洪英東，熊智華，江永亨，葉昊

（清華大學(xué)自動(dòng)化系，北京 100084）

間歇過(guò)程點(diǎn)對(duì)點(diǎn)迭代學(xué)習(xí)控制的初始狀態(tài)誤差分析

洪英東，熊智華，江永亨，葉昊

（清華大學(xué)自動(dòng)化系，北京 100084）

針對(duì)間歇過(guò)程點(diǎn)對(duì)點(diǎn)跟蹤控制問(wèn)題，在軌跡更新的迭代學(xué)習(xí)控制算法框架下，針對(duì)非理想初始狀態(tài)情況下3種不同的初始誤差，通過(guò)2D Roesser模型對(duì)其進(jìn)行描述并分析其收斂性。給出了不同的情況下系統(tǒng)相對(duì)參考軌跡的零誤差跟蹤或者收斂到特定鄰域的條件，在零誤差跟蹤不能實(shí)現(xiàn)的情況下給出了鄰域的范圍。通過(guò)數(shù)值模型仿真驗(yàn)證了給出的收斂條件和收斂邊界，并分析了不同因素對(duì)收斂邊界的影響。

初始狀態(tài)；迭代學(xué)習(xí)控制；2D系統(tǒng)理論；點(diǎn)對(duì)點(diǎn)跟蹤

引 言

由于多樣化和精細(xì)化工的需求，間歇過(guò)程在工業(yè)生產(chǎn)中的比例越來(lái)越高[1]。由于間歇過(guò)程具有重復(fù)運(yùn)行等特性，迭代學(xué)習(xí)控制（ILC）方法得到了廣泛的研究[2-3]。ILC方法通常是跟蹤一條預(yù)設(shè)的完整軌跡，但是在很多應(yīng)用中，比如快速熱處理過(guò)程[4]、發(fā)酵過(guò)程[5]等，都只要求跟蹤整條軌跡中若干特定時(shí)間點(diǎn)的輸出。因此，點(diǎn)對(duì)點(diǎn)ILC控制成為了目前的一個(gè)研究熱點(diǎn)[6-7]。間歇過(guò)程的ILC方法通常假設(shè)每個(gè)批次的初始狀態(tài)滿足理想條件，即系統(tǒng)在每個(gè)批次的初始狀態(tài)誤差均為零。但是在間歇式反應(yīng)生產(chǎn)過(guò)程中，由于每個(gè)批次的反應(yīng)物初始濃度等條件往往會(huì)產(chǎn)生一定的偏差，因此通常難以滿足該初始狀態(tài)理想條件。

有很多的學(xué)者討論過(guò)，在初始條件非理想的情況下，迭代學(xué)習(xí)控制算法可能發(fā)散的問(wèn)題[8]。針對(duì)全軌跡跟蹤問(wèn)題中初始狀態(tài)非理想的情況，Park等[9]分析了P型和PID型迭代學(xué)習(xí)控制算法的跟蹤誤差和初始狀態(tài)誤差邊界的關(guān)系。孫明軒[10]提出了帶初始誤差校正的迭代學(xué)習(xí)控制算法，Chi等[11]提出了一種針對(duì)隨機(jī)初始狀態(tài)的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制算法，這些算法都解決了一些特定初始誤差情況下的跟蹤誤差問(wèn)題。同時(shí)，因?yàn)榕芜^(guò)程既有時(shí)間方向的特性，又有批次方向的特性，2D模型也常常被引入對(duì)迭代學(xué)習(xí)控制算法進(jìn)行分析[12-13]。Fang等[14]采用2D理論對(duì)不同初始狀態(tài)下的迭代學(xué)習(xí)控制方法進(jìn)行了收斂性分析，其收斂性條件中要求批次和時(shí)間都趨于無(wú)窮，但是在重復(fù)運(yùn)行的過(guò)程中，時(shí)間通常是有限的，這一點(diǎn)一般不能夠得到滿足。Guan等[15]針對(duì)連續(xù)系統(tǒng)，通過(guò)采樣的2D離散模型分析了初始狀態(tài)誤差模和有界的PD型迭代學(xué)習(xí)算法的收斂情況。對(duì)于線性時(shí)變的2D系統(tǒng)的一般性收斂條件分析，Li等[16]、Meng等[17]分析了在初始誤差有界的情況下，在2D Roesser模型下的傳遞函數(shù)矩陣模的上確界存在且小于 1，系統(tǒng)的誤差有界。之后Meng等[18]進(jìn)一步分析了初始誤差趨于0時(shí)系統(tǒng)跟蹤誤差的收斂情況。不過(guò)他們的分析結(jié)果都僅考慮了初始誤差有界和誤差趨于零的情況，也沒(méi)有給出明確的收斂界。而且均沒(méi)有針對(duì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)跟蹤問(wèn)題進(jìn)行分析。

