周淑芬

[摘 要] 《九章算術》是古中國甚至整個東方最早的、最全面的數(shù)學著作，《九章算術》的完成標志著具有中國特色的數(shù)學體系的建立，使古代東方數(shù)學達到了新的高度。在現(xiàn)行的小學數(shù)學教材中均有提及《九章算術》，因此，就其內容與小學數(shù)學教學內容的一致性出發(fā)，論述《九章算術》適用于小學數(shù)學教學的相關內容選擇。

[關 鍵 詞] 《九章算術》；小學數(shù)學；教學內容

[中圖分類號] G623 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）32-0116-02

近年來，隨著人們對數(shù)學學科中人文價值的關注，數(shù)學歷史文化與數(shù)學教育的研究也越來越受重視。自數(shù)學史與數(shù)學教學關系國際研究小組（即HPM）成立以來，如何在課堂中融入一定量的數(shù)學史內容逐漸成為熱點課題。將數(shù)學史內容融入課堂教學符合新課程理念要求，在《義務教育課程標準（2011）》實行建議中提出，作為義務教育教材的一部分，數(shù)學文化的教育應在整套教材中有效滲透。為了實現(xiàn)此目標，在教學過程中，為了使學生能夠更加了解數(shù)學在社會發(fā)展中的重要地位，進而激發(fā)學生學習數(shù)學的激情，應當對相關背景、實際應用方式、數(shù)學文化發(fā)展史予以介紹。本文主要探討《九章算術》適用于小學數(shù)學教學的內容。

一、《九章算術》內容編排

若把“原本”比“算術”，其中最重要的是《九章》。在世界范圍內，數(shù)學可以被分解成為兩大類：第一類是歐幾里得在《幾何原本》所提出的邏輯演繹類，第二類是《九章算術》中所提出的機械算法體系。《九章算術》被認為是當時最具有代表性的應用數(shù)學，具有至高無上的社會地位，在唐朝被列為數(shù)學教科書，并尊為古代數(shù)學群經之首，由此其歷史地位可見一斑。因此，本文認為將《九章算術》融于小學數(shù)學教學在培養(yǎng)學生民族自豪感、激發(fā)學生對數(shù)學的興趣和熱愛方面極具必要性。

第一章是方田，38題，闡述了平面圖形面積的計算方式，包括矩形、三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形、圓環(huán)等八種圖形面積的計算方法，如求長方形面積時，“術曰：廣從相乘得積步”?！皬V”即寬，“從”即長，“積步”即邊長以步為單位的面積的平方數(shù)；求三角形面積時，“半廣以乘正從”，“廣”即三角形底邊長，“正從”指的是三角形的高。此外，還系統(tǒng)闡述了如何對分數(shù)進行四則運算、如何求取分數(shù)最大公約數(shù)的計算方法。當分數(shù)分子、分母同為偶數(shù)時，可以先分子、分母同時除以2，或者把分子與分母分開，用較小的數(shù)減去較大的數(shù)后，輾轉做減法，求取最大公約數(shù)，再用求得的最大公約數(shù)與分子、分母做約分計算。

第二章是栗米，46題，主要講述了各種谷物的比率以及比例算法?，F(xiàn)今所講的四項比例算法在古代稱為“今有術”，其運算法則“以所有數(shù)乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一”，用公式表達為：所求數(shù)=所有數(shù)×所求率÷所有率。

第三章是衰分，20題，主要講述以分配問題為中心的配分比例問題，提出比例分配法則，稱“衰分術”，“曰：各置列衰，副并為法，以所分乘未并者各自為實，實如法而一。不滿法者，以法命之”，將所分配的比率按次序排列出來，另取眾比率之和作為除數(shù)，以所分的總數(shù)乘以各自分配比率，最后各自做被除數(shù)。以除數(shù)去除被除數(shù)，除之不盡，則得分數(shù)。

第四章是少廣，24題，主要講述了包括已知正方形在內矩形的面積，求一邊之長等問題，或者已知立方體的表面積求其邊長的開方法則。

第五章是商功，28題，講述了以立體問題為主的各種形體體積的計算公式，包括正四棱柱、圓柱、圓臺、正圓錐等十種形體的體積計算公式。例如“城、垣、堤、溝、塹、渠（皆為等腰梯形的直棱柱），皆同術。術日：并上下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺”即梯形面積=（上廣+下廣）÷2×高，而等腰梯形的直棱柱的體積=梯形面積×袤（即縱長）。

第六章是均輸，28題，主要講合理攤派賦稅和合理分配賦役的計算，其中今有術、衰分術及其應用方法，構成了包括今天正反比例、比例分配、復比例、連鎖比例在內的整套比例理論，另外還提出了有關等差數(shù)列的問題。

第七章是盈虧問題，21題，講的是盈虧問題中所對應的三類不同的盈虧，此外，還講述了任何盈虧問題均可以進行兩次假設，假設后均可以轉化為盈不足這一類進行解決。

第八章是方程，18題，主要闡述的是矩陣問題。這章所利用的線性方程組的解法是世界上最早的解決線性方程組的解法，類似于現(xiàn)階段的對矩陣進行初等變換，并提出了正負數(shù)的加減法則。

