滿坤泉

案例描述：

數(shù)學是抽象的，生活是具體的，怎樣的操作才是真正有效的呢？下面以“找次品”（人教版五年級數(shù)學下冊第134頁—135頁例題1、 2）一課為例談談筆者對此的實踐與反思。

一、相聲引路，導入新課

師：（左手拿秤盤，右手敲著秤盤，走上講臺）同學們，我像老師嗎？

生1：你不像老師，像個賣糖的。

生2：你不像老師，你像一個推銷員。

生3：你不像老師，你像一個賣菜的。

……

師：哼！看來，我真的不像老師??！那就算老師中的次品？可以了吧?。ㄍ瑢W們哈哈哈地笑起來）

同學們，在工作中往往因為粗心或者質量等問題，使物品中混有比合格品“稍重一些”或“稍輕一些的物品”，這些 “稍重一些”或“稍輕一些的物品”就叫次品。這些混入的次品有的好找、有的不好找。但是無論怎樣，我們都需要把它找出來，像這類問題，我們把它叫做“找次品”。這節(jié)課，我們就來當好一名“質檢員”，利用天平秤來“找次品”。（板書課題：找次品）

二、實驗操作，感知策略

1.對3瓶進行實驗操作。

這里有3瓶木糖醇（出示三瓶木糖醇），其中一瓶被少裝了兩顆，怎樣才能把少裝了兩顆的那瓶（次品）找出來呢？

生：（學生齊答）可以秤秤看。

師：誰來秤一秤，最少需要秤幾次？

生：（邊演示邊說）一邊一瓶，如果平衡，那么第3瓶就是少裝的那瓶，如果不平衡，那么翹起來的那邊就是少裝的那瓶。

2.小組合作，對5瓶進行實驗操作。

師：剛才是在3瓶中找次品，3瓶太少了，如果是5瓶中混有1瓶次品（這瓶的質量輕一些）是不是還稱呢？至少稱幾次才能找到少裝的那瓶次品？下面就以小組為單位，先確定稱的方案，再動手操作。注意分工與合作，各個小組要安排好操作員、記錄員。（各小組用準備好的5個圓片代替木糖醇，在簡易天平上實驗教師巡視指導）

3.匯報交流。

生1：我們組先把5個圓片編上號，把1號放到天平一邊，再依次把其他圓片放到天平的另一邊。當放到3號時，天平不平衡，翹起的一邊就是次品，我們組秤了2次就找到了次品。

師：真是好運氣！如果排在最后一個圓片5號是次品，秤2次能找到次品嗎？

生：不能，要稱4次。

師：對，用這種方案，要保證能找到次品，就要稱4次。還有哪個組有不同方案嗎？

生2：把5個圓片分成3組，兩邊各放2個，天平剛好平衡，說明剩下的一個是次品。（師板書：方案一：5（2，2，1）——平衡，秤1次）

生3：萬一不平衡呢？

師：問得好！每稱一次，我們都要考慮到平衡與不平衡兩種情況。 如果不平衡，說明了什么？

生（齊答）：說明次品在翹起的2瓶中！

師：該怎么辦呢？

生4：就把翹起的這兩瓶分成兩份，再秤，又翹起的那邊就是次品。所以，秤2次就找出次品了。

師：用這種方案，要保證能找出次品，要稱幾次？

生（齊答）：2次。

師（追問）：要保證一定能找到次品，為什么要稱第2次？

生4：因為天平秤不平衡，就得再稱一次，才能找到次品。所以，要保證一定能找到次品，至少要秤2次。

師：天平秤平衡時，是不是最終只要稱1次就能保證找出次品呢？

生5：不是，那只是一種巧合。

……

其他小組又匯報出一些方案：

方案二：5（1，1，3）

方案三：5（1，1，1，1，1）-------（1，1）第1次

（1，1）------（1，1）第2次

師：以上稱的方法至少需要稱2次，而且以上三種方案的分組都分成幾份？（三份）。為什么不分成（3，2）或（4，1）兩份來稱呢？誰來說以說理由。

生：兩邊稱的瓶數(shù)不一樣，不能區(qū)分出次品。

師：也就是說，兩邊稱的瓶數(shù)不一樣，稱了也白稱。

4.小結。

同學們真了不起！又學會了從5個物品中找出1個稍輕的次品，大家能想到這么多稱的方案，老師真為你們感到驕傲！但老師要再次提醒同學們：每稱一次，必須要從天平秤的平衡與不平衡兩個角度來全面考慮，才能保證找到次品的次數(shù)最少哦！