目前的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)跟蹤問(wèn)題研究，主要集中于利用非跟蹤點(diǎn)自由度來(lái)加快收斂速度[19-20]，而缺少對(duì)初始狀態(tài)誤差的分析。對(duì)于這一問(wèn)題，針對(duì)線性時(shí)不變系統(tǒng)，采用2D模型理論分析了不同初始條件下，針對(duì)系統(tǒng)相對(duì)于更新的參考軌跡的所有時(shí)間點(diǎn)的誤差，算法的收斂判定條件和收斂界，并進(jìn)一步通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了本文的理論。

1 點(diǎn)對(duì)點(diǎn)迭代學(xué)習(xí)控制

1.1 系統(tǒng)描述

考慮如下線性時(shí)不變間歇過(guò)程的一般狀態(tài)空間模型

其中，t和k分別代表采樣時(shí)間和運(yùn)行批次，t∈[0, N]，N為采樣點(diǎn)數(shù)，x∈RN、u∈R、y∈R分別為系統(tǒng)的狀態(tài)、輸入和輸出，A、B、C分別為相應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)矩陣，d代表過(guò)程干擾和測(cè)量噪聲。

對(duì)于點(diǎn)對(duì)點(diǎn)ILC問(wèn)題，其控制目標(biāo)為在特定的時(shí)間點(diǎn)集M={t1,t2,…,tM}，M ≤ N，要求輸出跟蹤給定值ydM=[yd(t1),…,yd(tM)]T。

針對(duì)上述點(diǎn)對(duì)點(diǎn)ILC問(wèn)題，選取的方法是設(shè)計(jì)一條經(jīng)過(guò)這些目標(biāo)點(diǎn)的軌跡并在批次間對(duì)其進(jìn)行更新。軌跡更新的基本思想是在關(guān)鍵時(shí)間點(diǎn)軌跡不變，而在非關(guān)鍵點(diǎn)上根據(jù)上一個(gè)批次的輸出信息進(jìn)行調(diào)整，采用如下的插值算法來(lái)更新軌跡[21]

其中，rk=[r(1,k),…,r(N,k)]T為第 k批次在所有時(shí)間點(diǎn)上的參考軌跡，Λk=diag{λk(1), λk(2),…, λk(N)}，λk(t)為各采樣時(shí)刻的軌跡更新系數(shù)，且λk(t)在 t∈M時(shí)取0，其他時(shí)間點(diǎn)上選取合適的值，使其滿足[22]

其中yk=[y(1,k),…,y(N,k)]T為第k批次在所有時(shí)間點(diǎn)上的輸出。

在批次間，選取常用的P型迭代學(xué)習(xí)控制算法

其中uk=[u(0,k),…,u(N-1,k)]T，ek=rk-yk，且ek=[e(1,k),…,e(N,k)]T為全軌跡的跟蹤誤差，L為學(xué)習(xí)率。

在點(diǎn)對(duì)點(diǎn)ILC問(wèn)題中，只需要關(guān)心特定點(diǎn)集M上的跟蹤誤差ekM，可知ekM是ek一個(gè)子集，記為

其中

所以點(diǎn)對(duì)點(diǎn)問(wèn)題的跟蹤誤差可以寫成

1.2 2D模型描述

根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程式(1)和跟蹤誤差關(guān)系式(6)，并結(jié)合P-ILC的學(xué)習(xí)律式(4)，可以把上述系統(tǒng)模型描述成一個(gè)2D Roesser模型[21]

其中

通過(guò)上述變換表述的2D Roesser模型，由于式(2)中更新軌跡參數(shù)λk(t)的引入，而且λk(t) 隨著時(shí)間t變化，因此與一般的基于2D理論的迭代學(xué)習(xí)控制模型不同之處是參數(shù)為時(shí)變的，因此其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣特性也有相應(yīng)的變化。

1.3 初始狀態(tài)描述

假設(shè)理想初始狀態(tài)為xr(0)，則記第k批次的初始狀態(tài)誤差為Δx(0,k)=x(0,k)-xr(0)。Xu等[23]在分析初始狀態(tài)問(wèn)題時(shí)，給出了理想初始狀態(tài)、和有界、固定偏差、隨機(jī)有界偏差、隊(duì)列偏差5種不同的情況。對(duì)于以上5種初始狀態(tài)情況，在2D模型中重新對(duì)其進(jìn)行描述，可以分為4類情況。

