許鋒，袁未未，羅雄麟

（中國(guó)石油大學(xué)（北京）自動(dòng)化系，北京 102249）

化工過程非方瘦系統(tǒng)的串級(jí)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

許鋒，袁未未，羅雄麟

（中國(guó)石油大學(xué)（北京）自動(dòng)化系，北京 102249）

化工過程一般為多變量系統(tǒng)，其中輸出變量個(gè)數(shù)多于輸入變量個(gè)數(shù)的非方多變量系統(tǒng)稱為瘦系統(tǒng)，現(xiàn)有的非方系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)一般采用方形化處理方法，只能形成一個(gè)輸入變量與一個(gè)輸出變量配對(duì)的單回路控制，要么作為工藝控制指標(biāo)的重要變量不能成為被控變量，要么次要變量未納入反饋控制，無法滿足控制要求。本文介紹了非方系統(tǒng)的平均頻域相對(duì)增益陣，對(duì)瘦系統(tǒng)進(jìn)行了變量配對(duì)分析，提出了一種瘦系統(tǒng)串級(jí)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法。這種方法在不添加輸入變量的同時(shí)有效利用了所有的輸出變量反饋，使系統(tǒng)反饋信息更完備，構(gòu)造了重要變量與次要變量結(jié)合的串級(jí)控制系統(tǒng)。最后通過實(shí)例分析說明了瘦系統(tǒng)的串級(jí)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法不僅能夠得到合理的變量配對(duì)，而且系統(tǒng)控制性能良好，尤其在進(jìn)行干擾抑制的過程中體現(xiàn)出了快速性和高效性。

過程控制；過程系統(tǒng)；多變量系統(tǒng)；瘦系統(tǒng)；關(guān)聯(lián)分析；變量配對(duì)；串級(jí)控制系統(tǒng)

引 言

分散PID控制器廣泛應(yīng)用于多變量系統(tǒng)[1-5]，雖然隨著控制理論的發(fā)展，多變量系統(tǒng)開始使用先進(jìn)控制算法進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，特別是模型預(yù)測(cè)控制，但是先進(jìn)控制往往設(shè)計(jì)復(fù)雜，難以實(shí)現(xiàn)，不易維護(hù)，并且現(xiàn)場(chǎng)工程師對(duì)先進(jìn)控制的熟悉程度也不高，因此考慮到底層控制系統(tǒng)安全可靠的要求，工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)的底層控制系統(tǒng)主要采用的仍然是常規(guī)PID控制。

多變量系統(tǒng)一般都存在變量間的相互關(guān)聯(lián)，使得閉環(huán)系統(tǒng)的控制性能降低[6]，因此控制回路設(shè)計(jì)時(shí)首先要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析以及變量配對(duì)，使得各回路間的相互作用降到最低，然后再將該系統(tǒng)看作多個(gè)單入單出（single-input single-output，SISO）系統(tǒng)，并運(yùn)用SISO理論進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)[7]。多變量系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)分析和變量配對(duì)方法中，目前應(yīng)用最廣泛的即為Bristol提出的相對(duì)增益陣[8]（relative gain array，RGA）法和由之發(fā)展而來的相關(guān)方法。最早提出的 RGA方法只利用了系統(tǒng)的靜態(tài)信息，因此在一些情況下變量配對(duì)并不是很準(zhǔn)確。對(duì)此，McAvoy等[9-10]提出了動(dòng)態(tài)相對(duì)增益陣（dynamic relative gain array, DRGA），Gagnepain 等[11]提出基于開環(huán)階躍響應(yīng)的平均動(dòng)態(tài)增益（average relative gain array, ARGA），Tung等[12]提出相對(duì)動(dòng)態(tài)增益矩陣（relative dynamic gain array, RDGA），He等[13]提出了相對(duì)正則化增益陣（relative normalized gain array, RNGA），Xiong等[14]提出了有效相對(duì)增益陣（effective relative gain array, ERGA），羅雄麟等[15]提出了動(dòng)態(tài)相對(duì)增益陣（dynamic-relative gain array,dynamic-RGA），任麗紅等[16]結(jié)合穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)信息提出了相對(duì)能量增益陣（relative energy gain array,REGA）。RNGA利用對(duì)象的單位階躍響應(yīng)獲得動(dòng)態(tài)信息，采用誤差積分指標(biāo)來評(píng)價(jià)過程的動(dòng)態(tài)特性，因此在系統(tǒng)出現(xiàn)衰減振蕩而使正負(fù)偏差相抵時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)不合理配對(duì)，并且RNGA沒有考慮到平均停留時(shí)間（average residence time）時(shí)滯后對(duì)系統(tǒng)變量配對(duì)的影響，因此這種方法不適用于大滯后過程。ERGA是頻域上的一種選擇方法，需要通過截止頻率計(jì)算，當(dāng)分別選擇相角穿越頻率和帶寬頻率作為截止頻率時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)不同配對(duì)結(jié)果。REGA通過定義能量消耗大小來表示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，采用平方誤差積分指標(biāo)來評(píng)價(jià)過程的動(dòng)態(tài)特性，這種方法適用于多變量時(shí)滯系統(tǒng)，彌補(bǔ)了RNGA的缺點(diǎn)，相對(duì)而言，使配對(duì)更為準(zhǔn)確。RGA也被推廣到不確定多變量系統(tǒng)[17-22]中，Yu等[23]通過RGA對(duì)系統(tǒng)的魯棒性進(jìn)行分析。許鋒等[24]提出相對(duì)頻率增益陣，在處理大純滯后過程、積分過程以及不穩(wěn)定過程等時(shí)具有較大優(yōu)勢(shì)。

