劉瑞芳, 陳嘉垚

(北京交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 北京 100044)

多導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)部分電容的測(cè)量

劉瑞芳, 陳嘉垚

(北京交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 北京 100044)

本文以四導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)為例，依據(jù)部分電容原理給出三種測(cè)量方案，分別為無(wú)短接法、兩路短接法和一路短接法，并以雙饋異步發(fā)電機(jī)中寄生電容測(cè)量問(wèn)題為例，對(duì)三種測(cè)量方案進(jìn)行了比較。分析表明，對(duì)于各部分電容值差距較大的多導(dǎo)體系統(tǒng)，從測(cè)量的簡(jiǎn)便性和數(shù)據(jù)準(zhǔn)確度來(lái)看應(yīng)采用無(wú)短接法。

多導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng); 部分電容; 雙饋異步發(fā)電機(jī)

0 引言

在電氣工程領(lǐng)域經(jīng)常遇到雙導(dǎo)體系統(tǒng)，如平板電容、同軸電纜等。但對(duì)于平行于大地的雙線傳輸線而言，應(yīng)當(dāng)考慮大地的影響而視為多導(dǎo)體系統(tǒng)。在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，任何兩個(gè)導(dǎo)體間的電壓不僅要受到自身電荷的影響，還要受到其余導(dǎo)體上電荷的作用。多導(dǎo)體系統(tǒng)部分電容就是指，一個(gè)導(dǎo)體在其余導(dǎo)體的影響下，與另一個(gè)導(dǎo)體構(gòu)成的電容。

“工程電磁場(chǎng)”課程中指出，針對(duì)媒質(zhì)分布簡(jiǎn)單且結(jié)構(gòu)對(duì)稱的多導(dǎo)體系統(tǒng)，采用鏡像法等解析方法可以獲得系統(tǒng)的部分電容[1]。對(duì)于導(dǎo)體形狀復(fù)雜且媒質(zhì)分布多樣的多導(dǎo)體系統(tǒng)，不適宜采用解析分析獲得部分電容，但可采用電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算求取[2]。不過(guò)，其計(jì)算結(jié)果的正確性有待測(cè)量結(jié)果檢驗(yàn)。因此多導(dǎo)體系統(tǒng)部分電容參數(shù)的測(cè)量是一項(xiàng)有意義的工作。

對(duì)于三導(dǎo)體獨(dú)立系統(tǒng)，可以根據(jù)等效電容的概念，進(jìn)行測(cè)量和推算[3，4]。而四導(dǎo)體及以上的系統(tǒng)其測(cè)量方案要比三導(dǎo)體系統(tǒng)復(fù)雜，在文獻(xiàn)[3]中介紹了一種三芯電纜的部分電容的測(cè)量方法。實(shí)際上，對(duì)多導(dǎo)體系統(tǒng)部分電容問(wèn)題存在多種測(cè)量方案。不同的測(cè)量方案，后期數(shù)據(jù)處理的難度也不同。在實(shí)際中需要對(duì)測(cè)量方法進(jìn)行選擇。本文以四導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)為例，給出三種測(cè)量方案，并針對(duì)雙饋異步風(fēng)力發(fā)電機(jī)寄生電容參數(shù)提取問(wèn)題，對(duì)各種測(cè)量方案的有效性進(jìn)行了比較，并指出其中相對(duì)操作簡(jiǎn)便且后期數(shù)據(jù)處理簡(jiǎn)單的方法。

1 多導(dǎo)體系統(tǒng)部分電容的測(cè)量方案

在(n+1)個(gè)導(dǎo)體構(gòu)成的靜電獨(dú)立系統(tǒng)中，共有n(n+1)/2個(gè)部分電容。這些部分電容形成了一個(gè)電容網(wǎng)絡(luò)，這樣就可以把一個(gè)靜電場(chǎng)的問(wèn)題變成一個(gè)電容電路的問(wèn)題，把場(chǎng)的概念和路的概念聯(lián)系起來(lái)。本文以四導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)為例分析，如圖1所示，選擇0號(hào)導(dǎo)體為參考電位，本系統(tǒng)中n=3。

圖1 四導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)電容分布情況

在四導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)中，各導(dǎo)體電荷與導(dǎo)體間的電壓滿足下式：

(1)

式中qi為第i號(hào)導(dǎo)體上的電荷，Uij為導(dǎo)體i和導(dǎo)體j間的電壓，Cij為部分電容。C10，C20，C30稱為自有部分電容；C12，C13，C23稱為互有部分電容，且互有電容具有互易性，Cij=Cji。