三、深入探究，尋找策略

1.設計方案，簡潔記錄------對9瓶進行實驗操作。

師：同學們剛才在3個和5個物品中找出次品，表現(xiàn)都很好！現(xiàn)在的活動更具有挑戰(zhàn)性（出示例2：在9個零件里有1個是次品（次品重一些）至少要稱幾次？）。現(xiàn)在必須從9個物品中找到次品，至少要稱幾次？請大家動手試一試、想一想。設計出稱的方案，并用文字或圖示表示出來，要求要簡潔易懂哦！

2.同桌交流。

3.匯報反饋（教師根據(jù)學生的匯報，板書如下）：

9（1，1，1，1，1，1，1，1，1），至少稱4次；

9（2，2，2，2，1）——（2，2）平——（2，2）平，稱第2次；

（2，2）平——（2，2）不平——（1，1），稱第3次；

（2，2）不平——（1，1），稱第2次；

9（4，4，1）——（4，4）不平——（2，2）——（1，1），稱第3次；

（4，4）平，只稱1次；

9（3，3，3）——（3，3）不平——（1，1），稱第2次；

（3，3）平——（1，1），稱第2次。

師：還有沒有其他的辦法？如果沒有，一起看結果，哪一種最簡便？

生：平均分成3份，每份分成3個的最簡便。

師：是??！你看：

師：照此下去，如果物品是3的倍數(shù)，均分成3份都最簡嗎？以18為例，大家試一試。

4.再次設計方案對18進行實驗操作。

生：18（6，6，6）——6（3，3）——3（1，1，1），3次；

18（6，6，6）——6（2，2，2）——2（1，1），3次；

師：幾次？是否真的最少？用筆、紙找找，看一看還有無更少的？

生：18（6，6，6）——6（3，3）——3（1，1），3次；

18（2，2，2，2，2，2，2，2，2），5次；

18（8，8，2），4次；

18（3，3，3，3，3，3，4次；

18（9，9）——9（3，3，3）——3（1，1，1），3次。

師：利用天平來“找次品”，有這么多的方案！在這些方案里，要保證能找到次品，有的要稱3次，有的要秤4次……，為了更好觀察比較什么樣的方案更簡單，我們把這些稱的方案填在表里。大家找一找，哪種簡單？為什么？

5.觀察比較，總結策略。

（師生共同逐一填寫下表）

（1）第三、四兩列的優(yōu)化策略。

師：請同學們仔細觀察填表（只填倒數(shù)第二列），比較表中的數(shù)據(jù)，所測物“要稱的最少次數(shù)”與“分成的份數(shù)”有什么關系？你有什么發(fā)現(xiàn)？（同桌討論后匯報）

生1：我發(fā)現(xiàn)在兩種所測物要稱的最少次數(shù)中，都是平均分成了3份。

生2：我發(fā)現(xiàn)在兩種所測物要稱的最少次數(shù)中，平均分成了3份后，每份都是3的倍數(shù)。

生3：我還發(fā)現(xiàn)要想使稱的次數(shù)最少，所測物一定要分成3份最好。

……

師：對！在9個所測物、18個所測物中，最優(yōu)化的策略是把所測物平均分成3份。哪是為什么呢？我們來看表中9個所測物和18個所測物中的最后一列（教師指著各個方案的第二種方案講解）。

師：在9個和18個所測物中，第一次稱的時候，如果天平平衡，說明了什么？

生（齊答）：次品在剩下的幾個中。

師：也就是天平上的3個（所測物是18個時是6個）零件都是正品，次品就鎖定在剩下的3個（所測物是18個時是6個）中。這樣稱一次，就能排除6個零件（所測物是18個時是排除12個）。那么，如果天平不平衡呢？

