施鍵蘭， 余贊平

(1.福建農林大學 東方學院， 福建 福州 350017； 2.福建師范大學 數學與計算機科學學院, 福建 福州 350117)

一類帶Gilpin-Ayala增長率的時滯計算機病毒模型

施鍵蘭1， 余贊平2

(1.福建農林大學 東方學院， 福建 福州 350017； 2.福建師范大學 數學與計算機科學學院, 福建 福州 350117)

研究了一類帶Gilpin-Ayala增長率的時滯計算機網絡病毒傳播模型。通過分析模型特征方程及考慮時滯對系統(tǒng)動力學行為的影響，得到模型的平衡點穩(wěn)定及 Hopf 分岔產生的條件。數值模擬驗證出所得理論分析結果的正確性。

計算機病毒； Gilpin-Ayala增長率； 穩(wěn)定性； Hopf分岔；時滯

計算機病毒的自我復制及傳播行為和種群中流行病傳播十分相似。1990年初，Kephart等人第一次借助生物學領域已有的數學模型來對計算機病毒進行研究，提出經典的SIS病毒模型[1]。在此基礎上，不少學者對計算機病毒傳播模型加以改進并進行研究[2-8]；Ren等[8]考慮了易感染節(jié)點數量符合logistic增長，討論了平衡點的動力學性質。

對于(時滯)微分方程描述的連續(xù)系統(tǒng)，如果參數通過某一數值時平衡點的穩(wěn)定性發(fā)生了改變，且在平衡點附近產生了周期軌，那么稱這樣的分岔為連續(xù)系統(tǒng)的Hopf分岔。由于Gilpin-Ayala增長率比logistic增長率更加符合實際中的種群增長情形[9]，本研究在文獻[8]基礎上，提出了一種帶Gilpin-Ayala增長率的時滯計算機網絡病毒傳播模型，通過分析相應特征方程根的分布對其進行穩(wěn)定性和Hopf分岔分析。

1 模型建立

假設將網絡中一臺計算機主機或路由器看作一個節(jié)點。節(jié)點分為易感染節(jié)點、感染節(jié)點和免疫節(jié)點。以S(t)表示t時刻未感染病毒的易感染節(jié)點數；I(t)表示t時刻已感染病毒的感染節(jié)點數；R(t)表示t時刻對病毒具有免疫能力的免疫節(jié)點數。根據上述假設，建立如下SIR計算機病毒傳播動力學模型：

其中，β表示易感染節(jié)點與感染節(jié)點的傳染率系數，假設易感染節(jié)點數量符合Gilpin-Ayala增長，r是內稟增長率，K是網絡最大容納量，μ表示節(jié)點自然死亡系數，α表示節(jié)點的免疫狀態(tài)返回到易感染狀態(tài)的概率，τ表示病毒的潛伏期，即節(jié)點感染病毒到病毒發(fā)作的時間間隔。

由于系統(tǒng)前2個方程不含有R變量，故可考慮如下系統(tǒng)

(2)

2 穩(wěn)定性分析

2.1 平凡零解的穩(wěn)定性

(λ-r)(λ+α+μ)=0

解得λ1=r>0，λ2=-α-μ<0。

2.2 無病平衡點的穩(wěn)定性

定理2 系統(tǒng)(2)的無病平衡點E0=(K,0)

(1)當R0<1時是局部漸近穩(wěn)定的；

(2)當R0>1時是不穩(wěn)定的。

證明 系統(tǒng)(2)在E0處的特征方程為

(3)

(3)式有一個負實根λ1=-2r<0和滿足下式的根

(4)

(1)當R0<1，τ=0時，得到(4)式的根

λ=Kβ-α-μ<0。

當R0<1，τ>0時，假設(4)式的根為

λ=i?(?>0)，代入(4)式分離實虛部得到

(5)

求解(5)式可得

(6)

當R0<1，方程(6)沒有正根?，這說明當τ≥0時(4)式F(λ)=0的所有根λ都具有負實部，所以系統(tǒng)(2)在無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的。

(2)當R0>1時，(4)式F(0)<0，F(+)=+，所以F(λ)=0至少有一個正實根，系統(tǒng)(2)在無病平衡點E0是不穩(wěn)定的。

2.3 地方病平衡點的穩(wěn)定性

定理3 系統(tǒng)(2)的地方病平衡點

證明 系統(tǒng)(2)在E*處的特征方程為

(7)

這里c=α+μ。

當τ=0時，(7)式變?yōu)?/p>

(8)

由Hurwitz判據可得特征方程(8)的根的實部均為負，因此系統(tǒng)(2)當R0>1，τ=0時在地方病平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的。

當τ>0時，假設(7)式的根為λ=i?(?>0)，代入(7)式分離實虛部得到

(8)

求解(8)式可得

(9)

當1

3 Hopf分岔分析

定理4 當R0>5時，存在一個臨界值τ0

(1)當τ∈[0,τ0)時，系統(tǒng)(2)的地方病平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的。

(2)當τ>τ0時，系統(tǒng)(2)的地方病平衡點E*是不穩(wěn)定的。并且當τ經過τ0時在地方病平衡點E*處產生Hopf分岔。

證明 當R0>5時，由(9)式解得

(10)

代入(8)式得

(11)

將特征方程(7)式左右兩邊對τ求導整理得

(12)

由(12)式得

(13)

根據(7)式計算得

(14)

將(14)代入(13)式得

(15)

