龍中權(quán)， 周東明， 尹家賢

(1.北京宇航系統(tǒng)工程研究所， 北京 100076 2.國防科學技術大學 電子科學與工程學院， 湖南 長沙 410000)

導電圓環(huán)電感系數(shù)的計算方法辨析

龍中權(quán)1， 周東明2， 尹家賢2

(1.北京宇航系統(tǒng)工程研究所， 北京 100076 2.國防科學技術大學 電子科學與工程學院， 湖南 長沙 410000)

本文計算了導電圓環(huán)的內(nèi)自感系數(shù)和外電感系數(shù)。對于通有低頻電流的導電圓環(huán)，可近似認為電流在導電圓環(huán)的截面內(nèi)均勻分布，且導電圓環(huán)半徑遠大于導電圓環(huán)截面半徑。導電圓環(huán)的內(nèi)自感系數(shù)可以根據(jù)直導線的內(nèi)自感近似得出；而外電感系數(shù)可以根據(jù)導電圓環(huán)的空間輻射場計算得到。結(jié)果表明，最終得到的電感系數(shù)與實際工程經(jīng)驗相符。文中采用的方法為任意幾何形狀導電環(huán)的外電感系數(shù)的計算提供了有效參考。

導電圓環(huán)；內(nèi)自感；外電感

0 引言

導體回路的交變電流所產(chǎn)生的交變磁場在自身回路中會產(chǎn)生感應電動勢，這屬于電感現(xiàn)象，可以用電感來描述。

導線中的電流，在導線內(nèi)部、外部都會產(chǎn)生磁場。因此，對于一般導線而言，不僅存在外電感，同時也存在內(nèi)電感。

長直導線或長直螺線管的電感都不難求出，而導電圓環(huán)的結(jié)構(gòu)并不復雜，其電感的計算卻并非容易。

本文首先討論了將導電圓環(huán)等效為磁振子，根據(jù)磁振子的輻射場，由電感的定義計算出導電圓環(huán)的外電感。經(jīng)驗證，這種思路存在一定的問題，本文對此進行了詳細的討論。計算導電圓環(huán)電感的方法是將導電圓環(huán)分割成無數(shù)短直導電圓柱，計算出各短直導電圓柱在空間的輻射場；導電圓環(huán)的輻射場可以看成是各個導電圓柱輻射場的疊加，進而根據(jù)電感的定義計算出導電圓環(huán)的外電感。而導電圓環(huán)內(nèi)電感可以根據(jù)直導線的內(nèi)電感近似得到。

1 導電圓環(huán)內(nèi)電感系數(shù)的計算

本文主要討論導電圓環(huán)在通有低頻電流情況下其電感的計算，所以，電流I可以近似認為在導電圓環(huán)的截面內(nèi)均勻分布。

假設導電圓環(huán)的截面半徑為a，圓環(huán)半徑為R。將導電圓環(huán)放置于直角坐標系的XY平面內(nèi)，如圖1所示。

圖1 導電圓環(huán)放置示意圖

由于在導電圓環(huán)的內(nèi)部存在電磁場，則存在內(nèi)磁通，所以存在內(nèi)電感Li。因為電流在圓環(huán)截面均勻分布，所以當圓環(huán)的半徑遠大于圓環(huán)的截面半徑時(R>>a)，導電圓環(huán)的內(nèi)電感可以足夠近似地按照長直導線內(nèi)電感情況計算。

一段長為l，導電材料的磁導率為μ的長直導線內(nèi)電感為[1]

(1)

從而，圓環(huán)半徑為R的導電圓環(huán)的內(nèi)電感為

(2)

2 導電圓環(huán)外電感系數(shù)的計算

導電圓環(huán)的外電感系數(shù)比較難以計算。目前，工程上普遍使用導電圓環(huán)的外電感計算公式為[2]

(3)

式(3)成立的前提條件是：假設電流在導電圓環(huán)的截面內(nèi)均勻分布，且R>>a，即：導電圓環(huán)的半徑遠大于導電圓環(huán)的截面半徑?？紤]到，在滿足上述條件的情況下，導電圓環(huán)的內(nèi)電感往往可以忽略。

本文首先討論將導電圓環(huán)等效為磁振子來計算其外電感；然后討論將導電圓環(huán)分割成無數(shù)短直導電圓柱，通過計算其輻射場來計算外電感。

2.1 等效磁振子方法中存在的問題

由電磁場基本理論可知，小導電圓環(huán)在空間的輻射場可以等效為磁偶極子在空間的輻射場。所以，可以嘗試將導電圓環(huán)等效為磁振子，通過計算磁振子的輻射場，再來計算導電圓環(huán)所包圍平面的磁通量，然后根據(jù)電感的定義計算出導電圓環(huán)的外電感。