隨著流程工業(yè)的發(fā)展，生產(chǎn)過程中越來越多出現(xiàn)高維多變量系統(tǒng)，并且經(jīng)常出現(xiàn)輸入與輸出維數(shù)不相等的非方系統(tǒng)。Chang等[25]將 RGA推廣到非方系統(tǒng)中得到非方相對(duì)增益（non-square relative gain array, NRGA），Skogestad等[26]總結(jié)了 NRGA的性質(zhì)，任麗紅等[27]基于REGA提出了非方相對(duì)能量增益矩陣（non-square relative energy gain array,NREGA）方法。目前對(duì)非方系統(tǒng)的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，一般通過增加或減少輸入輸出變量的個(gè)數(shù)，將非方系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為方系統(tǒng)，再進(jìn)行控制結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。然而在進(jìn)行系統(tǒng)方形化時(shí)，加入非必要的輸出變量或輸入變量會(huì)使成本增加，減少輸出變量會(huì)使系統(tǒng)的反饋信息變少，而減少輸入變量又會(huì)降低系統(tǒng)的可操控性。因此，如果直接在非方系統(tǒng)上設(shè)計(jì)分散PID控制系統(tǒng)將比在方化后的系統(tǒng)上進(jìn)行設(shè)計(jì)更加可取，并且在某些簡(jiǎn)單控制系統(tǒng)無法滿足系統(tǒng)的控制性能要求，同時(shí)又沒有必要運(yùn)用先進(jìn)控制系統(tǒng)的情況下，設(shè)計(jì)復(fù)雜控制系統(tǒng)最為合適。

本研究提出一種適用于非方系統(tǒng)的平均頻域相對(duì)增益陣，稱作平均頻域 NRGA?；?RGA、NRGA和平均頻域NRGA，針對(duì)輸出變量多于輸入變量的非方系統(tǒng)，也稱為瘦系統(tǒng)，提出了一種新的控制結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，利用上述關(guān)聯(lián)分析工具對(duì)瘦系統(tǒng)進(jìn)行變量分析和配對(duì)，實(shí)現(xiàn)串級(jí)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，大大提高了控制速度，并且控制性能良好。

1 平均頻域NRGA

1.1 平均頻域NRGA的定義

假設(shè)多輸入多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為

其中，當(dāng)l≠m時(shí)系統(tǒng)即為非方系統(tǒng)。將時(shí)域NRGA推廣到頻域，得到頻域NRGA為

其中，Λ(ω)表示 G(s)的頻域 NRGA，G+(jω)表示 G(s)的偽逆，?表示Schur乘積，即相同位置的元素相乘。因?yàn)棣?ω)為頻率ω的函數(shù)，將Λ(ω)對(duì)頻率ω取積分均值，可以得到平均頻域NRGA

式(3)中，積分下限ω0的取值為0，積分上限ωn一般取截止頻率。

與NRGA相比，平均頻域NRGA考慮了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，在選擇響應(yīng)速度快的變量時(shí)具有很大的優(yōu)勢(shì)。

1.2 平均頻域NRGA的性質(zhì)

Skogesta等[26]提出，當(dāng)系統(tǒng)G(s)為l×m維時(shí)，利用奇異值分解（SVD）將其分解為G=UΣVH，其中U為GGH特征向量組成的矩陣，V為GHG特征向量組成的矩陣，由于有r=rank(G)≤min(l, m)個(gè)非零奇異值，并且只有非零奇異值對(duì)總體結(jié)果才有貢獻(xiàn)，因此 G的 SVD可以寫成簡(jiǎn)化型 SVD，即其中Ur是矩陣U的前r列，包含了G的前r個(gè)輸出奇異向量，Vr是矩陣V的前r列，包含了G的前r個(gè)輸入奇異向量。

平均頻域NRGA基于NRGA和平均頻域RGA提出，因此具有和NRGA及平均頻域RGA相似的性質(zhì)[24-26]：

l＞m時(shí)的非方系統(tǒng)稱為瘦系統(tǒng)，當(dāng)瘦系統(tǒng)滿足列滿秩時(shí)，有

（1）平均頻域NRGA的每列元素和的模為1；

（2）平均頻域 NRGA第 i行元素之和的模是Ur的第i行2范數(shù)的平方，即

其中，Ur包含了G的前r個(gè)輸出奇異向量，ei是關(guān)于輸入 yi的 l×1基向量，ei=[0…010…0]T，其中 1出現(xiàn)在第i個(gè)位置。

l＜m時(shí)的非方系統(tǒng)稱為胖系統(tǒng)，當(dāng)胖系統(tǒng)滿足行滿秩時(shí)，有

（1）平均頻域NRGA的每行元素和的模為1；

（2）平均頻域 NRGA第 j列元素之和的模是Vr的第j行2范數(shù)的平方，即

其中，Vr包含了G的前r個(gè)輸入奇異向量，ej是關(guān)于輸入uj的m×1基向量，ej=[0…010…0]T，其中1出現(xiàn)在第j個(gè)位置。

