確的機(jī)理模型，要求對(duì)過程有深入的理解[5-9]，而間歇過程是復(fù)雜的動(dòng)態(tài)非線性過程，其建模相當(dāng)困難，這限制了機(jī)理驅(qū)動(dòng)型優(yōu)化的發(fā)展。數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)型優(yōu)化分為基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膬?yōu)化，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)以及無模型優(yōu)化。常用的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ陀腥斯ど窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)[10-12]、偏最小二乘[13-16]、支持向量機(jī)[17-19]等。由于經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ途仁芟抻跇颖緮?shù)，一般而言模型外推性差；實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)[20-23]通過有目的的試驗(yàn)獲得過程響應(yīng)與輸入間的數(shù)值關(guān)系，但基于實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的優(yōu)化基于實(shí)際運(yùn)行裝置進(jìn)行，成本高且效率低。結(jié)合基于模型優(yōu)化的高效性和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的可行性，Kong等[24-26]提出了無模型優(yōu)化方法。無模型優(yōu)化通過一系列迭代點(diǎn)的在線試驗(yàn)來實(shí)現(xiàn)，它避免了模型失配，提高了優(yōu)化效率，該方法在注塑成型過程中取得成功的應(yīng)用。無模型優(yōu)化方法適用于快速、低成本的間歇過程，它要求過程單批次成本低，用于優(yōu)化的少數(shù)試驗(yàn)批次在經(jīng)濟(jì)上可以接受。對(duì)于較長(zhǎng)工作周期的間歇過程，該方法的實(shí)施成本將會(huì)顯著提高。

針對(duì)上述問題，提出一種基于時(shí)段變量相關(guān)性分析的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)型操作曲線優(yōu)化方法?；诜侄坞x散化方法將原非線性優(yōu)化問題簡(jiǎn)化為線性優(yōu)化問題，在降維的基礎(chǔ)上，利用離散化后的各時(shí)段變量對(duì)指標(biāo)變量的作用強(qiáng)弱和方向，通過遞推修正算法實(shí)現(xiàn)對(duì)操作軌線的遞推更新。該方法突破了文獻(xiàn)[24-26]中無模型優(yōu)化方法對(duì)于間歇過程操作周期快速，批次實(shí)驗(yàn)成本要低等假定和要求。優(yōu)化算法完全基于正常生產(chǎn)運(yùn)行數(shù)據(jù)而不是迭代點(diǎn)的在線試驗(yàn)，實(shí)施成本低，能解決長(zhǎng)周期、實(shí)驗(yàn)成本高的間歇過程操作優(yōu)化問題。最后該方法被成功用于某化工產(chǎn)品的間歇結(jié)晶過程溫度操作曲線優(yōu)化中。

1 問題描述

間歇過程操作優(yōu)化的目的是在一個(gè)批次過程結(jié)束時(shí)，產(chǎn)品的產(chǎn)量或質(zhì)量得到提高、過程操作的周期能夠縮短。在間歇過程直接控制層已經(jīng)實(shí)現(xiàn)對(duì)給定曲線的動(dòng)態(tài)跟蹤基礎(chǔ)上，優(yōu)化層的目標(biāo)是如何確定最優(yōu)的操作曲線，其數(shù)學(xué)描述如下：

其中tf為間歇過程周期，J是性能指標(biāo)，s(t)為設(shè)定操作曲線，x(t)是狀態(tài)變量, 即按設(shè)定操作曲線控制時(shí)，被控過程可測(cè)量狀態(tài)的當(dāng)前測(cè)量值，y(t)是輸出變量，s(t)min和s(t)max分別是操作曲線的下界和上界。上式意義為在滿足約束的條件下尋找一條合適的操作曲線，使得間歇過程結(jié)束時(shí)性能指標(biāo)最優(yōu)或次優(yōu)。以下討論中，性能指標(biāo)的終值J[x(tf)]，稱之為批次的指標(biāo)變量。

2 優(yōu)化策略及算法

2.1 分段離散化和時(shí)段變量的構(gòu)造

間歇過程的操作優(yōu)化本質(zhì)上是一個(gè)非線性優(yōu)化問題。一方面為了將原非線性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為線性優(yōu)化問題，可采用分段離散化方法將非線性過程區(qū)間劃分為多個(gè)線性子區(qū)間；另一方面考慮到控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)實(shí)施的可行性，最優(yōu)操作軌線往往是以分段方式進(jìn)行[24]。因此首先采用分段離散化方法[27-28]將原操作曲線以及狀態(tài)變量曲線用m-1個(gè)分段點(diǎn)等時(shí)間間隔分成了m段（圖1），即：