1) 導電圓環(huán)的空間輻射電磁場

已知磁振子在空間產(chǎn)生的電磁場為[3]

(4)

(5)

(6)

其中K為自由空間波阻抗，l為磁振子的長度，k為波數(shù)。

根據(jù)兩者之間的對應關系，可以得到導電圓環(huán)的空間輻射電磁場：

(7)

(8)

(9)

其中，R為導電圓環(huán)的半徑

2) 計算導電圓環(huán)外電感

由于考慮的是低頻電流下的導電圓環(huán)電感系數(shù)，所以導電圓環(huán)幾何大小相對其產(chǎn)生的電磁場的波長來說屬于電小尺寸。

考慮導電圓環(huán)的近場，忽略低階項，得到

(10)

(11)

由回路的電感的定義可知

(12)

將式(10)與式(11)代入式(12)，在導電圓環(huán)所包圍的面上進行積分，得到電流環(huán)的電感：

(13)

對式(13)進行積分，得到導電圓環(huán)的電感

(14)

(15)

考慮到R?a，式(13)可近似為

(16)

上述計算導電圓環(huán)外電感的思路是將導電圓環(huán)等效為磁振子，通過計算磁振子在空間的輻射場，從而得到導電圓環(huán)在空間的輻射特性。然后由式(13)計算出導電圓環(huán)的外電感。

根據(jù)式(16)可以發(fā)現(xiàn)，由上述思路最終得到導電圓環(huán)的外電感與導電圓環(huán)的截面半徑?jīng)]有關系，只與導電圓環(huán)的半徑成正比，這顯然不符合實際的工程經(jīng)驗，也與公式(3)相矛盾。

出現(xiàn)上述錯誤推論的原因是導電圓環(huán)輻射場的計算存在問題。問題出在哪里？簡單地認為導電圓環(huán)的輻射場可以直接等效為磁振子的輻射場，這種等效是有一定前提條件的。一般情況下，小電流環(huán)輻射場與磁基本振子輻射場的等效關系，只有在小電流環(huán)中通有高頻電流情況下，兩者的輻射場才近似相同。并且，如果將導電圓環(huán)等效為磁偶極子，算出其輻射場后，不能再返回去計算磁偶極子圍繞區(qū)域的場分布。

問題就出在將通有低頻電流的導電圓環(huán)的輻射場等效為磁振子的輻射場是不正確的。

2.2 等效導電圓柱方法

低頻情況下，電流I在導電圓環(huán)的截面上近似均勻分布。 并且，滿足條件R?a，所以，在計算過程中，可以將導電圓環(huán)截面的電流看成在圓環(huán)截面中心線集中分布。

將導電圓環(huán)分割成無數(shù)段弧長為dl的導電圓柱，由于細分的導電圓柱弧長長度很小，故可以將其近似看成是短直線導電圓柱。所以，導電圓環(huán)在空間的輻射場可以等效為各無限小導電圓柱輻射場的疊加。

在導電圓環(huán)上與 軸的夾角為β處，取出一段弧長為dl的導電圓柱進行研究(如圖1所示)。將短直導電圓柱放置于X1Y1Z1坐標系內(nèi)，方向朝Z1軸放置，如圖2所示。

圖2 長度為dl的導體柱放置示意圖

1) 無限小短直導電圓柱輻射場的計算

在通有電流I的導電圓柱中，截面電流密度

(17)

由矢量位公式

(18)

計算得到圓柱的矢量位

(19)

以上計算得到導電圓柱的矢量位是在直角坐標X1Y1Z1下計算的結(jié)果，為了方便后續(xù)的計算，需要將AZ1轉(zhuǎn)化為基于X1Y1Z1直角坐標的球坐標下進行研究，即：

(20)

(21)

根據(jù)矢量位與磁場強度的關系

(22)

得到短直導電圓柱在空間產(chǎn)生的輻射電磁場為

(23)

(24)

(25)

由于考慮的是低頻電流，在所考慮圓環(huán)半徑范圍內(nèi)的輻射場是導電圓柱輻射的近場。

經(jīng)過上述簡化，長度為dl的短直導電圓柱的空間輻射場為

(26)

2) 坐標系的轉(zhuǎn)換

上述的結(jié)果是在坐標系X1Y1Z1下得到的輻射場，X1Y1Z1坐標系是動坐標系，隨著角度β的變化而變化。為了使參考坐標系一致，有必要進行坐標變換，將X1Y1Z1坐標系下導電圓柱的輻射場轉(zhuǎn)換到XYZ坐標系下進行研究。

XYZ坐標系與X1Y1Z1坐標系的空間位置關系如圖3所示，X1軸與X軸的夾角為β。

圖3 兩個坐標軸之間的幾何關系

由坐標系的轉(zhuǎn)換關系可得到兩坐標的坐標轉(zhuǎn)換矩陣

(27)