（a）批次間狀態(tài)誤差為0，即η(0,k)=0。該情況既包括初始狀態(tài)理想，也包括初始狀態(tài)非理想，但每次偏差均相同的情況。

（b）批次間誤差模有界，即||η(0,k)||≤C。如發(fā)酵過(guò)程設(shè)定的初始溫度，總是在期望溫度的附近波動(dòng)，則其誤差的模有界[24]。

（d）隊(duì)列偏差，即 x(0,k)=x(N,k-1)，是指當(dāng)前批次的初始狀態(tài)為上一批次的結(jié)束狀態(tài)[26]。

因?yàn)樵诨どa(chǎn)間歇過(guò)程中，通常會(huì)在新批次開始時(shí)重置初始條件，不滿足隊(duì)列偏差的條件，因此下文主要討論前3種初始誤差情況。

2 收斂條件分析

在證明收斂條件以前，首先證明時(shí)變2D系統(tǒng)的一些性質(zhì)。為方便起見(jiàn)，記

定義2D模型(8)中狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

并定義如下?tīng)顟B(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

由2D理論可知[21]

并根據(jù)文獻(xiàn)[27]的2D Roesser模型理論可以得到系統(tǒng)的全響應(yīng)為

同時(shí)，根據(jù)之前的工作，還得到了如下時(shí)變2D系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)[28]。

根據(jù)以上的3個(gè)時(shí)變2D系統(tǒng)的性質(zhì)，可以分析得到在2D系統(tǒng)下3種初始狀態(tài)存在誤差的收斂條件和收斂邊界。在分析初始誤差的影響情況下，假設(shè)過(guò)程干擾Δd(t,k) 都為0。

2.1 批次間無(wú)初始狀態(tài)誤差

證明：根據(jù)全響應(yīng)公式(13)，可得

定理1說(shuō)明，在批次間無(wú)初始狀態(tài)誤差的情況下，只要轉(zhuǎn)移矩陣在任意 t時(shí)刻都成立，則均可以實(shí)現(xiàn)零誤差跟蹤。

2.2 批次間初始狀態(tài)誤差有界

證明：同樣根據(jù)全響應(yīng)公式(13)，可得

又因?yàn)閨|η(0,k)|| ≤C，則可得

進(jìn)一步可得

定理2說(shuō)明，在批次間初始狀態(tài)誤差有界的情況下，只要轉(zhuǎn)移矩陣||||＜1在任意 t時(shí)刻成立，系統(tǒng)跟蹤誤差會(huì)收斂到零附近的一個(gè)較小鄰域內(nèi)，且該鄰域的范圍大小由||Γ0,1||、|||和C 3個(gè)因素決定。

2.3 批次間誤差模和有界

證明：根據(jù)定理2的證明可知

取 n3=2max(n1,n2)，則當(dāng) n＞n3時(shí)

即?ε，?n3，滿足當(dāng) n＞n3時(shí)，

根據(jù)極限性質(zhì)可得

定理3說(shuō)明，在批次間初始誤差的模和有界的情況下，只要轉(zhuǎn)移矩陣|||＜1在任意t時(shí)刻成立，系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)零誤差跟蹤。

根據(jù)全響應(yīng)公式[式(13)]，再根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性原理，可以知道，對(duì)于存在批次間干擾的情況，分析仍然適用，只需要再單獨(dú)考慮過(guò)程干擾的影響即可。

3 數(shù)值仿真

一些典型的間歇反應(yīng)過(guò)程，如以溫度為調(diào)節(jié)量、產(chǎn)物為被控量的間歇反應(yīng)過(guò)程[29-30]，通過(guò)對(duì)其幾個(gè)批次的輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，可以將其描述成二階線性狀態(tài)空間模型。

選取如下的二階線性非時(shí)變系統(tǒng)作為數(shù)值仿真實(shí)例[21]

初始的輸入為u(t,1)=0,?t。仿真時(shí)間為5 s，采樣時(shí)間為0.125 s，則采樣點(diǎn)N為40。過(guò)程干擾取為[-0.01, 0.01]之間的平均分布。

選取的跟蹤時(shí)間點(diǎn)集為M={1,10,15,25,31,40}，圖1給出了關(guān)鍵點(diǎn)跟蹤目標(biāo)和初始軌跡，跟蹤目標(biāo)為一個(gè)上升、保持、下降的過(guò)程，在熱處理過(guò)程等間歇過(guò)程中較為典型。

圖1 跟蹤目標(biāo)和初始軌跡Fig1 Key points and initial trajectory

采用如下的跟蹤誤差平方值來(lái)判斷方法的性能

首先，把初始誤差理想條件（包括初始狀態(tài)為理想值和初始狀態(tài)始終為同一偏差值）與初始狀態(tài)誤差有界的情況進(jìn)行了仿真對(duì)比。

