齊 寧， 許哲翔， 張 強

(天津大學 1. 求是學部 2. 電氣與自動化工程學院，天津 300072)

積分變換法在求解靜電場邊值問題中的應用

齊 寧1， 許哲翔2， 張 強2

(天津大學 1. 求是學部 2. 電氣與自動化工程學院，天津 300072)

靜電場邊值問題一般采用直接積分法、分離變量法、鏡像法等常規(guī)方法求解析解。本文基于積分變換法求解微分方程的思想，運用傅里葉變換等積分變換方法，得出在一定條件下采用積分變換法求解靜電場邊值問題具有可行性和簡便性，為求解相似問題探索出一條新的途徑。

靜電場邊值問題；積分變換法；有限傅里葉變換

0 引言

電磁場的邊值問題在電磁場理論中具有重要的地位，而靜電場的求解是電磁場教學中的首要內(nèi)容。在“工程電磁場導論”中，靜電場邊值問題的解法主要有兩大類：解析法和數(shù)值法，其中解析法又包括直接積分法、分離變量法、鏡像法和電軸法[1]。由于鏡像法和電軸法只適用于求解特殊邊界條件下的靜電場邊值問題，而直接積分法和分離變量法在某些問題下求解過程較為復雜。若能將靜電場中的泊松方程或拉普拉斯方程中的自變量個數(shù)減少一個，即將原來的偏微分方程變換為常微分方程，再通過反演得到原始問題的解，將大大降低求解難度。

基于這一思想，本文采用積分變換法求解靜電場邊值問題，針對多種邊界條件情況，運用積分變換方法，使問題的求解過程由繁到簡。

1 積分變換簡介

積分變換是將一個函數(shù)通過積分運算變換成另一個函數(shù)，主要用來求解復雜的微積分方程，使得求解過程簡單化。常見的積分變換有兩種：傅里葉(Fourier)變換和拉普拉斯(Laplace)變換，通過這些變換方法，并結(jié)合反演公式和變換的一些基本性質(zhì)，求得目標函數(shù)的解析式。

本文主要運用傅里葉變換來求解靜電場邊值問題。

2傅里葉與拉普拉斯變換的分析與應用

2.1 傅里葉變換與拉普拉斯變換的分析

理論上拉普拉斯(Laplace)變換對于函數(shù)性質(zhì)的要求弱于傅里葉(Fourier)變換。拉普拉斯(Laplace)變換可以用于含時間參數(shù)的偏微分方程定解問題的求解，適合求解時變場的邊值問題，對于系數(shù)與時間t無關(guān)的偏微分方程，通過積分變換可以減少自變量t，變換偏微分方程為常微分方程，再通過反演，即求逆變換求得原函數(shù)，而逆變換的難易度取決于具體問題。

傅里葉(Fourier)變換是對空間變量進行積分變換，根據(jù)空間變量的變化區(qū)間，可選用正弦變換、余弦變換(自變量變化區(qū)間為半無界區(qū)域)，或者有限正弦和余弦變換(適用于自變量變換區(qū)間有界的情況)。

由于實際問題中區(qū)間絕大部分為有界情況，因而采用有限的傅里葉變換更具有實際意義。有限傅里葉變換分為有限正弦和有限余弦變換，簡寫為DST和DCT。有如下表達式：

DST：

n=1,2,… (1)

反演后得到函數(shù)表達式為

(2)

DCT：

(3)

反演后得到函數(shù)表達式為

(4)

對于多元函數(shù)，以二元函數(shù)為例，對φ(x,y)中的x進行有限正弦變換得到Φ(x,y)。

n=1,2,… (5)

n=1,2,… (6)

同理也可以得到相關(guān)有限余弦變換的表達式:

(7)

(8)[4]

可以看到對應正弦變換需要的邊值條件為第一類邊值條件，而對于余弦變換需要第二類邊值條件，所以應當根據(jù)具體問題選擇適當?shù)姆椒?，原則如下[3]：

(1)所涉及的自變量的變化區(qū)間應該與該變換的區(qū)間要求一致；

(2)未知函數(shù)的該種積分變換存在；

(3)要求函數(shù)f(x)及其各項導數(shù)的在該變換下有簡單的代數(shù)關(guān)系；

(4)所涉及的未知函數(shù)及其低階導數(shù)的特殊值正好由定解條件給出。

2.2 一道經(jīng)典電磁場問題的求解

根據(jù)已知條件，可以得到金屬槽內(nèi)的電勢滿足拉普拉斯方程，并且得到所求場域的第一類邊界條件：

(9)

φ(x,y)|x=0=0

(10)

圖1 接地金屬槽的截面

φ(x,y)|x=a=0

(11)

φ(x,y)|y=0=0

(12)

(13)