從而X1Y1Z1坐標系與XYZ坐標系之間的轉(zhuǎn)換關系為

(28)

按照式(28)的轉(zhuǎn)換關系，式(26)轉(zhuǎn)換到XYZ坐標系后，得到

(29)

將式(29)轉(zhuǎn)化為極坐標并化簡

(30)

3) 導電圓環(huán)外電感系數(shù)的計算

對式(30)在圓環(huán)所包圍的面內(nèi)進行積分：

(31)

由式(31)可得到導電圓環(huán)在空間輻射的近磁場。從而，當圓環(huán)內(nèi)的電流為I時，圓環(huán)包圍的半徑為(R-a)圓面內(nèi)的磁通Φ為

(32)

所以，導電圓環(huán)的外電感

(33)

給定導電圓環(huán)的截面半徑a以及導電圓環(huán)的半徑R，根據(jù)式(33)，通過數(shù)值積分即可算出各種情況下導電圓環(huán)的外電感。

綜合上述分析，導電圓環(huán)的電感由內(nèi)電感Li和外電感Le兩部分組成。導電圓環(huán)的總電感為內(nèi)電感Li和外電感Le之和，即

L=Li+Le

(34)

實際上，導電圓環(huán)的內(nèi)電感相對于外電感可以忽略。

4) 結(jié)果討論

對式(33)進行數(shù)值積分，繪制導電圓環(huán)的外電感隨導電圓環(huán)半徑與截面半徑比值(R/a)變化的曲線；同時對經(jīng)驗公式(3)取相應點的數(shù)值以做比較，得到的圖形如圖4所示。

(a) R/a值較小

(b) R/a值較大時圖4 導電圓環(huán)外電感隨R/a變化曲線

對比圖4可以發(fā)現(xiàn)，當(R/a)較小時，式(33)計算出的電感與工程經(jīng)驗公式(3)計算出的結(jié)果差別較大，如圖4(a)中的第一個點(R/a=2),兩者的差別比較明顯；當(R/a)較大時，兩個公式的計算結(jié)果

符合非常好。并且，隨著導電圓環(huán)半徑與圓環(huán)截面半徑的比值(R/a)增大，兩個計算公式的誤差逐漸減小。當R/a=50時，兩個公式的誤差低至1%，上述誤差完全在可接受范圍內(nèi)。

3 結(jié)語

本文針對導電圓環(huán)的電感進行了研究，包括導電圓環(huán)的內(nèi)電感和外電感，導電環(huán)的總電感如式(34)所示。

導電圓環(huán)的內(nèi)電感可以根據(jù)直導線內(nèi)電感近似得出。對于外電感，本文首先討論了將導電圓環(huán)等效為磁振子，再進行相關的計算。分析表明，這種思路存在一定的問題，為此給出了合理的解釋。

本文采用的方法是將導電圓環(huán)分割成無數(shù)個短直導電圓柱，通過計算各個導電圓柱的輻射場，然后對所有導電圓柱的輻射場疊加，得到導電圓環(huán)的輻射場。根據(jù)電感的定義，計算出導電環(huán)的外電感。計算結(jié)果如式(33)，這與工程經(jīng)驗公式(3)符合非常好。

本文采用的等效導電圓柱計算電感的方法，為計算任何幾何形狀導電環(huán)的外電感提供了一定的參考。

[1] 路宏敏，趙永久，朱滿座. 電磁場與電磁波基礎(第二版)[M]. 北京：科學出版社，2012

[2] 鐘順時. 電磁場基礎[M]. 北京：清華大學出版社，2006

[3] 魏文元，宮德明等. 天線原理[M]. 北京：國防工業(yè)出版社，1985

Analysis of Calculating Inductance Coefficient of Conducting Circular Ring

LONG Zhong-quan1， ZHOU Dong-ming2， YIN Jia-xian2

(1BeijingInstituteofAerospaceEngineeringSystem,Beijing100076，China2CollegeofElectronicScienceandEngineering，NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410000，China)

This paper explores the inductance coefficient of conducting circular ring, including internal self-inductance coefficient and external inductance coefficient. With consideration of low frequency current in conducting circular ring, the current can be regarded as distributing uniformly in cross section of the ring. The internal self-inductance can be calculated according to the inductance of straight line conduct; and external inductance can be calculated by the electromagnetic radiation field of conducting circular ring. The results show that the inductance coefficient conforms very well to engineering experiences. Furthermore, the methods adopted in this paper can be a reference calculating the inductance coefficient of conducting ring of any shape.

conducting circular ring; internal self-inductance; external inductance

2016-05-21;

2016-09-09

龍中權(quán)(1991-)，男，在讀研究生，研究方法為強電磁脈沖響應，E-mail: yb_longzq@163.com

G426

A

1008-0686(2017)02-0094-05