其中sl為離散化后的操作曲線設(shè)定值，xl為離散化后的狀態(tài)變量，記為時(shí)段變量。由此非線性優(yōu)化問題（1）轉(zhuǎn)化為離散化形式如下：

其中 sl,min和 sl,max分別是操作曲線離散化后的下界和上界，yl是離散化后的輸出變量。優(yōu)化的目標(biāo)為找出合適的操作曲線設(shè)定值集合{sl|l=1, 2,…, m}使性能指標(biāo)最優(yōu)。

圖1 分段離散化Fig.1 Discretization with segmentation

n個(gè)批次的時(shí)段變量構(gòu)成了 n×m維矩陣 X，X=[x1, x2,…, xm]；相應(yīng)的n個(gè)批次指標(biāo)變量，構(gòu)成n×1維矩陣Q，并令Z=[X Q]。為敘述方便，下文所用矩陣均為標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣。

注：當(dāng)m趨向于無窮大時(shí)，分段后的軌線可以以任意精度逼近原動(dòng)態(tài)曲線。為保證離散化后優(yōu)化命題與原優(yōu)化命題的等價(jià)性，m應(yīng)該取一個(gè)較大的值。m取值的大小，一般要根據(jù)整個(gè)過程的周期和動(dòng)態(tài)特性快慢，既要滿足對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的采樣頻率要求（即滿足香濃采樣定理），也要考慮到不使數(shù)據(jù)維數(shù)過高。

2.2 基于時(shí)段變量降維和重構(gòu)的優(yōu)化策略

考慮到Z為高維矩陣，為了用較少的變量更直觀地反映間歇過程各時(shí)段操作條件對(duì)指標(biāo)變量的影響，可使用主元分析對(duì)其進(jìn)行降維處理，因此將Z∈Rn×(m+1)可分解為m+1個(gè)向量外積和：

其中di∈Rn(i=1, 2,…,m+1)為得分向量（主元變量），pi∈Rm+1為載荷向量，Dn×(m+1)為得分矩陣，P(m+1)×(m+1)為載荷矩陣，PT為 P的轉(zhuǎn)置矩陣。各得分向量之間相互正交，各載荷向量之間也為正交關(guān)系，且每個(gè)載荷向量均為單位長(zhǎng)度。

為了將優(yōu)化控制量施加到具體過程操作中，必須將原時(shí)段變量表示成主元變量的線性組合，即對(duì)主元分解后的數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)。考慮由前 r(r≤m+1)個(gè)主元張成的r維平面，做原變量zi關(guān)于d1, d2,…,dr的線性回歸，即求回歸方程：

其中εi是回歸誤差，Z=[z1, z2,…, zm+1]，記回歸系數(shù) βi=[β1,i, β2,i,… , βr,i]T，記 d=[d1, d2,…, dr]，則：

所以：

通常根據(jù)累計(jì)方差貢獻(xiàn)率確定主元的個(gè)數(shù)。一方面由于操作曲線離散化后各時(shí)段變量間時(shí)序相關(guān)性較大，因而前兩個(gè)主元可以包含過程數(shù)據(jù)大部分信息；另一方面二維平面可以更直觀地得出各時(shí)段變量對(duì)指標(biāo)變量的懾動(dòng)量大小和方向，因此考慮主元個(gè)數(shù)r=2時(shí)的特殊情形，此時(shí)式（9）簡(jiǎn)化為：

圖2為前兩個(gè)主元d1和d2構(gòu)成的二維載荷平面，x?l是重構(gòu)后的時(shí)段變量，?Q是重構(gòu)后的指標(biāo)變量，θl是重構(gòu)后時(shí)段變量與指標(biāo)變量間的夾角，它直觀地表達(dá)了各時(shí)段變量對(duì)指標(biāo)變量的拉動(dòng)力量強(qiáng)弱關(guān)系。換言之，夾角越小，則相關(guān)性或貢獻(xiàn)強(qiáng)度越大。物理意義是該時(shí)段的控制對(duì)最終指標(biāo)變量有更顯著的影響。為此在每個(gè)時(shí)段上，依據(jù)時(shí)段變量對(duì)指標(biāo)變量的作用強(qiáng)弱和方向，對(duì)原操作曲線進(jìn)行攝動(dòng)，即：

上面的方法意味著，攝動(dòng)后的操作曲線是在原曲線的基礎(chǔ)上加上矯正量，使得每個(gè)時(shí)段都對(duì)指標(biāo)變量產(chǎn)生正的貢獻(xiàn)。特別指出的是，每一時(shí)段的最大攝動(dòng)量沒有超過各批的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，從而依然滿足原來優(yōu)化問題（4）的約束條件。