在對(duì)多導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)進(jìn)行部分電容測(cè)量時(shí)，可以從二端口等效電容概念出發(fā)通過(guò)短接部分導(dǎo)體實(shí)現(xiàn)測(cè)量。根據(jù)短接導(dǎo)體數(shù)目不同，測(cè)量方案可以分為三種，分別為無(wú)短接法、兩路短接法和一路短接法，下面分別進(jìn)行介紹。

1.1 無(wú)短接法

該方案需要對(duì)任意兩個(gè)導(dǎo)體進(jìn)行兩兩之間的電容測(cè)量，推導(dǎo)相應(yīng)的等效電容。對(duì)于四導(dǎo)體系統(tǒng)，需要測(cè)量六組等效電容。然后根據(jù)六個(gè)等效電容測(cè)量值推算出系統(tǒng)的部分電容。

(1)測(cè)量1號(hào)導(dǎo)體和0號(hào)導(dǎo)體之間等效電容Cn1，根據(jù)圖1，Cn1與其他電容的關(guān)系如下：

(2)

(2)測(cè)量2號(hào)導(dǎo)體和0號(hào)導(dǎo)體之間等效電容Cn2，根據(jù)圖1，Cn2與其他電容的關(guān)系如下：

(3)

(3)測(cè)量3號(hào)導(dǎo)體和0號(hào)導(dǎo)體之間等效電容Cn3，根據(jù)圖1，Cn3與其他電容的關(guān)系如下：

(4)

(4)測(cè)量1號(hào)導(dǎo)體和3號(hào)導(dǎo)體之間等效電容Cn4，根據(jù)圖1，Cn4與其他電容的關(guān)系如下：

(5)

(5)測(cè)量2號(hào)導(dǎo)體和3號(hào)導(dǎo)體之間等效電容Cn5，根據(jù)圖1，Cn5與其他電容的關(guān)系如下:

(6)

(7)

測(cè)量結(jié)束后，聯(lián)立式(2)～式(7)組成的方程組，根據(jù)六個(gè)等效電容測(cè)量值推算出系統(tǒng)的部分電容。這種方法沒(méi)有引入其他工具，也就沒(méi)有引入外來(lái)誤差，測(cè)量時(shí)比較簡(jiǎn)便。但是聯(lián)立求解六元高次方程組獲得部分電容時(shí)，需要借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解。

1.2 兩路短接法

上述方法后期的數(shù)據(jù)處理工作量較大，為了降低等效電容求解的復(fù)雜程度，可以在測(cè)量時(shí)先將導(dǎo)體系統(tǒng)進(jìn)行兩路短接，再進(jìn)行測(cè)量。和無(wú)短接法相同，兩路短接法也需要測(cè)量六組等效電容。

(1)將3號(hào)導(dǎo)體與0號(hào)導(dǎo)體、2號(hào)導(dǎo)體與0號(hào)導(dǎo)體短路，測(cè)量1號(hào)導(dǎo)體與0號(hào)導(dǎo)體之間的等效電容Cl1，根據(jù)圖1，Cl1與其他電容的關(guān)系如下:

Cl1=C10+C13+C12

(8)

(2)將3號(hào)導(dǎo)體與0號(hào)導(dǎo)體、1號(hào)導(dǎo)體與0號(hào)導(dǎo)體短路，測(cè)量2號(hào)導(dǎo)體與0號(hào)導(dǎo)體之間的等效電容Cl2，根據(jù)圖1，Cl2與其他電容的關(guān)系為

Cl2=C20+C23+C12

(9)

(3)將1號(hào)導(dǎo)體與0號(hào)導(dǎo)體、2號(hào)導(dǎo)體與0號(hào)導(dǎo)體短路，測(cè)量3號(hào)導(dǎo)體與0號(hào)導(dǎo)體之間的等效電容Cl3，根據(jù)圖1，則Cl3與其他電容的關(guān)系為

Cl3=C13+C23+C30

(10)

(4)將1號(hào)導(dǎo)體與3號(hào)導(dǎo)體、2號(hào)導(dǎo)體與3號(hào)導(dǎo)體短路，測(cè)量1號(hào)導(dǎo)體與0號(hào)導(dǎo)體之間的等效電容Cl4，根據(jù)圖1，Cl4與其他電容的關(guān)系為

Cl4=C10+C20+C30

(11)

(5)將1號(hào)導(dǎo)體與3號(hào)導(dǎo)體、2號(hào)導(dǎo)體與0號(hào)導(dǎo)體短路，測(cè)量1號(hào)導(dǎo)體與0號(hào)導(dǎo)體之間的等效電容Cl5，根據(jù)圖1，Cl5與其他電容的關(guān)系為