根據(jù)上列性質(zhì)，提出了一種控制結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法。

（1）檢查系統(tǒng)的能控性。對(duì)于一個(gè)l×m維多變量系統(tǒng)，當(dāng)采用完全分散控制時(shí)，要保證系統(tǒng)的能控性，必須滿足l≤m[26]。但提出的新的復(fù)雜控制策略中，由于采用串級(jí)控制回路和單回路控制結(jié)合的方案，該方案的極限情況是所有回路都采用串級(jí)控制回路，因此滿足系統(tǒng)能控性的條件是主副被控變量分別獨(dú)立可控，即滿足l≤2m。對(duì)于l＞2m的系統(tǒng)則無法直接進(jìn)行復(fù)雜控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，需要先根據(jù)輸出變量對(duì)系統(tǒng)的重要性以及是否易于測(cè)量，通過控制是否可以“鎮(zhèn)定”對(duì)象等條件[26]選擇 l≤2m個(gè)，再進(jìn)行復(fù)雜控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

（2）利用瘦系統(tǒng)平均頻域NRGA的每列元素和的模為1，而每行元素和的模小于等于1的性質(zhì)，選取平均頻域NRGA中行和的模值更接近于1的對(duì)應(yīng)的l-m個(gè)輸出，組成新系統(tǒng)。由于平均頻域NRGA是考慮了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的一種變量配對(duì)方法，因此行和的模值更接近于1的輸出，其響應(yīng)速度越快，越適合作為串級(jí)中的副被控變量。在該新系統(tǒng)中，計(jì)算NRGA，選擇最接近1的對(duì)應(yīng)輸入輸出變量組成配對(duì)。

（3）對(duì)配對(duì)完成的回路進(jìn)行控制器參數(shù)設(shè)計(jì)，將其輸出分別看作在步驟（2）中未被選擇的輸入變量不做轉(zhuǎn)化，重新排列成 ul-m+1,ul-m+2, …, um。對(duì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)進(jìn)行相應(yīng)轉(zhuǎn)換，具體轉(zhuǎn)換方法將在2.3節(jié)中說明。

（5）兩步分別配對(duì)完成后，如果有兩個(gè)輸出變量配對(duì)到同一個(gè)輸入變量上，則對(duì)該輸入和兩個(gè)輸出變量進(jìn)行串級(jí)控制結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。步驟（2）中被選擇的靈敏度高的輸出變量作為副回路被控變量，步驟（4）中被選擇的靈敏度低的輸出變量作為主回路被控變量。

2 瘦系統(tǒng)的復(fù)雜控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

2.1 串級(jí)控制系統(tǒng)

串級(jí)控制系統(tǒng)[28-31]由主副兩個(gè)控制器串聯(lián)組成，主控制器的輸出作為副控制器的給定值，副控制器的輸出作為操作變量，來實(shí)現(xiàn)對(duì)主被控變量的定值控制，其控制原理方框圖如圖 1所示。其中ym(s)、ys(s)分別為主、副被控變量；Gc1(s)和 Gc2(s)分別為主、副控制器的傳遞函數(shù)；Gv(s)為控制閥的傳遞函數(shù)；Gp1(s)和Gp2(s)分別為主、副對(duì)象的傳遞函數(shù)；H1(s)和H2(s)分別為主、副被控變量變送環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)；F1和F2分別為進(jìn)入主、副被控對(duì)象的擾動(dòng)；Gf1(s)和Gf2(s)分別為主、副回路擾動(dòng)通道的傳遞函數(shù)。

圖1 串級(jí)控制系統(tǒng)Fig.1 Cascade control system

串級(jí)控制系統(tǒng)有2個(gè)被控變量，1個(gè)操作變量，屬于瘦系統(tǒng)。主被控變量是反映產(chǎn)品質(zhì)量或生產(chǎn)運(yùn)行的主要工藝變量，控制系統(tǒng)的目的在于穩(wěn)定這一變量，使其等于工藝規(guī)定的給定值，副被控變量的設(shè)置是為提高主被控變量的控制質(zhì)量服務(wù)的，通過引入副回路可以改善主回路的特性，使控制過程加快，迅速克服干擾對(duì)主被控變量的影響，實(shí)現(xiàn)對(duì)干擾的超前控制。常規(guī)的非方系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法往往在方形化時(shí)刪除其中一個(gè)被控變量，沒有將所有變量進(jìn)行反饋，這是不合理的。

2.2 均勻控制

均勻控制是一種為了平衡各變量的穩(wěn)定性而設(shè)計(jì)的協(xié)調(diào)控制方案。在工業(yè)流程中，生產(chǎn)設(shè)備往往聯(lián)系緊密，前一工藝對(duì)后續(xù)生產(chǎn)過程有著很大的影響，而對(duì)于輸入變量少于輸出變量的瘦系統(tǒng)而言，根據(jù)傳統(tǒng)方化系統(tǒng)的方法，必有若干個(gè)被控變量會(huì)受其余變量的影響一直波動(dòng)，無法得到控制和穩(wěn)定。多變量的串級(jí)控制系統(tǒng)則將這些無法得到的控制的被控變量作為串級(jí)控制副被控變量，使其快速得到穩(wěn)定，避免其對(duì)其他重要被控變量的影響，達(dá)到均衡系統(tǒng)所有被控變量的目的，起到均勻控制的作用。