2.3 遞推算法

圖2 前兩個(gè)主元載荷圖Fig.2 Loading plot with first two principal components

間歇過程時(shí)段變量與指標(biāo)變量間的關(guān)系隨著批次的變化而變化，因而需要用新批次數(shù)據(jù)修正變量間的相關(guān)關(guān)系?；谶f推PCA算法[29-30]導(dǎo)出操作曲線的滾動(dòng)修正算法。

其方差的遞推式為：

其中 σi,k是離散化后前 k批次數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，

前k批次數(shù)據(jù)矩陣Zk×(m+1)的自相關(guān)矩陣Rk的遞推式為：

因?yàn)镽k為實(shí)對(duì)稱矩陣，可對(duì)其進(jìn)行正交分解，即為更新前主元的載荷矩陣，Λk對(duì)角矩陣，為P的轉(zhuǎn)置矩陣，則自相關(guān)矩陣可k化簡(jiǎn)為：

對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣(E+εuu)T進(jìn)行正交分解：

其中Pk+為新的正交矩陣，Λ+為新的對(duì)角矩陣，為Pk+的轉(zhuǎn)置矩陣，則：

由式（18）知，載荷矩陣的遞推式為：

由式（12）結(jié)合式（19）中遞推后的載荷矩陣的前兩列可求出遞推后時(shí)段變量與指標(biāo)變量間的余弦，并進(jìn)一步得出操作曲線的更新方法。

對(duì)操作曲線的攝動(dòng)優(yōu)化式（11）兩邊求差分得：

其中 θl,k是前 k批數(shù)據(jù)重構(gòu)后時(shí)段變量與指標(biāo)變量間的夾角，式（21）中后一項(xiàng)的變化相對(duì)于前一項(xiàng)可忽略不計(jì)，則操作曲線的遞推式可表示為：

上述遞推優(yōu)化方案的意義是，在上一批次操作曲線優(yōu)化結(jié)束后，利用下一批次采集的新數(shù)據(jù)，對(duì)上一批次的優(yōu)化結(jié)果做修正處理，以形成下一個(gè)批次新的操作曲線，從而實(shí)現(xiàn)操作曲線的滾動(dòng)優(yōu)化。為便于理解，圖3給出如下間歇過程優(yōu)化算法流程圖。

圖3 優(yōu)化算法流程Fig.3 Flow chart of optimization algorithm

3 實(shí)例研究

以某化工產(chǎn)品間歇結(jié)晶過程為研究對(duì)象，其原理如圖4所示。在預(yù)結(jié)晶階段，保持設(shè)定溫度為定值，讓進(jìn)料從結(jié)晶罐上方流入結(jié)晶器，然后降低設(shè)定溫度，使得目標(biāo)產(chǎn)品和部分雜質(zhì)從進(jìn)料溶液中以晶體的形式析出附著在結(jié)晶器換熱管的外表面，升高溫度使得雜質(zhì)以液態(tài)形式流進(jìn)儲(chǔ)料罐并排出，最后再次升高溫度使得目標(biāo)產(chǎn)品達(dá)到熔融溫度，以液態(tài)的形式流入儲(chǔ)料罐。由結(jié)晶的原理知：當(dāng)設(shè)定溫度不同時(shí)，最終得到的目標(biāo)產(chǎn)品濃度也不同。

圖4 間歇結(jié)晶過程原理Fig.4 Schematic diagram of batch crystallization processes

間歇結(jié)晶過程是一種多維的動(dòng)態(tài)非線性過程，其操作周期為120 min左右。為了確保分段后的軌線盡可能逼近原來的操作曲線，同時(shí)分段不至于太密集導(dǎo)致時(shí)段變量維數(shù)過高，文中取1 min為時(shí)段間隔，時(shí)段變量的取值為每1 min內(nèi)溫度的平均值，指標(biāo)變量為結(jié)晶后的產(chǎn)品濃度。采集結(jié)晶過程正常運(yùn)行時(shí)81批的數(shù)據(jù)，選擇其中最短的長(zhǎng)度（m=107）作為標(biāo)準(zhǔn)，其余批次采用截尾的方法與最短長(zhǎng)度對(duì)齊。初始優(yōu)化曲線可以使用原設(shè)定操作曲線，或用一定量的歷史操作數(shù)據(jù)，用離線方法進(jìn)行先期優(yōu)化，從而得到一個(gè)更好的優(yōu)化初始曲線。事實(shí)上先期離線優(yōu)化計(jì)算方式，可以大大加快優(yōu)化速度，使得操作曲線在很少的批次后，達(dá)到對(duì)過程的優(yōu)化和跟蹤。為說明本方法的算法步驟，文中用70批數(shù)據(jù)離線計(jì)算以獲取遞推優(yōu)化的初始值，剩余的11批數(shù)據(jù)作為實(shí)時(shí)操作數(shù)據(jù)用作操作曲線的遞推更新。

