黃 博，丁躍澆，鄒俊超

(1.湖南理工學(xué)院 信息與通信工程學(xué)院，湖南 岳陽 414006；2.湖南理工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 岳陽 414006)

?

基于模糊估計(jì)的可調(diào)分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)

黃 博1，丁躍澆2，鄒俊超1

(1.湖南理工學(xué)院 信息與通信工程學(xué)院，湖南 岳陽 414006；2.湖南理工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 岳陽 414006)

可變分?jǐn)?shù)階微分環(huán)節(jié)直接影響分?jǐn)?shù)階PID控制器性能，設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PID控制器需要根據(jù)被控對象傳遞函數(shù)憑經(jīng)驗(yàn)調(diào)整微分階次。采用Oustaloup間接離散法數(shù)字實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微積分，再基于模糊估計(jì)由特定分?jǐn)?shù)階次近似得到任意分?jǐn)?shù)階次微積分環(huán)節(jié)，根據(jù)參數(shù)整定規(guī)則確立各環(huán)節(jié)系數(shù)，設(shè)計(jì)了一種可調(diào)分?jǐn)?shù)階次的PID控制器。仿真實(shí)驗(yàn)證明，此方法得到的微積分環(huán)節(jié)對控制系統(tǒng)性能沒有影響，根據(jù)整數(shù)階被控對象傳遞函數(shù)調(diào)節(jié)微分階次，分?jǐn)?shù)階PID控制器有較好的控制效果。

分?jǐn)?shù)階PID；可變分?jǐn)?shù)階微分；分?jǐn)?shù)階微分近似；模糊估計(jì)

0 引言

PID控制是控制工程中應(yīng)用最廣泛的控制方法。分?jǐn)?shù)階PID控制則是建立在分?jǐn)?shù)階微分理論上的一種應(yīng)用研究。

常分?jǐn)?shù)階微分的理論和應(yīng)用研究目前已有很多研究成果，而對于時(shí)變分?jǐn)?shù)階微分的研究則是一個(gè)較新的領(lǐng)域。文獻(xiàn)[1-2]從分?jǐn)?shù)階微分定義出發(fā)，對不同定義下的時(shí)變分?jǐn)?shù)階微分進(jìn)行了公式推導(dǎo)；文獻(xiàn)[3-5]對時(shí)變分?jǐn)?shù)階微分在實(shí)數(shù)階和復(fù)數(shù)階下的近似做了研究，提出了帶記憶全局反饋估計(jì)、不帶記憶自反饋估計(jì)、帶記憶零極點(diǎn)增益估計(jì)等多種近似方法；在變分?jǐn)?shù)階微分應(yīng)用研究上，文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)了一種基于變分?jǐn)?shù)階微分的動(dòng)力學(xué)控制器，文獻(xiàn)[7]提出了一種變模式擴(kuò)散過程的變分?jǐn)?shù)階微分方程求解方法，文獻(xiàn)[8]針對機(jī)械臂控制，設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了一種離散時(shí)間變分?jǐn)?shù)階PD控制器。

在以上研究基礎(chǔ)上，根據(jù)時(shí)變分?jǐn)?shù)階微分理論，從應(yīng)用角度出發(fā)，考慮到設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階PID控制器需要對分?jǐn)?shù)階微積分環(huán)節(jié)做近似處理以及對控制器參數(shù)進(jìn)行整定，當(dāng)根據(jù)被控對象傳遞函數(shù)憑經(jīng)驗(yàn)確定控制器的微積分階次時(shí)，設(shè)計(jì)復(fù)雜度較??；當(dāng)被控對象受擾動(dòng)或延時(shí)而使傳遞函數(shù)發(fā)生變化，憑經(jīng)驗(yàn)無法確定控制器微積分階次時(shí)，設(shè)計(jì)的復(fù)雜度就開始加大，因此可以設(shè)計(jì)一種可調(diào)分?jǐn)?shù)階次的PID控制器來實(shí)現(xiàn)控制所需的任意階次微積分環(huán)節(jié)，這些可基于模糊估計(jì)的方式由特定階次微積分環(huán)節(jié)近似得到，根據(jù)參數(shù)整定規(guī)則得到其余參數(shù)，從而可根據(jù)被控對象傳遞函數(shù)設(shè)計(jì)出所需的分?jǐn)?shù)階PID控制器。