2.3 瘦系統(tǒng)的復(fù)雜控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

對(duì)于一般多變量系統(tǒng)，根據(jù)工藝過程可以將被控變量劃分為重要變量和次要變量。重要變量一般是對(duì)生產(chǎn)過程或者產(chǎn)品質(zhì)量影響較大的變量，如壓力、溫度等，次要變量指影響相對(duì)較小的變量，如流量等。

對(duì)于輸出變量多于輸入變量的瘦系統(tǒng)，如果僅設(shè)計(jì)都為單回路的簡(jiǎn)單控制系統(tǒng)，往往很難對(duì)所有輸出變量進(jìn)行有效控制，總是有若干個(gè)輸出變量未納入反饋，因此系統(tǒng)無法滿足控制要求。而串級(jí)系統(tǒng)由于存在主、副回路，可以使用一個(gè)操作變量和兩個(gè)被控變量，兼顧重要變量和次要變量的控制要求，因此可以應(yīng)用到輸入變量比輸出變量少的瘦系統(tǒng)中。為了方便，以下都省略符號(hào)s。

假設(shè)系統(tǒng)為 l×m 維，l≤2m。單回路控制記做{yi～uj}，串級(jí)回路記做{yi1～(yi2～uj)}，其中 yi2為副被控變量，yi1為主被控變量，單獨(dú)出現(xiàn)yi表示該變量沒有得到控制。由于系統(tǒng)是l×m維，因此在傳統(tǒng)的方化系統(tǒng)方法中必有l(wèi)-m個(gè)輸出無法得到控制。

系統(tǒng)的矩陣為

由于第 1步配對(duì)中主要挑選響應(yīng)速度最快的l-m個(gè)輸出變量，而平均頻域NRGA考慮了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，能很好地滿足需求，因此該步中使用平均頻域NRGA對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析。

對(duì)系統(tǒng)G1采用NRGA方法進(jìn)行輸入輸出變量配對(duì)。將NRGA陣p行元素中最接近1的元素對(duì)應(yīng)的列記作qp，其中p=1, 2, …, l-m，于是得到配對(duì)的輸入輸出對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)記作gpqp。原系統(tǒng)G的第qp列中未得到配對(duì)的其余元素可以表示為giqp，其中i=1,2, …, l-m，i≠p。此時(shí)系統(tǒng)G1中的被控變量都為響應(yīng)較快的被控變量，應(yīng)作為串級(jí)中的副被控變量。

配對(duì)完成后，對(duì)相應(yīng)回路進(jìn)行控制器設(shè)置，一般副控制器只含比例環(huán)節(jié)，假設(shè)副回路實(shí)現(xiàn)理想控制，對(duì)與l-m個(gè)輸出變量配對(duì)成功的輸入變量進(jìn)行重新定義，新定義后的輸入變量記作,, …,，其中

設(shè)回路中的控制器參數(shù)依次為kc1, kc2, …, kc(l-m)，則本步配對(duì)完成后的閉環(huán)回路的等效傳遞函數(shù)為

當(dāng)一個(gè)回路存在多個(gè)被控變量，并且副回路已經(jīng)進(jìn)行等效計(jì)算，輸入變量已經(jīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，主被控對(duì)象的傳遞函數(shù)應(yīng)為副被控變量傳遞函數(shù)和主被控變量傳遞函數(shù)的比值，即

而對(duì)于剩余的未進(jìn)行轉(zhuǎn)化的輸入變量 ul-m+1,ul-m+2, …, um，對(duì)應(yīng)傳遞函數(shù)不變，即

即j依次取1, 2, …, m中除去qp的所有列，其中p=1,2, …, l-m；i=1, 2, …, l。

例如，在 4×3系統(tǒng)中，若得到{y1～u1}，并且控制器參數(shù)為kc1，則傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為

令轉(zhuǎn)化后的輸入變量為

信息傳播理論認(rèn)為，溝通過程中溝通主體同時(shí)進(jìn)行著信息的發(fā)送和接收，溝通本身是一個(gè)循環(huán)往復(fù)的過程，單方向傳播路線會(huì)影響交互的效果，反饋在信息傳播過程中扮演了非常重要的角色。即時(shí)的反饋能夠帶來更高的受眾參與度以及更強(qiáng)的顧客互動(dòng)性，這使得用戶能夠更加自如地表達(dá)交換自己的感受和見解，也就滿足了人們情感宣泄的需要。相比于異步溝通而言，同步溝通模式中，信息溝通是及時(shí)的、快節(jié)奏的，互動(dòng)雙方能夠給予即時(shí)的反饋。而在異步溝通模式中，溝通主體的交流頻率則較低。[8]可見，同步溝通所帶來的即時(shí)反饋能夠促使個(gè)體更加樂意進(jìn)行自我表露。

對(duì)應(yīng)于新的輸入變量u'，第1步配對(duì)后剩余的輸出變量組成新的m×m系統(tǒng)G2

由于此步配對(duì)完成后的輸出變量是作為串級(jí)控制回路中的主被控變量或單回路中的被控變量，因此不需要考慮變量響應(yīng)快慢問題，為了計(jì)算方便，可以利用RGA進(jìn)行輸入輸出變量配對(duì)。

