石 晶， 陳紅坤

(武漢大學(xué) 電氣工程學(xué)院，湖北 武漢 430072)

用線性代數(shù)的知識講解線性電路定理

石 晶， 陳紅坤

(武漢大學(xué) 電氣工程學(xué)院，湖北 武漢 430072)

電路定理是“電路”課程教學(xué)中的重要部分，而部分定理僅適用于線性電路，為何只適用于線性電路，本質(zhì)上說是數(shù)學(xué)問題。本文探討如何用線性代數(shù)的思維講解“電路”課程中的齊性定理、疊加定理和戴維寧定理，讓學(xué)習(xí)者能夠從數(shù)學(xué)的本質(zhì)上理解電路定理的含義及這些定理的適用條件。

電路教學(xué)；線性代數(shù)；線性電路

0 引言

電路定理是“電路”課程教學(xué)中的重要部分，如齊性定理、疊加定理和戴維寧定理等。這些定理既重要，也好用。面對初學(xué)者，要把這些定理介紹清楚，通常的方法是用一個電路或者一類電路為例進(jìn)行講解，之后推廣到整個線性電路，再告訴學(xué)生此定理不能用于非線性電路[1-4]。這樣一個教學(xué)過程，對于思維特別嚴(yán)密的學(xué)生，也許會產(chǎn)生疑問：為什么某個電路的應(yīng)用能推廣到其他線性電路？為什么又不能繼續(xù)推廣到非線性的電路？為了解答這部分學(xué)生的疑問，筆者試圖用線性代數(shù)的方法，把問題闡述清楚。

“電路”課程的前期課程有“線性代數(shù)”，所以在講授“電路”課程時，可以充分利用的線性代數(shù)知識，這樣便于把相關(guān)的電路理論講清楚，講透徹。引導(dǎo)學(xué)生把線性電路問題先抽象成線性代數(shù)的問題，再在線性代數(shù)的理論體系下分析，相關(guān)電路定理的含義及其適用范圍都能變得顯而易見，同時，在教學(xué)中有意識地把電路甚至是后續(xù)的各種電氣工程應(yīng)用課程中的物理問題轉(zhuǎn)換為抽象的數(shù)學(xué)問題，這樣做有利于學(xué)生將來能把復(fù)雜的工程問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而借助數(shù)學(xué)方法獲取答案。

講解電路定理時，學(xué)生都已學(xué)會電路的一般分析方法[1-3]，其中節(jié)點電壓法都是重點介紹的。正如麻省理工學(xué)院的“電路與電子學(xué)”公開課特別強調(diào)的：“如果要選一種電路分析方法，作為電氣工程師應(yīng)該一輩子記住的，那應(yīng)該是節(jié)點電壓法”[4]。

本文基于節(jié)點電壓法，針對線性電阻電路探討如何從線性代數(shù)思維的角度講解幾個基本的線性電路定理。

1 齊性定理

電路的齊性定理實際上是疊加定理的特例，但因為齊性定理比較好理解，可以先做介紹。齊性定理指出：在線性電路中，當(dāng)所有的激勵(電壓源和電流源)都同時增大或縮小k倍(k為實常數(shù))時，響應(yīng)(電壓和電流)也將同樣增大或縮小k倍。

對應(yīng)線性代數(shù)理論，若矩陣A, 列向量X，B，滿足條件AX=B，則對應(yīng)常數(shù)k有：A·kX=kB。

按節(jié)點電壓法，對某一電路列出節(jié)點電壓方程：AX=B，其中矩陣A代表節(jié)點導(dǎo)納矩陣；X代表各節(jié)點電壓的列向量；列向量B的各元素bi均為獨立電源的線性組合。通常等式左邊代表在不同節(jié)點的電位差和受控源的作用下流出各個節(jié)點的電流；而等式的右邊表示在獨立電源的作用下，流入各個節(jié)點的電流，整個公式體現(xiàn)了KCL定理，即流出某個節(jié)點的電流等于流入某個節(jié)點的電流。節(jié)點電壓法，對于包含獨立電壓源支路的電路也適用，只是矩陣A和向量B的含義更復(fù)雜，將AX=B寫成一組方程組時，可能出現(xiàn)xp-xq=U這種形式的方程，其中xp、xq表示不同節(jié)點的電壓，U表示獨立電壓源的電壓值，但方程AX=B的形式不變。利用圖1進(jìn)行講解，學(xué)生馬上就能理解齊性定理的含義?？梢栽噲D提問，如果向量B中的某一個元素擴大k倍，其他元素不變，響應(yīng)(節(jié)點電壓)向量是否也是擴大k倍？如果將X向量中的某個元素xi改為xi2，公式是否還成立？當(dāng)然這些都是簡單的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生都容易回答。對應(yīng)的電路概念則為：為什么多個電源的幅值需要同時擴大k倍，響應(yīng)才能擴大k倍？為什么齊性定理只適合線性電路？