對(duì)前 70批數(shù)據(jù) X70×107進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，對(duì)處理后的矩陣X主元分解，并采用前兩個(gè)主元重構(gòu)原時(shí)段變量，得出各時(shí)段的溫度對(duì)最終目標(biāo)產(chǎn)品濃度的作用關(guān)系后，利用剩余的11批數(shù)據(jù)基于式（19）對(duì)時(shí)段變量與指標(biāo)變量間的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行遞推更新，最終得出遞推更新后各時(shí)段的溫度對(duì)最終目標(biāo)產(chǎn)品濃度的作用關(guān)系。

然后，再分別利用式（11）與式（23）對(duì)溫度操作曲線進(jìn)行更新，結(jié)果如圖5所示。圖中實(shí)線為優(yōu)化前操作曲線，點(diǎn)虛線為由81批數(shù)據(jù)攝動(dòng)優(yōu)化得到的操作曲線，虛線為采用81批數(shù)據(jù)遞推優(yōu)化得到的操作曲線。

圖5 優(yōu)化前后操作軌線比較Fig.5 Trajectory before and after optimization

為驗(yàn)證優(yōu)化后操作曲線的有效性，需建立目標(biāo)產(chǎn)品濃度Q關(guān)于分段后溫度X的偏最小二乘預(yù)測(cè)模型：

其中ω為回歸系數(shù)矩陣。

由預(yù)測(cè)模型可以算出，優(yōu)化前的操作曲線對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品濃度為97.46%，采用81批數(shù)據(jù)攝動(dòng)優(yōu)化后對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)濃度為97.58%，采用81批數(shù)據(jù)遞推優(yōu)化對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)濃度為97.68%。優(yōu)化前所有批次的產(chǎn)品濃度標(biāo)準(zhǔn)差為0.361%，本遞推算法可使產(chǎn)品濃度均值提高0.22%，即0.61個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。經(jīng)過顯著性檢驗(yàn)，此均值提高是顯著性的。實(shí)際效益方面，批次產(chǎn)品平均濃度的提高，相當(dāng)于在相同濃度規(guī)格下提高了生產(chǎn)裝置產(chǎn)能約0.2個(gè)百分點(diǎn)（產(chǎn)品按有效濃度定價(jià)）。同時(shí)操作曲線的滾動(dòng)遞推更新，能夠充分利用新批次操作帶來的信息，降低計(jì)算量，減少存儲(chǔ)空間，同時(shí)滿足原有操作約束條件。

4 結(jié) 論

針對(duì)一類較長(zhǎng)周期的間歇過程操作優(yōu)化問題，提出了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)型操作曲線遞推優(yōu)化方法?；诜侄坞x散化將原非線性問題簡(jiǎn)化，在主元降維后的平面中，結(jié)合各時(shí)段變量與指標(biāo)變量間的余弦相似度和標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)原操作曲線進(jìn)行攝動(dòng)。針對(duì)間歇過程中變量相關(guān)性隨批次而變化的特性，建立了操作曲線遞推算法，實(shí)現(xiàn)了操作曲線的滾動(dòng)更新。將該方法應(yīng)用到某化工產(chǎn)品間歇結(jié)晶過程中，產(chǎn)品預(yù)測(cè)濃度的提升驗(yàn)證了該方法的有效性。

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A recursive optimization method for batch process trajectories based on similarity of principal components

QIU Li, LUAN Xiaoli, LIU Fei
(Key Laboratory of Advanced Process Control for Light Industry of the Ministry of Education, Jiangnan University,Wuxi 214122, Jiangsu, China)

A recursive optimization method for data-driven operating trajectory, which was based on daily normal operation batches, was proposed for long cycle batch processes. First, original nonlinear optimization was simplified to a high dimensional linear optimization by segmented discretization and high dimensional segmented variables were transformed into lower dimensional one by PCA (principal component analysis) algorithm. Then,snapshot optimization for original operating trajectory was performed according to cosine similarity between time-segmented variables in dimensionality-reduced principal element plane and performance index of the final products. Finally, recursive algorithm for trajectory optimization was developed by consideration of changes in square errors and similarity of time-segmented variables between batches. Application to a batch crystallization process has illustrated effectiveness of this method.

batch processes; trajectory optimization; PCA; cosine similarity; recursive algorithm

date：2016-12-23.

Prof. LUAN Xiaoli, xlluan@jiangnan.edu.cn

supported by the National Natural Science Foundation of China (61473137).

TP 273

A

0438—1157（2017）07—2859—07

10.11949/j.issn.0438-1157.20161797

2016-12-23收到初稿，2017-03-30收到修改稿。

聯(lián)系人：欒小麗。

仇力（1992—），男，碩士研究生。

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61473137）。