兩步分別配對(duì)完成后，對(duì)具有相同對(duì)應(yīng)輸入變量的兩個(gè)輸出變量進(jìn)行串級(jí)控制結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。第1步選擇的靈敏度高的輸出變量作為副回路被控變量，第2步選擇的輸出變量作為主回路被控變量。

綜上所述，瘦系統(tǒng)串級(jí)控制結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法如下。

（1）檢查系統(tǒng)的能控性。

（2）計(jì)算系統(tǒng)的平均頻域NRGA，選取平均頻域NRGA中行和的模最接近于1的對(duì)應(yīng)的l-m個(gè)輸出，即響應(yīng)速度最快的變量，與所有輸入變量組成新的系統(tǒng)。在該系統(tǒng)中，計(jì)算NRGA，選擇NRGA中最接近1的元素對(duì)應(yīng)輸入輸出變量組成配對(duì)，此時(shí)配對(duì)完成的變量將組成串級(jí)控制中的副回路。

（3）對(duì)配對(duì)完成的回路進(jìn)行控制器參數(shù)設(shè)計(jì)，定義配對(duì)成功的輸入變量為新的輸入變量,, …,，未配對(duì)成功的依舊為ul-m+1, ul-m+2, …,。對(duì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)進(jìn)行相應(yīng)轉(zhuǎn)換。

3 實(shí)例分析

本節(jié)將對(duì)兩個(gè)輸出變量維數(shù)多于輸入變量維數(shù)的非方系統(tǒng)使用2.3節(jié)中的方法進(jìn)行控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，例1主要說明該控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)法的均勻控制效果，例2主要說明串級(jí)控制效果。

例1：DL精餾塔系統(tǒng)。由Doukas等[30]提出的分離苯、甲苯和二甲苯的混合物的裝置如圖2所示。表1為DL精餾塔系統(tǒng)各變量的定義，各輸入和各輸出之間的傳遞函數(shù)。DL精餾塔系統(tǒng)的主要目的為分離苯、甲苯和二甲苯的混合物，主要產(chǎn)品為純度較高的苯和二甲苯，精餾塔頂部產(chǎn)品為苯，底部產(chǎn)品為二甲苯，側(cè)線的主要產(chǎn)品為甲苯，需要得到控制的是3個(gè)產(chǎn)品流中的4個(gè)雜質(zhì)的濃度，y3為側(cè)線中苯的濃度，y4為側(cè)線流中二甲苯的濃度，操縱變量只有3個(gè)，分別為再沸器效率，回流比和側(cè)線流量。系統(tǒng)滿足能控性條件 l≤2m，其中 l為輸出變量個(gè)數(shù)，m為輸出入變量個(gè)數(shù)，因此可以直接進(jìn)行復(fù)雜控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

表1 示例系統(tǒng)1的傳遞函數(shù)Table 1 Transfer function of drill 1

計(jì)算系統(tǒng)平均頻域NRGA陣

圖2 DL精餾塔Fig.2 DL distillation column

計(jì)算系統(tǒng)的NRGA陣

得到合理的配對(duì)：{y4～u1}。由于此例中原系統(tǒng)輸出個(gè)數(shù)l=4，輸入個(gè)數(shù)m=3，因此gpqp中p的取值為1，根據(jù)NRGA1得到q的取值也為1，于是在新系統(tǒng)G1(s)中的g11，對(duì)應(yīng)于原系統(tǒng)G(s)的g41，即為2.3節(jié)中定義的gpqp。對(duì)y4回路進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，得到kc1=-1，根據(jù)2.3節(jié)中的式(11)和式(12)得到系統(tǒng)新的傳遞函數(shù)為

下面的步驟確定了應(yīng)該設(shè)計(jì)成串級(jí)的回路。與式(15)相對(duì)應(yīng)，此例中剩余系統(tǒng)為由被控變量 y1、y2、y3和新的操作變量構(gòu)成的系統(tǒng)

將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得到

計(jì)算G2(0)的RGA陣

同理根據(jù)RGA配對(duì)準(zhǔn)則，得到{y1～u3, y2～u2,y3～u1}的配對(duì)。因此，y3～(y4～u1)將組成串級(jí)控制回路，y4為副被控變量，y3為主被控變量。由以上兩步綜合得到多變量串級(jí)控制系統(tǒng)合理的配對(duì)：{y1～u3, y2～u2, y3～(y4～u1)}。而傳統(tǒng)的方法是直接利用NRGA對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行方化，計(jì)算系統(tǒng)NRGA

矩陣行和：0.9985, 1.0000, 0.0301, 0.9715；矩陣列和都為1。得到配對(duì)為{y1～u3, y2～u2, y3, y4～u1}。

由于y3和y4的重要程度沒有太大區(qū)分，因此為了方便比較，令完全簡(jiǎn)單單回路控制系統(tǒng)為{y1～u3,y2～u2, y3～u1, y4}。

利用MATLAB/Simulink搭建多變量控制系統(tǒng)，控制回路配對(duì)為{y1～u3, y2～u2, y3～(y4～u1)}，即對(duì)y1和y2分別進(jìn)行單回路控制，而y4作為副被控變量和y3主被控變量構(gòu)成串級(jí)控制。而采用一般方法對(duì)系統(tǒng)方化后進(jìn)行簡(jiǎn)單單回路控制時(shí)的系統(tǒng)為{y1～u3, y2～u2, y3～u1, y4}，即對(duì) y1、y2和 y3分別進(jìn)行單回路控制，而y4未受到控制。當(dāng)u2單位階躍變化時(shí)，對(duì)比兩者控制效果，仿真結(jié)果如圖3所示。圖中實(shí)線為采用 NRGA對(duì)非方多變量系統(tǒng)進(jìn)行控制配對(duì)時(shí)，多變量均勻多回路控制系統(tǒng)的仿真結(jié)果，虛線為采用系統(tǒng)方化法進(jìn)行控制變量配對(duì)時(shí)，多變量完全單回路控制系統(tǒng)的仿真結(jié)果。

