李欣玥，高勇民，王維強(qiáng)，司書賓

1.中國華陰兵器試驗(yàn)中心，陜西 華陰 710054

2.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，陜西 西安 710072

保修服務(wù)作為引入承制單位優(yōu)質(zhì)技術(shù)力量，是輔助軍方完成新型測試設(shè)備深度修理和重大任務(wù)專項(xiàng)保障等工作的唯一途徑，其合理性直接決定了能否將承制單位這一地方保障力量最大程度地“嵌入”到裝備維修保障系統(tǒng)當(dāng)中[1]。隨著軍用裝備技術(shù)復(fù)雜程度的逐漸增高，二維非更新保修策略的應(yīng)用越來越普及。例如，某光測設(shè)備載車發(fā)動機(jī)的初始保修期限包括日歷時(shí)間和使用摩托小時(shí)兩個(gè)限制條件，根據(jù)保修服務(wù)過程中的維修方式可將保修服務(wù)分為兩類：第一，修復(fù)性維修的保修服務(wù)；第二，修復(fù)性維修和預(yù)防性維修的保修服務(wù)[2，3]。在二維保修期內(nèi)若對單元實(shí)施預(yù)防性維修，則預(yù)防性維修間隔期也應(yīng)是二維的[4，5]。

Huang建立了退化過程服從非奇次泊松過程單元在按比例費(fèi)用分?jǐn)偙Ｐ薏呗韵碌闹芷谛灶A(yù)防性維修貝葉斯決策模型[6]，并利用二元聯(lián)合分布建立可修單元二維保修服務(wù)中的定期預(yù)防性維修優(yōu)化模型[7]。Chien針對故障率增長單元建立了更新保修服務(wù)策略下工齡更換間隔期優(yōu)化模型，研究了不可修產(chǎn)品同時(shí)考慮免費(fèi)更換保修策略和按比例分?jǐn)偙Ｐ薏呗缘慕馕瞿Ｐ蚚8，9]，并對不可修產(chǎn)品按比例折扣保修的工齡更換間隔期進(jìn)行了優(yōu)化[10]，分析了離散時(shí)間過程下定期更換策略對保修服務(wù)費(fèi)用的影響[11]。Wu研究了保修服務(wù)期內(nèi)考慮老化損失的周期性預(yù)防維修優(yōu)化問題[12]。Sana對生產(chǎn)系統(tǒng)的盈利能力進(jìn)行了研究，允許該系統(tǒng)生產(chǎn)的產(chǎn)品存在一定生產(chǎn)缺陷率，對這些產(chǎn)品進(jìn)行免費(fèi)保修服務(wù)[13]。Bouguerra對6種維修策略下的延伸保修服務(wù)雙贏價(jià)格區(qū)間求解問題開展了建模研究[14]。Aggrawal建立了考慮產(chǎn)品銷售周期的保修服務(wù)價(jià)格模型，在該模型中單元故障壽命服從指數(shù)分布[15]。現(xiàn)有二維保修文獻(xiàn)大多從成組的更換角度出發(fā)并進(jìn)行保修服務(wù)優(yōu)化研究，對工齡更換下的二維保修建模研究較少。當(dāng)前，基于工齡更換的二維預(yù)防性維修間隔期主要根據(jù)專家經(jīng)驗(yàn)確定，缺少科學(xué)的決策依據(jù)。傳統(tǒng)的一維維修間隔期確定方法無法滿足保修服務(wù)決策需求，需要對采取二維工齡更換維修的二維保修服務(wù)開展建模研究。

1 模型假設(shè)

定期更換策略主要包括成組更換策略和工齡更換策略兩類。目前，常用的定期更換策略為一維定期更換策略。但隨著現(xiàn)在裝備單元技術(shù)復(fù)雜度越來越高，性能越來越先進(jìn)，很多裝備單元的故障規(guī)律受多種因素（單元的運(yùn)行時(shí)間、使用時(shí)間、行駛里程等）的影響。在對這種裝備進(jìn)行維修時(shí)，若只給出關(guān)于時(shí)間的一維定期更換間隔期會忽略其他影響因素對故障規(guī)律的作用，造成維修不及時(shí)的情況出現(xiàn)。