(1)采用分離變量法求解

設φ(x,y)=φ1(x)φ2(y)，代入式(9)得到

(14)

解之，得電位函數(shù)的一般形式：

φ(x,y)=(A0+B0x)(C0+D0y)

(15)

采用待定系數(shù)法，由邊界條件式(10)、式(11)、式(12)得到

(16)

再將式(13)代入得

(17)

最終得到電勢分布

(18)

通過這一例子可以看出采用分離變量法求解靜電場簡單邊值問題的復雜性。

(2) 采用積分變換法求解

對原問題的邊值問題的變量x進行有限正弦變換，并將邊值條件代入化簡可得到：

(19)

(20)

C2=-C1=0n=2,3,…

(21)

得到電勢的最終表達式：

(22)

通過以上計算可以發(fā)現(xiàn)離散的傅里葉變換與分離變量法在本質(zhì)上是相似的，都需要把電勢函數(shù)進行離散化處理，但是通過比較可以發(fā)現(xiàn)離散的傅里葉變換能夠大大簡化表達式中系數(shù)的計算，相比之下分離變量法需要確定系數(shù)太多，容易造成分析錯誤。

3 積分變換法求解靜電場邊值問題

的局限性探索

問題：如圖2所示，在均勻外電場E0中，有一半徑為a、介電常數(shù)為ε2的無限長均勻介質(zhì)圓柱體，其軸與E0垂直，柱外充滿介電常數(shù)為ε1的均勻介質(zhì)。求柱內(nèi)柱外的電位分布。

圖2 均勻外電場中的介質(zhì)圓柱體

(1)采用分離變量法求解[1]

(23)

(24)

(2)采用傅里葉變換求解

首先列寫出邊值問題的方程組：

(25)

經(jīng)過化簡得：

(26)

其中C1,C2,A1,A2為待定常數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)，由于邊值條件帶有三角函數(shù)，則其像函數(shù)會出現(xiàn)廣義函數(shù)δ(t)，這樣常數(shù)的求解可能比較特殊，對分離變量法得到的解進行傅里葉變換，發(fā)現(xiàn)它的像函數(shù)是帶有廣義函數(shù)，而傅里葉變換求解的表達式中未待定函數(shù)為指數(shù)形式，由于方程兩邊都是無界的，說明常數(shù)項可能帶有廣義函數(shù)的形式，甚至無法求解。對于這種情況可以通過Matlab進行處理或者直接進行數(shù)值計算。因此，如果邊值條件帶有需要變換參量的三角函數(shù)，可利用積分變換法化簡為常微分方程再利用計算機輔助求解。

4 結(jié)語

積分變換法與分離變量法相比，在求解一定條件下的靜電場邊值問題能夠大大降低求解難度。對不同的邊界條件問題，針對性地采用傅里葉變換或拉普拉斯變換等積分變換方法，能夠有效解決一些靜電場的邊值問題，但各種解法都有一定的局限性。本文為求解靜電場邊值問題提供了一個新的思路，擴充了靜電場邊值問題的求解方法。

[1] 馮慈璋,馬西奎. 工程電磁場導論[M]. 北京:高等教育出版社,2000.6

[2] 彭麗,張玲玲,任淑青,等. 積分變換與場論[M]. 北京:中國鐵道出版社,2015.8

[3] 吳崇試. 數(shù)學物理方法[M].2版. 北京：北京大學出版社,2003,12.

[4] 段汕. 有限Fourier變換在偏微分方程中的應用[J]. 武漢:中南民族學院學報(自然科學版), 1999, 18(4):62-67

The Application of Integral Transform Method to Solve the Boundary Value Problem of Electrostatic Field

QI Ning1，XU Zhe-xiang2，ZHANG Qiang2

( 1.SchoolofQiushiHonorsCollege,TianjinUniversity,2.SchoolofElectricalEngineering&Automation,TianjinUniversity,Tianjin300072,China)

Generally, the solving methods for boundary value problem of electrostatic field to get analytical solutions are direct integral method, separation of variables, image method and so on. Applying integral transform method for solving differential equations, this paper has used Fourier Transform and other integral transform methods, and reaches a conclusion that under certain conditions the application of integral transform method to solve the boundary value problem of electrostatic field is feasible and simple, and explores a new way to solve similar problems.

boundary value problem of electrostatic field; integral transform method; finite Fourier transform

2016-06-05;

2016-09- 01

齊 寧(1996-)男，在讀本科生，研究方向為電工電子專業(yè)，E-mail:tjuqining@163.com 許哲翔(1996-)男，在讀本科生，研究文向為電氣工程及其自動化專業(yè)，E-mail: 670414xujj@gmail. com 張 強(1979-)，男，博士，講師，主要從事電路和電磁場教學工作，E-mail:zhangqiang@tju.edu.cn

G642.4

A

1008-0686(2017)02-0079-04