Cl5=C10+C23+C30+C12

(12)

(6)將2號(hào)導(dǎo)體與3號(hào)導(dǎo)體、1號(hào)導(dǎo)體與0號(hào)導(dǎo)體短路，測(cè)量2號(hào)導(dǎo)體與0號(hào)導(dǎo)體之間的等效電容Cl6，根據(jù)圖1，Cl6與其他電容的關(guān)系為

Cl6=C20+C12+C30+C12

(13)

顯然由式(8)～(13)所得到的六元一次方程組要比無(wú)短接法的要簡(jiǎn)單許多。根據(jù)測(cè)得的等效電容，對(duì)該六元一次方程組聯(lián)立求解，就可以獲得多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容。

1.3 一路短接法

如果每次對(duì)多導(dǎo)體系統(tǒng)只進(jìn)行一路短接，也可以降低系統(tǒng)的復(fù)雜程度。對(duì)于四導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)，按照表1所示的順序，依次對(duì)部分導(dǎo)體進(jìn)行短接，并對(duì)導(dǎo)體間的電容進(jìn)行測(cè)量，一共可以得到18組等效電容。

表1 4導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)電容測(cè)量方法

表1中第二行表示的是短接3號(hào)和0號(hào)導(dǎo)體，分別測(cè)量1號(hào)和0號(hào)間電容，2號(hào)和0號(hào)導(dǎo)體間電容，以及1號(hào)和2號(hào)導(dǎo)體間電容。其余類推。根據(jù)多導(dǎo)體系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，可以獲得相應(yīng)的等效電容表達(dá)式。將測(cè)得的等效電容結(jié)果代入到各個(gè)表達(dá)式，聯(lián)立求解，可以得到部分電容。由于只有6個(gè)部分電容是未知量，理論上只需要六個(gè)方程即可求解，12個(gè)方程是有冗余的。該方法可以用來(lái)驗(yàn)證其他方法測(cè)量結(jié)果的正確性。

1.4 三種測(cè)量方案的比較

以上三種測(cè)量方案，從原理上都是可行的。但是在測(cè)量的簡(jiǎn)便性，后期數(shù)據(jù)處理的復(fù)雜度以及結(jié)果的準(zhǔn)確性方面是有不同的。

從測(cè)量簡(jiǎn)便性來(lái)看，無(wú)短接法最為簡(jiǎn)單，四個(gè)導(dǎo)體進(jìn)行兩兩間等效電容測(cè)量，獲得六個(gè)數(shù)據(jù)；兩路短接法操作簡(jiǎn)便性次之，也僅需測(cè)量六個(gè)數(shù)據(jù)，但每次測(cè)量都需要進(jìn)行兩路短接，會(huì)引入外部誤差；一路短接法測(cè)量過(guò)程最為復(fù)雜，需要測(cè)量18組。

從后期數(shù)據(jù)處理簡(jiǎn)便性來(lái)看，無(wú)短接法最為復(fù)雜，需要聯(lián)立求解六個(gè)六元高次方程組，通常需要借助計(jì)算機(jī)才能完成；一路短接法次之；兩路短接等效電容表達(dá)式最為簡(jiǎn)單，計(jì)算也最為簡(jiǎn)單。

從測(cè)量準(zhǔn)確性方面來(lái)看，如果是測(cè)量三芯電纜等結(jié)構(gòu)對(duì)稱且簡(jiǎn)單的對(duì)象，采用不同的測(cè)量方案所得的結(jié)果會(huì)是相近的。而對(duì)于各部分電容數(shù)量級(jí)相差比較大的系統(tǒng)，采用一路短接和兩路短接的方法，都有將數(shù)值較小的電容信息淹沒(méi)的問(wèn)題，會(huì)給后續(xù)計(jì)算反演帶來(lái)誤差。而無(wú)短接法沒(méi)有失去任何部分電容的信息，即所有各個(gè)部分電容都影響著等效電容的測(cè)量數(shù)據(jù)，因此后續(xù)由等效電容反演計(jì)算各個(gè)部分電容也會(huì)反映出各個(gè)電容的信息。因此從保留各個(gè)電容信息的角度來(lái)看無(wú)短接法是有效的測(cè)量方案。但短接方法相對(duì)于無(wú)短接法的誤差范圍會(huì)依據(jù)系統(tǒng)而不同。下面將從雙饋異步風(fēng)力發(fā)電機(jī)的寄生電容測(cè)試問(wèn)題出發(fā)，來(lái)比較上述方案的準(zhǔn)確性和簡(jiǎn)便性。