多變量串級(jí)控制系統(tǒng)中非串級(jí)回路操作變量設(shè)定值的改變給串級(jí)回路帶來了擾動(dòng)，由圖3可知，系統(tǒng)的響應(yīng)速度非?？?。由于加入了串級(jí)控制，多變量串級(jí)控制的控制速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于采用方化系統(tǒng)法進(jìn)行完全單回路控制時(shí)的控制速度，y4尤為明顯，這從圖3(d)中可以看出。由于多變量串級(jí)控制系統(tǒng)中y4響應(yīng)非常迅速，并馬上穩(wěn)定，因此避免了對(duì)其他被控變量的影響，使得其余被控變量的控制速度和控制精度也有顯著提升，于是串級(jí)控制系統(tǒng)中被控變量y1、y2、y3和y4都得到了控制，并且達(dá)到了穩(wěn)定，即各變量得到了均勻控制。而在采用一般方化法進(jìn)行完全單回路控制時(shí)，由于未對(duì)y4進(jìn)行控制，因此該變量在仿真時(shí)長(zhǎng)內(nèi)始終處于波動(dòng)狀態(tài)。因此，本示例說明使用本控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，能達(dá)到均勻控制的目的。

表2 示例系統(tǒng)2的傳遞函數(shù)Table 2 Transfer function of drill 2

圖3 u2單位階躍變化時(shí)，輸出y分別在串級(jí)多回路控制系統(tǒng)中和簡(jiǎn)單單回路控制系統(tǒng)中的仿真結(jié)果Fig.3 y in multi-loop control with cascade control and without cascade control while adding unit step change on u2

圖4 Shell系統(tǒng)Fig4 Shell system

例2：Shell系統(tǒng)。Shell系統(tǒng)是由Prett等[31]提出的一套重油分餾塔的線性模型，模擬的過程包括1個(gè)反應(yīng)器段、4個(gè)換熱器、1個(gè)側(cè)面汽提器、1個(gè)產(chǎn)品進(jìn)料和3個(gè)產(chǎn)品出料線。圖4中描述了該系統(tǒng)的主要工藝過程。表2為Shell系統(tǒng)各變量的定義，各輸入和各輸出之間的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)滿足能控性條件l≤2m，其中l(wèi)為輸出變量個(gè)數(shù)，m為輸出入變量個(gè)數(shù)，因此可以直接進(jìn)行復(fù)雜控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

計(jì)算系統(tǒng)G1(s)的NRGA陣

得到合理的配對(duì)：{y3～u1, y4～u2}。由于此例中原系統(tǒng)輸出個(gè)數(shù) l=5，輸入個(gè)數(shù) m=3，因此 gpqp中 p應(yīng)分別取1和2。當(dāng)p的取1時(shí)，根據(jù)NRGA1得到q的取值為1；當(dāng)p的取2時(shí)，根據(jù)NRGA1得到q的取值為2。于是在新系統(tǒng)G1(s)中的g11和g22，對(duì)應(yīng)于原系統(tǒng)G(s)中的g31和g42，即為2.3節(jié)中定義的gpqp。

對(duì) y3和 y4回路分別進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，得到kc1=0.24，kc2=0.3，根據(jù) 2.3節(jié)中的式(11)和式(12)得到系統(tǒng)新的傳遞函數(shù)為

下面的步驟確定了應(yīng)該設(shè)計(jì)成串級(jí)的回路。

與式(15)相對(duì)應(yīng)，此例中剩余系統(tǒng)為由被控變量y1、y2、y5和新的操作變量構(gòu)成的系統(tǒng)

計(jì)算G2(0)的RGA陣

同理根據(jù)RGA配對(duì)準(zhǔn)則，得到{y1～u1, y2～u2, y5～u3}的配對(duì)。因此，y1～(y3～u1)和 y2～(y4～u2)將組成串級(jí)控制回路，y3和y4分別為兩個(gè)串級(jí)回路的副被控變量，y1和y2分別為兩個(gè)串級(jí)回路的主被控變量。綜上得到配對(duì)為{ y1～(y3～u1), y2～(y4～u2),y5～u3}。而傳統(tǒng)的方法是直接利用NRGA對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行方化，計(jì)算系統(tǒng)NRGA

矩陣行和：0.446, 0.995, 0.327, 0.273, 0.959; 矩陣列和：1.000, 1.000, 1.000。因此選取由y1、y2、y5和操作變量構(gòu)成方形系統(tǒng)G(s)