1 分?jǐn)?shù)階PID控制

分?jǐn)?shù)階PID控制的研究基礎(chǔ)是分?jǐn)?shù)階微積分理論，較著名的PIλDμ控制最早是由PODLUBNY I教授于20世紀(jì)90年代提出的，其比整數(shù)階PID控制多出兩個(gè)可控參數(shù)，即分?jǐn)?shù)階積分階次λ和分?jǐn)?shù)階微分階次μ，研究表明對于同一類被控對象分?jǐn)?shù)階PID控制比整數(shù)階PID控制性能更優(yōu)。

1.1 分?jǐn)?shù)階微積分理論

(1)

式中：a、t為算子上下界，α為微積分階次，(α)為階次α的實(shí)部。

分?jǐn)?shù)階微積分目前沒有一個(gè)統(tǒng)一的定義，其中最著名的是Grünwald-Letnikov(G-L)定義和Riemann-Liouville(R-L)定義。

(2)

(3)

式中：m-1<α

通過引入分?jǐn)?shù)階微積分算子，微分和積分定義被統(tǒng)一起來。在工程中還常通過Laplace變換將時(shí)域范圍內(nèi)分?jǐn)?shù)階微積分引入到復(fù)頻域范圍內(nèi)，如信號(hào)f(t)在t=0時(shí)的α階微分Laplace變換式可表示為：

L{Dαf(t)}=sαF(s)，α∈R+

(4)

1.2 PIλDμ控制

分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)如圖1所示，其中R(s)為系統(tǒng)輸入、Gfc(s)為分?jǐn)?shù)階PID控制器傳遞函數(shù)、E(s)為系統(tǒng)誤差、U(s)為控制器輸出、G(s)為被控對象傳遞函數(shù)、Y(s)為系統(tǒng)輸出，分?jǐn)?shù)階PID控制器的傳遞函數(shù)可表示為：

(5)

圖1 分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)框圖

其中kp,ki,λ,kd,μ分別為比例系數(shù)、積分增益、積分階次、微分增益和微分階次，λ>0,μ>0。

在t=0時(shí)，控制器輸出u(t)與系統(tǒng)誤差e(t)有如下關(guān)系：

u(t)=kpe(t)+kiD-λe(t)+kdDμe(t)

(6)

被控對象輸入u(t)與輸出y(t)通過Laplace變換可表示其傳遞函數(shù)為：

(7)

其中0≤α1<α2<…<αn，(an，bn)∈R， 0≤β1<β2<…<βn。

對于單個(gè)微積分傳遞函數(shù)形如：

G(s)=sα,α∈R

(8)

令s=jω，其幅頻特性可表示為：

(9)

相頻特性可表示為：

(10)

因此，其幅頻特性曲線為一條斜率是20α的斜線，相頻特性曲線是一條幅值為απ/2的橫線。

1.3 分?jǐn)?shù)階微分的近似

要實(shí)現(xiàn)傳遞函數(shù)中分?jǐn)?shù)階微積分環(huán)節(jié)就必須將其近似成整數(shù)階微積分環(huán)節(jié)。近似方法主要有直接近似法和間接近似法。其中Oustaloup間接近似法近似精度較高，其主要針對微積分環(huán)節(jié)，形如：

G(s)=sα

(11)

不考慮高低頻段，在頻率段(ωl，ωh)內(nèi)，令其零點(diǎn)極點(diǎn)個(gè)數(shù)都為N，則其傳遞函數(shù)可近似為

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

Oustaloup近似法在MATLAB/Simulink中已有程序可以實(shí)現(xiàn)，本文主要采用此方法對特定階次微積分環(huán)節(jié)進(jìn)行數(shù)字實(shí)現(xiàn)。

2 可調(diào)分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)

模糊邏輯主要由隸屬度、模糊規(guī)則、模糊推理等組成，隸屬度函數(shù)值可以是0～1之間的任意數(shù)，制定模糊規(guī)則并根據(jù)隸屬度可以進(jìn)行模糊推理。