2 實(shí)例分析

雙饋異步發(fā)電機(jī)DFIG (Double-fed Induction Generator)被廣泛應(yīng)用于風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)中。由于轉(zhuǎn)子側(cè)采用變流器供電，其產(chǎn)生的共模電壓在電機(jī)內(nèi)部寄生電容作用下會(huì)在電機(jī)軸承上產(chǎn)生軸電壓以及軸電流，使軸承產(chǎn)生早期失效，危害系統(tǒng)安全運(yùn)行[5]。確定電機(jī)內(nèi)寄生電容參數(shù)可以用于預(yù)測(cè)電機(jī)軸電壓和軸電流。

下面針對(duì)1.5 MW雙饋異步風(fēng)力發(fā)電機(jī)的寄生電容，采用前面提到的三種測(cè)試方法進(jìn)行測(cè)量，并比較各種方法的有效性。在雙饋異步發(fā)電機(jī)中存在四個(gè)等效導(dǎo)體，分別是電機(jī)轉(zhuǎn)子繞組(rotor winding)、轉(zhuǎn)子鐵芯/軸(rotor/shaft)、定子繞組(stator winding)和定子鐵芯/機(jī)座(stator/frame)，如圖2所示。這四個(gè)等效導(dǎo)體構(gòu)成了一個(gè)四導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)。設(shè)轉(zhuǎn)子繞組為1號(hào)導(dǎo)體，定子繞組為2號(hào)導(dǎo)體，轉(zhuǎn)軸為3號(hào)導(dǎo)體，機(jī)殼為0號(hào)導(dǎo)體，電位為零，根據(jù)電機(jī)結(jié)構(gòu)得到電機(jī)寄生電容等效電路如圖3所示。

圖3中，Crwf為轉(zhuǎn)子繞組(Rotor Windings)與機(jī)殼(Frame)之間的耦合電容，Crwr為轉(zhuǎn)子繞組(Rotor Windings)與轉(zhuǎn)子鐵芯(Rotor)之間的耦合電容，Crf為轉(zhuǎn)子鐵芯(Rotor)與機(jī)殼(Frame)之間的耦合電容，Cswf為定子繞組(Stator windings)與機(jī)殼(Frame)之間的耦合電容，Cswr為定子繞組(Stator Windings)與轉(zhuǎn)子鐵芯(Rotor)之間的耦合電容，Cswrw為定子繞組(Stator Windings)與轉(zhuǎn)子繞組(Rotor Windings)之間的耦合電容。

選用安捷倫LCR 測(cè)試儀U1733C 的電容檔進(jìn)行測(cè)量。分別采用兩路短接法和無(wú)短接法分別對(duì)雙饋異步風(fēng)力發(fā)電機(jī)的電容進(jìn)行測(cè)量。表2為采用兩路短接法測(cè)得的等效電容數(shù)據(jù)。表3為無(wú)短接法測(cè)得的等效電容數(shù)據(jù)。

圖2 雙饋異步發(fā)電機(jī)寄生電容分布

圖3 雙饋異步發(fā)電機(jī)部分電容等效電路

表2 兩路短接法測(cè)量DFIG等效電容數(shù)據(jù)(單位: nF)

表3 無(wú)短接法測(cè)量DFIG等效電容數(shù)據(jù)(單位: nF)

將以上兩種方案的測(cè)量數(shù)據(jù)分別代入相應(yīng)方程組，聯(lián)立求解，可得到該系統(tǒng)部分電容。選取無(wú)短接法的結(jié)果為基準(zhǔn)值，可以計(jì)算出兩路短接法下各電容的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差，結(jié)果如表4所示。

表4 兩種方案獲得的部分電容數(shù)據(jù)和誤差(單位:nF)