二維工齡更換策略是指若單元在使用過程中沒有發(fā)生故障，則按照規(guī)定的二維工齡（日歷時(shí)間與使用程度）進(jìn)行定期更換；如果在規(guī)定的時(shí)間（二維工齡間隔期）內(nèi)發(fā)生故障，則對故障單元進(jìn)行修復(fù)性維修，維修后重新開始對工齡進(jìn)行計(jì)時(shí)。工齡更換策略相比定期更換策略具有一定的靈活性。若選擇單變量法來描述單元的二維故障規(guī)律，則二維工齡更換過程如圖1所示。

圖1 二維工齡更換策略Fig.1 2D age replacement strategy

設(shè)二維初始保修期的時(shí)間界限和使用程度界限為WB和UB。使用度和時(shí)間之間存在線性關(guān)系，即單元的使用度u和時(shí)間t之間的關(guān)系為u=rt，r為使用率。對于不同的設(shè)備，r取值不同。設(shè) ，rB=UB/TB。g（r）為使用率r的概率密度函數(shù)。二維工齡更換維修為完善維修，間隔期為（T0，U0）。T0是二維工齡更換維修的時(shí)間間隔期，U0是二維工齡更換維修的使用度間隔期。不管先到哪個(gè)界限，都會執(zhí)行二維工齡更換維修策略，r0=U0/T0。如果在工齡更換工作之前發(fā)生故障，則進(jìn)行修復(fù)性維修工作，單元修復(fù)如新，工齡更換周期重新開始計(jì)時(shí)。Cp為二維工齡更換維修費(fèi)用，Cm為修復(fù)性維修費(fèi)用，Cd為單位停機(jī)損失。Tp表示單元預(yù)防性更換所需時(shí)間，Tf表示單元故障更換所需時(shí)間。CR（t，T0，U0）表示單元以工齡周期（T0，U0）進(jìn)行維修時(shí)，在t時(shí)刻內(nèi)期望保修費(fèi)用，CR（T0，U0）表示二維非更新保修服務(wù)費(fèi)用。λ（t|r）表示單元在使用率r時(shí)的故障率函數(shù)，F(xiàn)（t|r）表示單元在使用率r時(shí)的累計(jì)故障分布函數(shù)，R（t|r）表示單元在使用率r時(shí)的可靠度函數(shù)，其中：

2 模型構(gòu)建

首先，建立單元的工齡更換周期優(yōu)化模型。對單元的進(jìn)行工齡更換時(shí)，根據(jù)保修期和工齡更換周期之間的關(guān)系，可分為r0≤rB和r0＞rB兩種情況。

（1）當(dāng)r0≤rB時(shí)，根據(jù)r的取值有r≤r0，r0＜r≤rB和r＞rB三種子情況。

當(dāng)r≤r0時(shí)，保修期在WB時(shí)刻終止。按照二維工齡更換間隔其中的時(shí)間間隔期T0進(jìn)行工齡更換，可進(jìn)一步分為 0 ＜ WB≤ Tf，Tf＜ WB≤ T0+Tf和 WB＞ T0+Tf三種情況。

（a）當(dāng)0＜WB≤Tf時(shí)，保修期內(nèi)將不進(jìn)行任何的更換活動，所有的費(fèi)用為故障后產(chǎn)生的損失，此時(shí)單元在保修期WB內(nèi)的期望費(fèi)用為：

（b）當(dāng) Tf＜ WB≤ T0+Tf時(shí)，若 t ＜ WB-Tf，則僅進(jìn)行修復(fù)性維修工作，保修費(fèi)用為：

若WB-Tf＜t≤WB，則不進(jìn)行修復(fù)性維修，保修費(fèi)用為：

因此，此時(shí)單元在保修期內(nèi)的期望費(fèi)用為：

（c）當(dāng)WB＞T0+Tf時(shí)，此時(shí)單元在保修期內(nèi)的期望費(fèi)用為：

當(dāng)r0＜r≤rB時(shí)，保修期在WB時(shí)刻終止。按照二維工齡更換間隔其中的使用度間隔期U0進(jìn)行工齡更換，可進(jìn)一 步 分 為 ：0 ＜ WB≤ Tf，Tf＜ WB≤ U0/r+Tf，WB＞ U0/r+Tf三種情況。

（a）0＜WB≤Tf時(shí)，保修期內(nèi)將不進(jìn)行任何的更換活動，所有的費(fèi)用為故障后產(chǎn)生的損失，此時(shí)單元在保修期內(nèi)的期望費(fèi)用為：