圖1 齊性定理的解釋圖

如果對電路采用回路電流和節(jié)點電壓同時列方程的方法，也可以得出AX=B的形式，只是此時矩陣A的含義更復(fù)雜，向量X表示各節(jié)點電壓和回路電流，B仍然是獨立電源的線性組合，以上的說明過程依然適用，并且對一般性電路，說明更加嚴(yán)謹(jǐn)。

2 疊加定理

講解疊加定理時，一般通過一個簡單的例子引入，然后推廣到一般的線性電路。推廣過程或省略而直接給出結(jié)論[4]，或用線性代數(shù)行列式解方程的方法進(jìn)行介紹[1-3]，前者不能滿足想徹底了解定理原理的學(xué)生，后者解方程的過程對學(xué)習(xí)者稍顯繁瑣。

從線性代數(shù)知識可知：若有可逆的矩陣A，列向量X，X1，X2，B，B1，B2 滿足以下條件：AX=B，A·X1 =B1，A·X2 =B2；B=B1+B2，則有:X=X1+X2成立。即下式必然成立。

AX=A(X1+X2)=B1+B2=B

(1)

對于一個線性電路，節(jié)點電壓方程為AX=B，含義與齊性定理部分介紹的一樣，不再贅述。如將獨立電源分成兩組，讓第一組和第二組電源分別作用時，B對應(yīng)的列向量為B1和B2，則B1+B2=B。因電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)沒變，則A·X1=B1成立，其中X1為對應(yīng)第一組獨立電源單獨作用而第二組電源不作用時各節(jié)點的電壓列向量；同理有A·X2 =B2成立，X2則為對應(yīng)第二組獨立電源單獨作用而第一組電源不作用時各節(jié)點的電壓列向量，當(dāng)兩組激勵同時作用時，根據(jù)線性代數(shù)的知識可知：相應(yīng)的節(jié)點電壓列向量則應(yīng)該為X1+X2?？梢岳脠D2對疊加定理進(jìn)行闡述。

圖2 疊加定理的解釋圖

某組獨立電源不起作用，在數(shù)學(xué)上意味著對應(yīng)的電源激勵值為0，接著可以問學(xué)生，電壓源為0意味著電路上應(yīng)該怎么處理？電流源為0意味著電路上應(yīng)該怎么處理？對于“不起作用”的電壓源應(yīng)該進(jìn)行短路處理，對“不起作用”的電流源應(yīng)該進(jìn)行斷路處理，這樣學(xué)生很容易理解。因為對B1和B2還可以繼續(xù)分組，最終可以把每一個獨立電源都拆成單一作用的形式。對于受控源，它的作用體現(xiàn)在節(jié)點導(dǎo)納矩陣A中，所以對受控源通常不能像獨立電源一樣進(jìn)行疊加處理。同樣可以詢問學(xué)生，如果將X中的某個變量xi改為xi2，式(1)是否還成立？從而讓學(xué)生了解為什么疊加定理只適用于線性電路。

如果對電路采用回路電流和節(jié)點電壓同時列方程的方法，也可以得出AX=B的形式，不影響以上的說明過程，只是更加嚴(yán)謹(jǐn)。

3 戴維寧定理

戴維寧定理一般通過替代定理和疊加定理進(jìn)行一般性的證明，這個方法很好，學(xué)生也容易理解為什么戴維寧定理只能用于線性電路，因為該定理成立的前提條件就有疊加定理。然而替代定理及其適用條件到底如何講解，目前仍然存有導(dǎo)議[5,6]。按照支路上串聯(lián)大小相等、方向相反的電壓源，或者端口上并聯(lián)大小相等、方向相反的電流源，進(jìn)行替代定理的一般性證明[1-3]，這樣的過程，不能必然得出替代定理的使用限制條件：被替代的支路和電路中的其他支路之間無耦合關(guān)系。這樣就導(dǎo)致了講解戴維寧定理時也不容易給學(xué)生講明白戴維寧定理也有類似的使用限制條件。