從相對(duì)誤差數(shù)據(jù)來(lái)看，相對(duì)于無(wú)短接法而言，兩路短接法得到的Crwr(轉(zhuǎn)子繞組對(duì)轉(zhuǎn)子鐵芯)和Cswf(定子繞組對(duì)定子鐵芯)的誤差最小，小于0.5%。而Cswrw(定子繞組對(duì)轉(zhuǎn)子繞組)的相對(duì)誤差最大；Crwf和Cswr的相對(duì)誤差也在80%以上；Crf(轉(zhuǎn)子鐵芯對(duì)機(jī)殼/定子鐵芯)誤差為18%。因此從這些數(shù)據(jù)來(lái)看，兩路短接法測(cè)得的Crwr和Cswf非常準(zhǔn)確，Crf也有一定的參考性；而其余三個(gè)電容Crwf、Cswr、Cswrw誤差較大，不太具有參考性。本算例中各電容數(shù)值差距很大，由無(wú)短接法得到的Crwr和Cswf為177.3 nF和165.9 nF，而Cswrw小于1 nF。由于繞組和鐵芯之間為槽絕緣，絕緣距離短且介電常數(shù)大，定轉(zhuǎn)子槽數(shù)多，導(dǎo)致Crwr和Cswf數(shù)值大，而Cswrw為定轉(zhuǎn)子繞組之間的耦合電容，絕緣距離長(zhǎng)且為空氣，因此數(shù)值小。采用短接測(cè)量法存在將數(shù)值較小的電容信息淹沒(méi)的問(wèn)題，會(huì)給后續(xù)反演計(jì)算帶來(lái)誤差。所以對(duì)于電容數(shù)值差異較大的系統(tǒng)，建議采用無(wú)短接法進(jìn)行測(cè)量。

3 結(jié)語(yǔ)

在多導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)部分電容測(cè)量時(shí)存在多種方案。本文以四導(dǎo)體系統(tǒng)為例，給出了三種測(cè)量方案，并以雙饋異步電機(jī)寄生電容參數(shù)提取為例對(duì)不同測(cè)量方案進(jìn)行了比較。從測(cè)量的簡(jiǎn)便性來(lái)看，無(wú)短接法最簡(jiǎn)單，沒(méi)有引入外加短接線，但是后期數(shù)據(jù)處理復(fù)雜。兩路短接法的測(cè)量復(fù)雜性略高于無(wú)短接法，其優(yōu)點(diǎn)是后續(xù)數(shù)據(jù)處理較簡(jiǎn)便。而一路短接法從測(cè)量簡(jiǎn)便性和后續(xù)數(shù)據(jù)處理簡(jiǎn)便性上都一般，可以作為補(bǔ)充或者備用方案。從測(cè)量準(zhǔn)確性看，如果系統(tǒng)中各電容差異不大，且結(jié)構(gòu)對(duì)稱簡(jiǎn)單，三種方案都可以采用。但當(dāng)系統(tǒng)中各部分電容數(shù)值差異較大，從測(cè)量簡(jiǎn)便性和結(jié)果準(zhǔn)確性考慮，建議采用無(wú)短接法。本文所建議的測(cè)量方案可以應(yīng)用到“工程電磁場(chǎng)”部分電容測(cè)量的實(shí)驗(yàn)教學(xué)中。

[1] 馮慈璋．工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論[M]．北京：高等教育版社，2000.

[2] 劉瑞芳,陳嘉垚,馬喜平,程建全,曹君慈.基于 PWM 逆變器供電軸電流問(wèn)題的交流電機(jī)耦合電容的計(jì)算與測(cè)量[J]. 北京：電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2014,29(1):60-67.

[3] 邵小桃,李一玫.靜態(tài)場(chǎng)部分電容和互感的測(cè)量[J]. 南京：電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào), 2009(02): 83-85.

[4] 郝麗,董甲瑞. “電磁場(chǎng)”課程中部分電容的實(shí)驗(yàn)方法討論[J]. 南京：電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào), 2011(04): 58-60.

[5] Whittle, M., J. Trevelyan and P.J. Tavner. Bearing currents in wind turbine generators[J]. Journal of Renewable and Sustainable Energy, 2013, 5(5): 53-128.

Measurement of the Partition Capacitance of Independent Electrostatic Multiple Conductors System

LIU Rui-fang, CHEN Jia-yao

(SchoolofElectricalEngineering,BeijingJiaotongUniversity,Beijing100044，China)

The measurement of partition capacitance in electrostatic independent multiple conductors system is an experiment in Engineering Electromagnetic Field courses, and which is also a problem frequently appeared in electrical engineering. Based on the theory of partition capacitance, three measurement methods are proposed in the case of four-conductor system. They are respectively named as no-short circuit method, two-line short circuit method and one-line short circuit. In order to compare the three methods, the partition capacitances of a double-fed asynchronous generator are measured. The result shows that considering the measurement simplicity and result accuracy, no-short circuit method is recommended.

independent electrostatic multiple conductors system; partition capacitance; double-fed asynchronous generator

2016-05-25;

2016-11- 14

劉瑞芳( 1971-) ，女，博士，副教授，主要從事電機(jī)電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算的教學(xué)與研究工作，E-mail: rfliu@ bjtu.edu.cn

TM32

A

1008-0686(2017)02-0089-05