（b）Tf＜ WB≤U0/r +Tf時(shí)，若t＜ WB-Tf，則僅進(jìn)行修復(fù)性維修工作，保修費(fèi)用為：

若WB-Tf＜t ≤WB，則不進(jìn)行修復(fù)性維修，保修費(fèi)用為：

因此，此時(shí)單元在保修期內(nèi)的期望費(fèi)用為：

（c）當(dāng)WB＞UB/r +Tf時(shí)，此時(shí)單元在保修期內(nèi)的期望費(fèi)用為：

當(dāng)r＞rB時(shí)，保修期在UB終止。按照二維工齡更換間隔其中的使用度間隔期U0進(jìn)行工齡更換，可進(jìn)一步分為：0 ＜ UB/r≤ Tf，Tf＜ UB/r≤ U0/r +Tf，UB/r＞ U0/r +Tf三種情況。

（a）當(dāng)0＜UB/r≤Tf時(shí)，保修期內(nèi)將不進(jìn)行任何的更換活動，所有的費(fèi)用為故障后產(chǎn)生的損失，此時(shí)單元在保修期WB內(nèi)的期望費(fèi)用為：

（b）當(dāng) 時(shí)，若 則僅進(jìn)行修復(fù)性維修工作，保修費(fèi)用為：

若 ，則不進(jìn)行修復(fù)性維修，保修費(fèi)用為：

因此，此時(shí)單元在保修期內(nèi)的期望費(fèi)用為：

（c）當(dāng) 時(shí)，此時(shí)單元在保修期內(nèi)的期望費(fèi)用為：

綜上所述，當(dāng)r0≤rB時(shí)，考慮工齡更換的二維非更新保修服務(wù)費(fèi)用為：

（2）當(dāng)r0＞rB時(shí)，根據(jù)r的取值有r≤rB，rB＜r≤r0和r＞r0三種子情況。

當(dāng)r≤rB時(shí)，保修期在WB時(shí)刻終止。按照二維工齡更換間隔其中的時(shí)間間隔期T0進(jìn)行工齡更換，可進(jìn)一步分為 0＜WB≤ Tf，Tf＜WB≤ T0+Tf和 WB＞T0+Tf三種情況。

（a）當(dāng)0＜WB≤Tf時(shí)，保修期內(nèi)將不進(jìn)行任何更換活動，總費(fèi)用為故障后產(chǎn)生的損失，此時(shí)單元在保修期內(nèi)的期望費(fèi)用為：

（b）當(dāng)Tf＜WB≤T0+Tf時(shí)，若t＜WB-Tf則僅進(jìn)行修復(fù)性維修工作，保修費(fèi)用為：

若WB-Tf＜t≤WB，則不進(jìn)行修復(fù)性維修，保修費(fèi)用為：

因此，此時(shí)單元在保修期內(nèi)的期望費(fèi)用為：

（c）當(dāng)WB＞T0+Tf時(shí)，此時(shí)單元在保修期內(nèi)的期望費(fèi)用為：

當(dāng)rB＜r≤ r0時(shí)，保修期在UB終止。按照二維工齡更換間隔其中的時(shí)間間隔期T0進(jìn)行工齡更換，可進(jìn)一步分為0＜UB/r≤Tf，Tf＜UB/r≤ T0+Tf和UB/r＞T0+Tf三種情況。

（a）當(dāng)0＜UB/r≤Tf時(shí)，保修期內(nèi)將不進(jìn)行任何的更換活動，所有的費(fèi)用為故障后產(chǎn)生的損失，此時(shí)單元在保修期內(nèi)的期望費(fèi)用為：

（b）當(dāng)Tf＜UB/r≤ T0+Tf時(shí)，若t＜UB/r -Tf則僅進(jìn)行修復(fù)性維修工作，保修費(fèi)用為：

若UB/r-Tf＜t≤UB/r，則不進(jìn)行修復(fù)性維修，保修費(fèi)用為：

因此，此時(shí)單元在保修期內(nèi)的期望費(fèi)用為：

（c）當(dāng)UB/r＞T0+Tf時(shí)，此時(shí)單元在保修期內(nèi)的期望費(fèi)用為：

當(dāng)r＞r0時(shí)，保修期在UB時(shí)刻終止。按照二維工齡更換間隔其中的使用度間隔期U0進(jìn)行工齡更換，可進(jìn)一步分為 0 ＜ UB/r≤ Tf，Tf＜ UB/r≤ U0/r +Tf和 UB/r＞ U0/r +Tf三種情況。

（a）當(dāng)0＜UB/r≤Tf時(shí)，保修期內(nèi)將不進(jìn)行任何的更換活動，所有的費(fèi)用為故障后產(chǎn)生的損失，此時(shí)單元在保修期WB內(nèi)的期望費(fèi)用為：（28）