本文選取典型的三角隸屬度函數(shù)來進(jìn)行可調(diào)分?jǐn)?shù)階微積分環(huán)節(jié)的模糊近似，其曲線如圖2所示(圖2所示為橫軸區(qū)間位于[-1,1]的11段隸屬度曲線)。

圖2 三角隸屬度函數(shù)曲線

在分?jǐn)?shù)階PID控制器中，微積分環(huán)節(jié)輸出與誤差輸入有如下關(guān)系：

uα(t)=Dαe(t)

(16)

假設(shè)有n個(gè)微積分環(huán)節(jié)：

uαk(t)=Dαke(t),k=1,2,…,n

(17)

并有n條模糊規(guī)則Ak(k=1,2,…,n)：

(18)

如果α是αk，很明顯對于模糊規(guī)則“ifαisαk,Thenuα(t)=uαk(t)=e(t)sαk”的隸屬度值為1，因?yàn)閚條模糊規(guī)則里只有這一條是完全為真的。如果αk<α<αk+1，那么有兩條模糊規(guī)則的隸屬度值不為0，從而可以得到：

uα(t)=μAk(α)uαk(t)+μAk+1(α)uαk+1(t)

(19)

將其總結(jié)還可得到：

(20)

在MATLAB/Simulink中仿真并實(shí)現(xiàn)此種近似方法，并設(shè)計(jì)PIλDμ控制器，其系統(tǒng)框圖如圖3所示。

圖3 可調(diào)分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)框圖

其中模糊估計(jì)微積分環(huán)節(jié)內(nèi)部框圖如圖4所示。

圖4 模糊估計(jì)分?jǐn)?shù)階微分環(huán)節(jié)框圖

上述方法主要對階次區(qū)間位于[-1，1]的微積分環(huán)節(jié)進(jìn)行模糊估計(jì)，針對任意階次的微積分環(huán)節(jié)只需對階次取整，令α=α1+α2，α1∈Z，-1<α2<1，對α2模糊估計(jì)即可。

對微積分環(huán)節(jié)近似后，仍需根據(jù)參數(shù)整定規(guī)則確定比例、積分和微分環(huán)節(jié)系數(shù)，對于一類典型的整數(shù)階被控對象，其傳遞函數(shù)表示為：

(21)

按照文獻(xiàn)[9]給出的整定步驟，對于被控對象傳遞函數(shù)G(s)和控制器傳遞函數(shù)Gfc(s)，系統(tǒng)的幅值裕量Am和相位裕量φm應(yīng)滿足式(22)和式(23)：

(22)

φm=arg[G(jωg)Gfc(jωg)]+π

(23)

其中ωp和ωg分別應(yīng)滿足以下條件式：

(24)

arg[G(jωp)Gfc(jωp)]=-π

(25)

控制器傳遞函數(shù)滿足式(26)～(29)：

(26)

(27)

(28)

(29)

其中

(30)

(31)

根據(jù)被控對象傳遞函數(shù)，期望的幅值裕量Am和相位裕量φm都是已知，對于剩余參數(shù)可根據(jù)誤差平方最小化決定，即：

(32)

此時(shí)kp、ki、kd可由下列關(guān)系式確定：

(33)

(34)

(35)

依照經(jīng)驗(yàn)確定λ和μ后，ωp和ωg則可根據(jù)以下條件確定：

(36)

3 仿真實(shí)例

針對一類整數(shù)階傳遞函數(shù)

(37)

文獻(xiàn)[10]中分別設(shè)計(jì)了整數(shù)階PD控制器和分?jǐn)?shù)階PD控制器，傳遞函數(shù)為：

Gic(s)=20.5+2.734 3s

(38)

Gfc1(s)=20.5+3.734 3s1.15

(39)

根據(jù)參數(shù)整定規(guī)則，選取φm=π/4，Am=1.5。調(diào)整微分階次令μ=1.03，得kp=16.9，則另一分?jǐn)?shù)階PD控制器的傳遞函數(shù)為：

Gfc2(s)=19.6+4.121 6s1.03

(40)