生：次品在翹起的哪個秤盤中。

（2）第四、五列的優(yōu)化策略。

師：我們接著把表填完。（只填第五列）觀察表的最后這一列，觀察“所測物的最少次數(shù)”與“排除所測物的個數(shù)”之間有著怎樣的關系？你發(fā)現(xiàn)什么？

生1：每次排除的零件個數(shù)越多，所秤的次數(shù)就越少。

生2：我還發(fā)現(xiàn)每次排除的零件個數(shù)越少，所稱的次數(shù)就越多。

生3：我還發(fā)現(xiàn)有的方案雖然沒有平均分，但它也是分成了3份，這種方法可以排除的個數(shù)也比較多，稱的次數(shù)也是最少的。

師：你這個發(fā)現(xiàn)很好，而且很重要！但是，它排除的零件個數(shù)最多嗎？稱的次數(shù)最少嗎？

生：都不是。

師：對！那么，“所測物的最少次數(shù)”與“排除所測物的個數(shù)”以及“最優(yōu)化方案”之間到底有著怎樣的聯(lián)系呢？

生（齊答）：每次排除的零件個數(shù)越多，所秤的次數(shù)就越少，每次排除的零件個數(shù)越少，所秤的次數(shù)就越多一次排除的個數(shù)越少。

師：是??！每次對次品鎖定的范圍越大，則所需要稱的次數(shù)就會越少。那么，我們要對物品進行怎么樣的分組，才能使稱的次數(shù)最少呢？這里有什么樣的優(yōu)化方案？

生1：平均分成3份的最簡單、最優(yōu)化的方法。

小結：你說得非常好。我們把最熱烈的掌聲送給他！以后，在解決“找次品”這類問題時，一定要把所測物品平均分成3份，那就是最優(yōu)化的方法。但是，這種最優(yōu)化的策略如果遇到物品個數(shù)不能平均分成3份的，我們該怎么辦呢？

例如：8個零件中有一個稍重的次品，應怎樣分呢？

生：分成3份：3，3，2。（教師板書）：8（3，3，2）

……

師：我們仍然要把它分成3份，每份的數(shù)量仍然盡可能相差最小。也就是說：這種情況，我們不能把所測物平均分成3份，但是每份物品的個數(shù)卻很接近，像這種情況我們就叫它“盡量平均分”。以后，我們在找物品中的次品時，只要把物品平均分成3份，或盡量平均分成3份，使多的與少的一份只差1，就能用最少的次數(shù)保證找到次品，這就是找次品的最優(yōu)策略。