（b）當(dāng)Tf＜UB/r≤U0/r +Tf時(shí)，若t＜UB/r-Tf則僅進(jìn)行修復(fù)性維修工作，保修費(fèi)用為：

若WB-Tf＜t≤WB，則不進(jìn)行修復(fù)性維修，保修費(fèi)用為：

因此，此時(shí)單元在保修期內(nèi)的期望費(fèi)用為：

（c）當(dāng)UB/r＞U0/r +Tf時(shí)，此時(shí)單元在保修期內(nèi)的期望費(fèi)用為：

綜上所述，當(dāng)r0＞rB時(shí)，考慮工齡更換的二維非更新保修服務(wù)費(fèi)用為：

3 算例分析

以某光測設(shè)備載車發(fā)動機(jī)為例進(jìn)行算例分析。設(shè)Cp=500元，Cm=1000元，Cd=200元，Tf=18天，Tp=8天。初始保修服務(wù)期為（400 天，80×104km）。θ0=5×10-5，θ1=5×10-5，θ2=10×10-5，θ3=10×10-5。假設(shè)使用率 r服從均勻分布、正態(tài)分布與威布爾分布。均勻分布的上下限r(nóng)u=3.05，rl=0.05。正態(tài)分布的μ=20000km/年，標(biāo)準(zhǔn)差為σ=1.6，威布爾分布選用兩參數(shù)威布爾分布，尺度參數(shù)m=2，形狀參數(shù)η=2.5。

當(dāng)使用率r服從均勻分布、正態(tài)分布和威布爾分布時(shí)，分別計(jì)算每組（T0，U0）所對應(yīng)保修費(fèi)用，保修服務(wù)費(fèi)用如圖2所示?？梢钥闯觯Ｐ薹?wù)費(fèi)用隨預(yù)防性維修時(shí)間間隔期T0和預(yù)防性維修使用程度間隔期U0的增加先減小再增大，存在最優(yōu)點(diǎn)。

圖2 使用率r不同分布下保修費(fèi)用Fig.2 Warranty cost when r obeys different distribution

為證明在保修期內(nèi)采取二維工齡更換要優(yōu)于一維工齡更換，在使用率服從不同分布的情況下，截取二維保修費(fèi)用最優(yōu)時(shí)的二維曲線與采取一維工齡更換策略的二維非更新保修費(fèi)用曲線進(jìn)行對比，如圖3～圖5所示。從圖中可以看出，保修服務(wù)費(fèi)用隨二維工齡間隔期和一維工齡間隔期變化的趨勢是一樣的，都是隨著間隔期增加，保修服務(wù)費(fèi)用先減少后增加。通過對比可以看出，二維預(yù)防性維修相比一維預(yù)防性維修可以有效降低保修服務(wù)費(fèi)用。最優(yōu)二維工齡更換維修間隔和最優(yōu)一維工齡更換維修間隔的計(jì)算結(jié)果見表1。

圖3 使用率r服從均勻分布下保修服務(wù)費(fèi)用對比Fig. 3 Comparision of warranty cost when r obeys uniform distribution

4 結(jié)論

本文以軍民融合裝備維修保障為背景，結(jié)合裝備實(shí)際需求，利用遞歸算法建立了考慮二維工齡更換的非更新保修服務(wù)策略模型。根據(jù)保修期和工齡更換周期之間的大小關(guān)系，對模型的兩種情況進(jìn)行討論，并對模型進(jìn)行算例分析，結(jié)果表明二維工齡更換策略相比一維工齡更換策略可以有效降低二維非更新保修服務(wù)費(fèi)用。研究成果為二維保修策略的實(shí)施提供了理論基礎(chǔ)，為深入推進(jìn)軍民融合發(fā)展提供了理論支持。本文雖然對更新保修建模進(jìn)行了探索，但在未來的研究中還需對模型進(jìn)行進(jìn)一步的擴(kuò)展研究：考慮不完善維修，保修過程中單元升級維修等問題。

圖4 使用率r服從正態(tài)分布下保修服務(wù)費(fèi)用對比Fig.4 Comparision of warranty cost when r obeys normal distribution

圖5 使用率r服從威布爾分布下保修服務(wù)費(fèi)用對比Fig.5 Comparision of warranty cost when r obeys Weibull distribution

表1 保修費(fèi)用最優(yōu)值Table 1 Optimal warranty cost

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