二者的分?jǐn)?shù)階PD控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖5所示。

圖5 分?jǐn)?shù)階PD控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

從圖5中曲線能看出經(jīng)過階次調(diào)整的控制系統(tǒng)Gfc2比Gfc1超調(diào)量更小，但二者由于都沒有積分項(xiàng)，因此系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差都不為0，未達(dá)到控制要求。

針對此被控對象，仍采用上述期望的幅值相位值來設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PID控制器，令λ=0.7、μ=1.25，可以得kp=233.702 8、ki=21.990 2、kd=19.638 7,其傳遞函數(shù)為：

Gfc3(s)=233.702 8+21.990 2s-0.7+19.638 7s1.25

(41)

調(diào)整微積分階次，采用文獻(xiàn)[11]中的參數(shù)，令λ=0.2、μ=1.05，得kp=138.18、ki=2.89、kd=12.38，設(shè)計(jì)另一種分?jǐn)?shù)階PID控制器，其傳遞函數(shù)為：

Gfc4(s)=138.18+2.89s-0.2+12.38s1.05

(42)

二者的分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖6所示。

從圖6中可以看出，Gfc4控制系統(tǒng)和Gfc3控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差都接近0，但前者的響應(yīng)速度更快，超調(diào)量更小，達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間更短。

圖6 分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

用Gic、Gfc2、Gfc4分別對被控對象進(jìn)行控制，可得系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖7所示，圖7中可見分?jǐn)?shù)階PID控制器的控制效果最佳，響應(yīng)時(shí)間最短，超調(diào)量最小，達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)間也最短，分?jǐn)?shù)階PD控制器次之，整數(shù)階PD控制器最差。

圖7 整數(shù)階與分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

圖8表明，分?jǐn)?shù)階與模糊估計(jì)的分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)性能幾乎相同，因此可以推斷模糊估計(jì)近似得到的微積分環(huán)節(jié)對控制器的影響也沒有改變，近似精度與未模糊的微積分環(huán)節(jié)幾乎相同。

4 結(jié)論

根據(jù)可變分?jǐn)?shù)階微積分在PID控制中的應(yīng)用，本文提出基于模糊估計(jì)設(shè)計(jì)的可調(diào)分?jǐn)?shù)階次的PID控制器，仿真實(shí)驗(yàn)證明了此種控制器具有較高近似精度，根據(jù)被控對象可以任意調(diào)整微積分階次，達(dá)到了所需的控制要求。按照此方法可以考慮設(shè)計(jì)開發(fā)一種分?jǐn)?shù)階PID控制軟件，應(yīng)用于諸如文獻(xiàn)[12-13]中涉及的供熱控制、換熱站控制等設(shè)計(jì)復(fù)雜、控制要求較高的工業(yè)系統(tǒng)。

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Design of adjustable-order fractional PID controller based on fuzzy approximation

Huang Bo1, Ding Yuejiao2, Zou Junchao1

(1. School of Information and Communication Engineering, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China;2. Department of Mechanical Engineering, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)

In this paper, considering the influence of variable-order fractional derivatives on fractional PID controller’s performance, a fuzzy approximation based on Oustaloup approximation is proposed to implement an adjustable-order fractional PID controller with numerical tuning methods. The simulation results show few impact of the fuzzy-approximation-based derivatives on the system and a good performance of fractional PID controller on integer system.

fractional PID; variable-order fractional derivatives; approximation of fractional-order derivatives; fuzzy approximation

TP273

A

10.19358/j.issn.1674- 7720.2017.12.002

黃博，丁躍澆，鄒俊超.基于模糊估計(jì)的可調(diào)分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)[J].微型機(jī)與應(yīng)用，2017,36(12)：4-7,12.

2017-01-21)

黃博 (1990-)，男，碩士研究生，主要研究方向：時(shí)滯系統(tǒng)、遠(yuǎn)程控制、分?jǐn)?shù)階PID。

丁躍澆(1967-)，通信作者，男，碩士，教授，主要研究方向：工業(yè)控制與智能控制技術(shù)。E-mail:yjding@163.com。

鄒俊超(1993-)，男，碩士研究生，主要研究方向：工業(yè)自動(dòng)化、控制軟件開發(fā)、分?jǐn)?shù)階PID。