計(jì)算系統(tǒng)G(s)的RGA陣

由此得到配對(duì)：{y1～u1, y2～u2, y5～u3}。

圖5為示例2的仿真結(jié)果。由圖5可知，不論是y1、y2還是y5，多變量串級(jí)控制系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間都明顯小于一般方化法得到的完全單回路控制系統(tǒng)。也就是說，對(duì)于系統(tǒng)中單回路操作變量設(shè)定值的改變帶來的擾動(dòng)，多變量串級(jí)控制系統(tǒng)的抑制速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于完全單回路控制系統(tǒng)。此外，由于多變量串級(jí)控制系統(tǒng)對(duì)所有輸出變量都進(jìn)行了反饋，因此控制更為全面和準(zhǔn)確，控制效果也有很大的提升。

4 結(jié) 論

在過程控制領(lǐng)域，系統(tǒng)的優(yōu)化得到了很多關(guān)注，然而大部分優(yōu)化都是針對(duì)控制變量多于被控變量的胖系統(tǒng)提出的，對(duì)于輸入變量少于輸出變量的瘦系統(tǒng)的優(yōu)化相對(duì)來說進(jìn)展十分緩慢，目前對(duì)于瘦系統(tǒng)的優(yōu)化控制理論大多依舊基于早前的系統(tǒng)方化法和控制器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)法，而針對(duì)系統(tǒng)本身的優(yōu)化關(guān)注非常少。

圖5 u3單位階躍變化時(shí)，輸出y分別在串級(jí)多回路控制系統(tǒng)中和簡(jiǎn)單單回路控制系統(tǒng)中的仿真結(jié)果Fig.5 y in multi-loop control with cascade control and without cascade control while adding unit step change on u3

針對(duì)輸出變量多于輸入變量的非方系統(tǒng)本身提出了一種新的控制結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法。對(duì)輸出變量多于輸入變量的瘦系統(tǒng)采用了串級(jí)控制回路和單回路控制結(jié)合的方法，串級(jí)控制系統(tǒng)較單回路系統(tǒng)而言，有效利用了所有的輸出反饋信息，使得系統(tǒng)設(shè)計(jì)更為全面，控制更為準(zhǔn)確。這種方法不僅可以用于已知工藝過程的系統(tǒng)，也可以用于只有傳遞函數(shù)已知的系統(tǒng)。研究結(jié)果表明，使用這種方法對(duì)非方系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)雜控制結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，不僅能夠得到合理的變量配對(duì)，而且控制速度顯著提升，控制精度也有所提高。

[1] ASTROM K J, JOHANSSON K H, WANG Q G. Design of decoupled PI controllers of two-by-two systems[J]. IEEE Proceedings Control Theory and Application, 2002, 149(1)： 74-81.

[2] TAKAGI K, NISHIMURA H. Control of a jib-type crane mounted on a flexible structure[J]. IEEE Transaction on Control System Technology, 2003, 11(1)： 32-42.

[3] TAN W, MARQUEZ H J, CHEN T, et al. H1 control design for an industrial boiler[C]// Proceedings of the American Control Conference (ACC), Arlington, USA, 2001.

[4] ASANO K, MORARI M. Interaction measure of tension-thickness control in tandem cold rolling[J]. Control Engineering Practice, 1998,6(8)： 1021-1027.

[5] NETT C N. Decentralized control system design for a variable-cycle gas turbine engine[C]// Proceedings of the 28th IEEE Conference on Decision and Control, Tampa, FL, USA, 1989.

[6] SKOGESTAD S, MORARI M. Implication of large RGA elements on control performance[J]. Industrial Engineering Chemistry Research, 1987, 26(11)： 2323-2330.

[7] NIEDERLINSKI A. A heuristic approach to the design of linear multivariable control systems[J]. Automatica, 1971, 7(7)： 691-701.

[8] BRISTOL E H. On a new measure of interaction for multivariable process control[J]. IEEE Transactions Automatic Control, 1966, 1(1)：133-134.

[9] WITCHER M, MCAVOY T J. Interacting control systems： steady state and dynamic measurement of interaction[J]. ISA Transactions,1977, 16(3)： 83-90.

[10] MCAVOY T, ARKUN Y, CHEN R, et al. A new approach to defining a dynamic relative gain[J]. Control Engineering Practice, 2003, 11(8)：907-914.

[11] GAGNEPAIN J P, SEBORG D E. Analysis of process interactions with application to multiloop control system design[J]. Industrial &Engineering Chemistry Process Design and Development, 1982,21(1)： 5-11.

[12] TUNG L S, EDGAR T F. Analysis of control-output interaction in dynamic systems[J]. AIChE Journal, 1981, 27(4)： 690-693.

[13] HE M J, CAI W J, NI W, et al. RNGA based control system configuration for multivariable process[J]. Journal of Process Control,2009, 19(7)： 1036-1042.

[14] XIONG Q, CAI W J, HE M J. A practical loop pairing criterion formultivariable process[J]. Journal of Process Control, 2005, 15(7)：741-747.

[15] 羅雄麟, 任麗紅, 周曉龍, 等. 常規(guī)控制系統(tǒng)配對(duì)設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)相對(duì)增益陣研究[J]. 化工自動(dòng)化及儀表, 2012, 39(3)： 295-300.LUO X L, REN L H, ZHOU X L, et al. Dynamic RGA for control system configuration of multivariable process[J]. Control and Instruments in Chemical Industry, 2012, 39(3)： 295-300.