師：通過剛才的探索，你又知道些什么？

四、鞏固運用，深化策略（優(yōu)化）

出示課件：

1.有10瓶水，其中有9瓶質量相同，另有一瓶是鹽水，比其他的水略重一些，至少稱幾次能保證找出這瓶鹽水？稱2次有可能找出來嗎？

2.有15盒餅干，其中的14盒質量相同，另有1盒少了幾塊，如果用天平稱，至少稱幾次可以找出這盒餅干？

3.在12個零件里有1個是次品（次品重一些），用天平秤，至少稱幾次就一定能找出次品？

師：題中哪些是關鍵詞？各是什么意思？

生1：“至少”就是最少的意思。

生2：用最少的次數(shù)保證找到鹽水或者次品。

師：對！“至少”也就是要求我們用最優(yōu)化的策略來稱。這就要求我們在稱的時候必須要全面考慮，即要考慮到天平秤平衡的情況，同時也要考慮到天平秤不平衡的情況。

師：個人單獨嘗試后到黑板上來與同學們分享你們的分法。

生1：分成3份，10（3，3，4）——3（1，1，1）（師板書）。

生2：也是分成3份，即：15（5，5，5）——5（2，2，1）（師板書）。

生3：仍然把它平均分成3份，12（4，4，4）——4（1，1，2）——2（1，1）（教師板書）。

師：現(xiàn)在就請同學們選擇其中的一個問題，用優(yōu)化的策略，簡潔地說一說稱的過程。

課后反思：

1.挖掘教學資源，讓學生初步感知“找次品”策略的可操作性。

在日常生活中，雖說學生對“次品”這一概念并非一片空白，會從平時家長的一些談話中有所耳聞，但都停留在字面的感覺上，并沒有和數(shù)學產生聯(lián)系。因此，我的課堂教學便從“次品老師”引入課題，并且對次品做詳細的介紹，接著出示三瓶木糖醇中一瓶被少裝了兩顆，怎樣才能找出少裝了兩顆的那瓶呢（也就是次品）？學生回答“可以稱稱看”在讓學生操作實驗、親手稱一稱的過程中，學生感受到“3瓶木糖醇中有一瓶是次品、用秤稱一稱找次品的表象，建立了幫助學生形成初步的簡單策略。

2.動手操作，讓學生親歷“找次品”策略的多樣性。

本節(jié)課采用的歸納法在本質上是一種不完全歸納法。本課首先從所測物是3的倍數(shù)中找次品，讓學生經歷解決問題多樣性的數(shù)學分析模式，完善“找次品”的基本策略和方法。然后再逐步脫離具體的實物操作，讓學生獨立思考，采用圖示、文字列表的方式進行抽象的分析，得出“找次品”的多種策略，實現(xiàn)了從具體到抽象的過渡，讓學生進一步體會到解決問題策略的多樣性。在這一過程中，無論是讓學生“感知5瓶木糖醇中有一瓶是次品”，秤時策略的簡單多樣化，還是讓學生“感知9瓶木糖醇中有一瓶是次品”“18瓶木糖醇中有一瓶是次品”，稱時策略逐漸多樣的各個環(huán)節(jié)，都為學生提供足夠的動手操作、動腦思考、動眼觀察、動口表達、動耳傾聽的時間和空間，讓學生親歷“找次品”策略的多樣性，體驗“找次品”策略多樣性的形成過程，從而為學生后面總結規(guī)律優(yōu)化策略奠定了厚實的基礎。

3.總結規(guī)律，讓學生深化“找次品”策略的最優(yōu)化。

體會運用優(yōu)化的思想解決問題的有效性，這也是本課的重要目標。為了達成這一目標，本課設計了兩個大的問題來引導學生總結、探究規(guī)律。首先是請同學們仔細觀察填表（只填倒數(shù)第二列）、比較表中第三、四兩列數(shù)據(jù)之后提問：所測物“要稱的最少次數(shù)”與“分成的份數(shù)”有什么關系？你有什么發(fā)現(xiàn)？學生的回答是“我發(fā)現(xiàn)在兩種所測物要稱的最少次數(shù)中，都是平均分成了3份”。然后再讓學生接著把表填完。（只填第五列）觀察表的第三、第五列，“所測物的最少次數(shù)”與“排除所測物的個數(shù)”之間有著怎樣的關系？你發(fā)現(xiàn)什么？學生的回答是“每次排除的零件個數(shù)越多，所稱的次數(shù)就越少”“我還發(fā)現(xiàn)每次排除的零件個數(shù)越少，所稱的次數(shù)就越多”。

在列表比較的基礎上，從“排除”與“鎖定”的角度解釋最優(yōu)化策略，使學生探究并且得出“找次品”策略最優(yōu)化的結論，從而使學生從感性認識深化為理性認識。緊接著再讓學生經歷由一般到特殊的數(shù)學分析模式，從而完善“所測物不是3的倍數(shù)”找次品的基本策略和方法，最后讓學生鞏固并運用優(yōu)化策略解決問題。在學生總結與探究的過程中，始終在引導學生通過觀察、思考、比較、總結、歸納等進行數(shù)學思考，可謂層層遞進，而且體驗數(shù)學問題始終堅持時時有挑戰(zhàn)性、趣味性、探究性和有效性，這才是本課最重要的教學理念。

◇責任編輯：徐新亮◇

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