所以

應用Hopf分岔定理[10]，當R0>5，τ∈[0,τ0)時，特征方程(7)的所有特征根都具有復實部，系統(tǒng)(2)在地方病平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的。當τ>τ0時，特征方程(7)至少有一個根具有正實部，系統(tǒng)(2)的地方病平衡點E*是不穩(wěn)定的，并且當τ經過τ0時在地方病平衡點E*處產生Hopf分岔。

4 數值模擬

為了驗證上述結果的正確性，對式(2)進行數值仿真如下：

取K=100，r=2，μ=2，α=2，β=0.1，計算R0和τ0得到R0=6.25>5，τ0=0.268 4，取τ=0.2<τ0，根據定理2，得到式(2)的解E*=(40,16.8)漸進穩(wěn)定，如圖1～3所示。

圖1 R0=6.25>5，τ=0.2<τ0時，地方病不動點數值仿真t-S平面Fig.1 The t-S plane of endemic equilibrium when R0=6.25>5，τ=0.2<τ0

圖2 R0=6.25>5，τ=0.2<τ0時，地方病不動點數值仿真t-I平面Fig.2 The t-I plane of endemic equilibrium when R0=6.25>5，τ=0.2<τ0

圖3 R0=6.25>5，τ=0.2<τ0時，地方病不動點數值仿真S-I平面Fig.3 The S-I plane of endemic equilibrium when R0=6.25>5，τ=0.2<τ0

取K=100，r=2，μ=2，α=2，β=0.1，計算R0和τ0得到R0=6.25>5，τ0=0.268 4，取τ=0.3>τ0。根據定理3，得到式(2)的解E*=(40,16.8)是不穩(wěn)定的，并且產生一個Hopf分岔，即分岔出一個周期解，如圖4～6所示。

圖4 R0=6.25>5，τ=0.3>τ0時，地方病不動點數值仿真t-S平面Fig.4 The t-S plane of endemic equilibrium when R0=6.25>5，τ=0.3>τ0

圖5 R0=6.25>5，τ=0.3>τ0時，地方病不動點數值仿真t-I平面Fig.5 The t-I plane of endemic equilibrium when R0=6.25>5，τ=0.3>τ0

圖6 R0=6.25>5，τ=0.3>τ0時，地方病不動點數值仿真S-I平面Fig.6 The S-I plane of endemic equilibrium when R0=6.25>5，τ=0.3>τ0

取K=100，r=2，μ=2，α=2，β=0.08，計算R0,得到R0=4<5，取τ=0.4。根據定理4，得到式(2)的解E*=(50,18.75)漸進穩(wěn)定，如圖7～9所示。

圖7 R0=4<5，τ=0.4>τ0時，地方病不動點數值仿真t-S平面Fig.7 The t-S plane of endemic equilibrium when R0=4<5，τ=0.4>τ0

圖8 R0=4<5，τ=0.4>τ0時，地方病不動點數值仿真t-I平面Fig.8 The t-I plane of endemic equilibrium when R0=4<5，τ=0.4>τ0

圖9 R0=4<5，τ=0.4>τ0時，地方病不動點數值仿真S-I平面Fig.9 The S-I plane of endemic equilibrium when R0=4<5，τ=0.4>τ0

5 結語

計算機病毒的防治是計算機安全領域的重要課題，是長期而復雜的任務，需要深入研究計算機病毒傳播原理，對計算機病毒的有效預防和控制提供理論基礎。本文提出了一種帶Gilpin-Ayala增長率的時滯計算機網絡病毒傳播模型，研究基本再生數R0和時滯τ對網絡病毒傳播模型的影響。研究表明，當R0<1時，無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的；當15時，存在一個臨界值τ0，當τ的值低于臨界點τ0時，模型處于理想的穩(wěn)定狀態(tài)。此時，將有利于對網絡病毒的傳播進行有效的控制。當τ的值一旦超越臨界點τ0時，模型將失去穩(wěn)定性，并在有病毒平衡點附近產生Hopf分岔。此時，模型將進入極限環(huán)狀態(tài)，網絡病毒的傳播將失去控制。因此，應該采取有效措施盡量減小τ和R0的值，延遲和消除Hopf分岔的發(fā)生，控制和消除計算機病毒在網絡上的傳播。

[1] Kephart J O，White S R．Directed graph epidemiological model of computer viruses[C]∥Proceedings of the IEEE Symposium on Security and Privacy, May 20-23,1991, Oakland, California, USA. Washington D C: IEEE Computer Society,1991.

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[10] Hale J K, Verduyn L S. Introduction to Functional Differential equations[M].New York:Springer-Verlag,1993.

(特約編輯：黃家瑜)

A time delayed computer virus model with Gilpin-Ayala growth rate

Shi Jianlan1, Yu Zanping2

(1. Dongfang College， Fujian Agriculture and Forestry University, Fuzhou 350017， China； 2. College of Mathematics and Computer Science, Fujian Normal University, Fuzhou 350117, China)

In this paper，a time-delay viral infection model in computer networks with Gilpin-Ayala growth rate was investigated．By analysing the associated characteristic equation and the impact of the time delay on the dynamical behaviour of a system，the conditions of equilibrium stability and the production of Hopf bifurcation were obtained．Numerical simulations confirm the theoretical results．

computer virus； Gilpin-Ayala growth rate； stability； Hopf bifurcation； time delay

10.3969/j.issn.1672-4348.2017.03.020

2017-03-30

施鍵蘭(1984-)，女，福建福州人，講師，碩士，研究方向：計算機模型。

TP309.5

A

1672-4348(2017)03-0301-06