[16] 任麗紅, 劉雨波, 羅雄麟, 等. 多變量時(shí)滯系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)分析與變量配對(duì)[J]. 化工自動(dòng)化及儀表, 2012, 39(6)： 743-746.REN L H, LIU Y B, LUO X L, et al. Association analysis and variable pairing for multivariable system with time delays[J]. Control and Instruments in Chemical Industry, 2012, 39(6)： 743-746.

[17] CHEN D, SEBORG D E. Relative gain array analysis for uncertain process models[J]. AIChE Journal, 2002, 48(2)： 302-310.

[18] KARIWALA V, SKOGESTAD S, FORBES J F. Relative gain array for normbounded uncertain systems[J]. Industrial and Engineering Chemistry Research, 2006, 45(5)： 1751-1757.

[19] KHAKI-SEDIGH A, MOAVENI B. Relative gain array analysis of uncertain multivariable plants[C]// Proceedings of the 7th European Control Conference, Cambridge, UK, 2003.

[20] KHAKI-SEDIGH A, MOAVENI B. Adaptive input-output pairing using online RGA identification[C]// Proceedings of the 1st African Control Conference, Cape Town, South Africa, 2003.

[21] MOAVENI B, KHAKI-SEDIGH A. On-line input-output pairing for linear and nonlinear multivariable plants using neural network[C]//Proceedings of the International Control Conference, Glasgow,Scotland, 2006.

[22] MOAVENI B, KHAKI-SEDIGH A. Further theoretical results on relative gain array for norm bounded uncertain systems[J]. Industrial and Engineering Chemistry Research, 2007, 46(24)： 8288-8289.

[23] YU C C, LUYBEN W L. Robustness with respect to integral controllability[J]. Industrial and Engineering Chemistry Research,1987, 26(5)： 1043-1045.

[24] 許鋒, 潘琦, 王一嵐, 等. 工業(yè)過程多變量系統(tǒng)常規(guī)控制結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的頻域方法[J]. 清華大學(xué)學(xué)報(bào), 2016, 5(4)： 448-452.XU F, PAN Q, WANG Y L, et al. Frequency domain design method for decentralized control of multivariable processes[J]. Journal of Tsinghua University (Sci. & Technol.), 2016, 5(4)： 448-452.

[25] CHANG J W, YU C C. The relative gain for non-square multivariable systems[J]. Chemical Engineering Science, 1990, 45(5)： 1309-1323.

[26] SKOGESTAD S, POSTLETHWAITE I. Multivariable Feedback Control： Analysis and Design[M]. New York： John Wiley & Sons,1996.

[27] 任麗紅, 羅雄麟, 劉雨波, 等. 一種新的變量配對(duì)方法及其在非方系統(tǒng)中的應(yīng)用[C]//第十屆智能控制與自動(dòng)化世界大會(huì), 中國(guó)北京,2012.REN L H, LUO X L, LIU Y B, et al. A new variable pairing method and its application in non-square multivariable systems[C]//Proceedings of the 10th World Congress on Intelligent Control and Automation, Beijing, China, 2012.

[28] 蔣慰孫, 俞金壽. 過程控制工程[M]. 北京： 中國(guó)石化出版社, 1999.JIANG W S, YU J S. Process Control Engineering[M]. Beijing： China Petrochemical Press, 1999.

[29] 王樹青, 戴連奎, 于玲. 過程控制工程[M]. 北京： 化學(xué)工業(yè)出版社, 2008.WANG S Q, DAI L K, YU L. Process Control Engineering[M].Beijing： Chemical Industry Press, 2008.

[30] DOUKAS N, LUYBEN W L. Control of sidestream columns separating ternary mixtures[J]. Automation in Petro-Chemical Industry, 1979, 61(4)： 1124-1133.

[31] PRETT D M, MORARI M. Shell Process Control Workshop[M].Stoneham： Butterworth Publishers, 1987.

Cascade control configuration design for non-square multivariable system of chemical processes

XU Feng, YUAN Weiwei, LUO Xionglin
(Department of Automation, China University of Petroleum, Beijing 102249, China)

Chemical processes are usually multivariable systems, which non-square system with more outputs than inputs is known as thin system. Till now, the most common method of designing control configuration for thin systems is to form square systems by increasing or decreasing variables such that only fully decentralized PID control could be achieved with one input pairing to one output. Some critical process variables cannot be used as controlled variables or non-critical variables cannot be included in feedback loops, so the control system often does not meet requirements. With introduction of a non-square gain array relative to average frequency, a method for designing cascade control configuration was proposed through analyzing variable pairing in thin systems. This method fully utilized feedbacks of all output variables without addition of new input variables, so system feedback was more complete and a cascade control was developed for both critical and non-critical variables. Two case study showed that this method achieved not only proper variable pairing but also good control performance especially in speed and efficiency of interference reduction.

process control; process systems; multivariable system; thin system; interaction analysis; variable pairing; cascade control system

date:2016-10-27.

XU Feng, xufeng@cup.edu.cn

supported by the Science Foundation of China University of Petroleum, Beijing (2462015YQ0510) and the National Natural Science Foundation of China (21676295).

TQ 021, TP 273

A

0438—1157（2017）07—2833—11

10.11949/j.issn.0438-1157.20161515

2016-10-27收到初稿，2017-04-10收到修改稿。

聯(lián)系人及第一作者：許鋒（1976—），男，博士，副教授。

中國(guó)石油大學(xué)（北京）科研基金項(xiàng)目（2462015YQ0510）；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（21676295）。