第九章是勾股問題，25題，勾股定理與測繪有密不可分的關聯(lián)，勾股定理可以解決現(xiàn)實生活中的諸多問題，勾股定理指的是在直角三角形中，兩直角邊平方的和等于第三邊長度的平方，利用此定理能夠解決很多實際問題。

二、《九章算術》于小學數(shù)學教學內容的適用性

小學數(shù)學課堂可以對《九章算術》中的內容進行選擇性教學。以人教版小學數(shù)學教材為例，教材中引用《九章算術》的內容如表1所示：

本文主要選取平面圖形面積、方程和負數(shù)三方面內容進行分析。

（一）平面圖形面積

在五年級上冊《三角形的面積》中，以“你知道嗎？”的卡片形式介紹了《九章算術》的相關內容：

《九章》中“今有田廣十二步，從十四步。問為田幾何？答曰：一百六十八步。方田術曰：廣從相乘得積步”，說的就是長方形的面積等于長與寬的乘積?！坝钟泄缣飶V五步二分步之一，從八步三分步之二。問為田幾何？答曰：二十三步六分步之五。術曰：半廣以乘正從”。此題將三角形面積求解與分數(shù)的運算相結合。在現(xiàn)行教材中，分數(shù)的乘法將在六年級上冊進行教學。因此，在教授長方形面積時，可引入對《九章》的介紹并選取1～2題的原題進行教學與講解，而三角形與梯形等其他圖形的面積教學則由于分數(shù)的四則運算還未進行教學而不適宜被選取。

（二）方程

以《九章算術》卷八方程章第一題為例，闡述其方程解法?！敖裼猩虾倘泻潭?，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？”求解此題，《九章》中未設未知數(shù)，而以“遍乘直除法”解決?！爸背奔催B續(xù)相減，“直除法”即“加減消元法”，是我國解方程組最早的方法。“置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，于右方。中、左禾列如右方”（見表2）。

“以右行上禾遍乘中行，而以直除”，以右行上方的3遍乘中行各項，有中行所得新數(shù)減去右行各對應項的若干倍數(shù)，直到中行頭位數(shù)為0。再利用相同的方式乘以左邊一列所有數(shù)，去掉左邊一行的第一位數(shù)，再用中間一行乘以左邊一行而以直除，消除左行中位，以求下禾之實?，F(xiàn)今我們求解此題，常以設x、y、z列舉三元一次方程組：

3x+2y+z=39

2x+3y+z=34

x+2y+3z=26

小學主要是學習簡易方程，即一元一次方程，且是以利用等式的性質來求解方程。如在解“x+3=9”時，解法為“x+3-3=9-3”，繼而解得“x=6”。顯然，《九章》的方程解法并不適用于中小學教學。

（三）負數(shù)

在第八章講述方程的過程中，對負數(shù)的概念是：減法，遇到符號相同的數(shù)字那么就與其數(shù)值做減法，遇到符號不同的數(shù)字那么就做加法，與正數(shù)的差是負數(shù)，與負數(shù)的差是正數(shù)。“正無入負之”的意思是，零與一個正數(shù)的差是這個正數(shù)的相反數(shù)，“負無入正之”的意思是零與一個負數(shù)的差是這個負數(shù)的絕對值，“正無入正之”的意思是零與一個正數(shù)的和是這個正數(shù)本身，“負無入負之”的意思是零與一個負數(shù)的和是這個負數(shù)本身。由此可以看出，《九章算術》一書中不僅對負數(shù)這個概念進行了詳細的描述，同時也對負數(shù)的運算法則加以描述。針對小學生數(shù)學教育，《義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》的實施建議中指出，在教學過程中，應當把抽象概念具體化、情景化，并能夠認識上萬的數(shù)字；應使學生理解什么是分數(shù)、什么是小數(shù)、什么是百分數(shù)、什么是負數(shù)，并在此基礎上引導學生理解各個概念的意義，培養(yǎng)學生日常生活中利用這些概念解決問題的能力。由此可以看出，如何對負數(shù)進行加減運算，課標并未作出具體要求。《九章算術》能夠較早認識負數(shù)，并對其做了詳細解釋，而婆羅摩笈多直到7世紀才對負數(shù)有了一定的理解，由此可以看出，《九章算術》確實是一項具有歷史性意義的偉大著作。雖然課標沒有要求學生對負數(shù)進行四則運算，但是在教學過程中，仍然可以通過《九章》使學生更加深刻地了解負數(shù)、理解負數(shù)、掌握負數(shù)。

參考文獻：

[1]江獻.小學數(shù)學教材中的《九章算術》[J].現(xiàn)代教育科學，2013（8）：146-147.

[2]曾賽陽，謝妤芳.淺淡《九章算術》應用于小學數(shù)學的思考[J].學園，2015（25）：79-82.

[3]張倉.九章算術[M].江蘇人民出版社，2011.