在誤差界Bd為0時(shí)，即為初始誤差理想情況。另外則為初始誤差隨機(jī)，但其模分別小于誤差界Bd為 0.03和 0.06的兩種情況（圖 2）。控制律L=3,λ(t)=-0.65，此時(shí)的收斂條件為||||=0.9571＜1。

圖2 批次間誤差有界和誤差為0的比較Fig.2 Comparison of bounded initial errors

可以看到，在初始狀態(tài)誤差有界的情況下，在軌跡更新的一般迭代學(xué)習(xí)控制律算法下，點(diǎn)對(duì)點(diǎn)ILC問(wèn)題雖然不能實(shí)現(xiàn)零誤差跟蹤，但是其誤差在與初始狀態(tài)誤差邊界有關(guān)的一個(gè)小鄰域內(nèi)。

而在初始狀態(tài)誤差恒定，即批次間的初始狀態(tài)變化為0的情況下，跟蹤誤差收斂到0。

通過(guò)對(duì)初始狀態(tài)誤差有界情況的分析可知，在同樣的誤差邊界的情況下，收斂界的大小和||||的大小有關(guān)。|||的大小可以通過(guò)算法的學(xué)習(xí)律和軌跡更新參數(shù)來(lái)調(diào)整。因?yàn)閨|||代表了所有t時(shí)刻中單步轉(zhuǎn)移矩陣模的最大值，因此如果要使得||||變小，首先要調(diào)節(jié)迭代學(xué)習(xí)控制律，使得其在關(guān)鍵點(diǎn)變小，再調(diào)節(jié)軌跡更新參數(shù)λ(t)即可。

圖3給出了當(dāng)誤差界為Bd=0.06時(shí)，在滿足收斂性條件的情況下，不同的|||對(duì)應(yīng)的跟蹤誤差ekM收斂曲線。

圖 3 ||||對(duì)收斂界的影響Fig.3 Effects of ||| on convergence

對(duì)于誤差模和有界的情況，取初始狀態(tài)誤差的形式為以下3種：

圖4給出了上述3種情況下的仿真結(jié)果。

圖4 誤差和有界仿真Fig.4 Sequence of initial errors belong to l2

由圖 4結(jié)果可以看出，在情況(iii)中，系統(tǒng)的跟蹤誤差收斂到0。而在(i)和(ii)的情況下，跟蹤誤差不為0，而是在0的一個(gè)鄰域內(nèi)。

說(shuō)明當(dāng)初始狀態(tài)誤差趨于零時(shí)，不能保證跟蹤誤差收斂到 0，只能保證誤差收斂到一個(gè)有界的鄰域內(nèi)，而在誤差模和有界的情況下，才能夠保證誤差收斂到0。

4 結(jié) 論

針對(duì)間歇過(guò)程點(diǎn)對(duì)點(diǎn)ILC問(wèn)題，在軌跡更新的迭代學(xué)習(xí)控制算法下，基于二維線性系統(tǒng)理論，分析了3種初始條件情況下的收斂條件。

在批次間初始狀態(tài)誤差為零、誤差和有界的情況下，可以通過(guò)算法參數(shù)設(shè)置使得跟蹤誤差收斂到零。在初始狀態(tài)誤差有界的情況下，證明了算法能夠收斂到一個(gè)零附近的鄰域的條件。

分析了如果不能夠?qū)崿F(xiàn)零誤差跟蹤，其收斂界的影響因素，也為針對(duì)初始誤差情況下迭代學(xué)習(xí)控制算法的參數(shù)設(shè)計(jì)提供了準(zhǔn)則。

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Analyze initial state errors of point-to-point iterative learning control for batch process

HONG Yingdong, XIONG Zhihua, JIANG Yongheng, YE Hao
(Department of Automation, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

To address problems of point-to-point tracking control for batch processes, three different initial errors of non-ideal initial states were analyzed and studied for convergence by 2 D Roesser model within the framework of tracking control algorithm. Conditions were provided to achieve zero or a neighborhood of zero tracking control errors between system and reference trajectory at various scenarios. For these unable to achieve zero tracking errors, boundaries of final tracking errors were given. Numerical simulation validated these convergence conditions and boundaries, and assessed effect of control parameters on these boundaries.

initial condition; iterative learning control; two-dimensional system theory; point-to-point tracking control

date:2017-01-22.

Prof. XIONG Zhihua, zhxiong@tsinghua.edu.cn

supported by the National Natural Science Foundation of China (61473162).

TP 13

A

0438—1157（2017）07—2826—07

10.11949/j.issn.0438-1157.20170106

2017-01-22收到初稿，2017-04-06收到修改稿。

聯(lián)系人：熊智華。

洪英東（1990—），男，博士研究生。

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61473162）。