用以下的方法可以從另一側(cè)面讓學(xué)生對戴維寧定理有更直觀的理解。仍然利用節(jié)點電壓法和線性代數(shù)的知識。對于一個電路，如果只關(guān)心某一個端口的對外特性，可以選擇該端口的兩個端點之中的一個做參考節(jié)點，如圖3，列節(jié)點電壓方程AX=B，其中矩陣A代表節(jié)點導(dǎo)納矩陣，X向量代表各節(jié)點電壓的列向量，且X的最后一個元素xn則是要關(guān)注的那個端口的節(jié)點電壓值xn=uoc，向量B代表在獨立電源作用下流入各個節(jié)點的電流。為了討論端口電流i與端口電壓u的關(guān)系，在端口上加一個電流源激勵，如圖3(b)。

圖3 戴維南定理的解釋用圖

當(dāng)端口開路時，見圖3(a)，可以列出節(jié)點電壓方程，如下式(2)。當(dāng)端口加入電流源i時，見圖3(b)，可列節(jié)點電壓方程，如下式(3)。

(2)

(3)

分別對式(2)和式(3)左乘A-1，令：A-1=Z，則可得以下兩式

(4)

(5)

將式(5)和式(4)相減，可得：

(6)

關(guān)注式(6)代表的方程組的最后一行，即可得出下列方程，列于下式(7)。

u=uoc-znni

(7)

從式(7)就能得出：兩端口網(wǎng)絡(luò)對外可以等效為一個電源的形式，其中電源的電壓為uoc，電源的內(nèi)阻為znn，如圖3(c)，這就是戴維寧定理的形式。對于包含獨立電壓源支路的電路，節(jié)點電壓法仍然能表示為：AX=B的形式，只是此時矩陣A和向量B的含義更復(fù)雜，但是并不影響以上的推導(dǎo)過程。

從推導(dǎo)過程，可以明確看到：①被等效的網(wǎng)絡(luò)N，內(nèi)部必須是線性的，從數(shù)學(xué)意義上說，描述其參數(shù)的方程是線性代數(shù)方程，否則式(5)和式(4)相減時不能用線性代數(shù)的減法公式；②網(wǎng)絡(luò)N內(nèi)部的電流、電壓參數(shù)不能受控于端口外電流i，否則對圖3(a)和圖3(b)列節(jié)點方程時，A矩陣或向量B中的b1～bn-1將會不一致，以上的推導(dǎo)過程則不成立；③對于外界電流i是怎樣產(chǎn)生的，沒有任何限制，即外界電路可以是線性電路也可以是非線性電路，只要其端口電流為i就行。通過這樣的講解，戴維寧定理的使用條件則比較容易交代清楚。

4 結(jié)語

本文從數(shù)學(xué)思維的角度出發(fā)，介紹了如何用線性代數(shù)知識講解電路理論中的齊性定理、疊加定理和戴維寧定理，目的是讓學(xué)生能夠從數(shù)學(xué)的本質(zhì)上理解這些定理的含義及這些定理的適用條件。電氣工程中，數(shù)學(xué)知識應(yīng)用非常普遍，電路是電氣工程的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)思維的適用在一定程度上決定了學(xué)生在電氣工程專業(yè)領(lǐng)域未來能達(dá)到的理論深度，因此在“電路”教學(xué)中強調(diào)和實踐數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練非常必要，本文意在此方面進(jìn)行初步探討與實踐。

[1] 邱關(guān)源. 電路(第5版)[M]. 北京: 高等教育出版社，2006

[2] 于歆杰，朱桂萍，陸文娟. 電路原理[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社，2007

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Teaching of Linear Circuit Theorem with Linear Algebra Knowledge

SHI Jing, CHEN Hong-kun

(SchoolofElectricalEngineering,WuhanUniversity,wuhan430072,China)

Circuit theorems are very important in the Circuit course, but some theorems are only valid for linear circuits. Why these theorems are only valid for linear circuits is a mathematical problem in essence. This paper discusses how to teach homogeneity theorem, superposition theorem, and Thevenin's theorem using linear algebraic knowledge, so that students can understand these theorems and their applicable conditions more clearly.

circuit teaching; linear algebra; linear circuit

2016-05-06;

2016-07- 15

石 晶(1969-)，女，博士，副教授，主要從事電工理論教學(xué)和研究工作，E-mail: shi.jing@whu.edu.cn

TM133

A

1008-0686(2017)02-0103-04