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(北侖中學(xué) 浙江寧波 315800)

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雙重最值問題的解法探究

●范東暉

(北侖中學(xué) 浙江寧波 315800)

文章從簡單的一元雙重最值問題入手，介紹解決雙重最值問題的通性通法，包括數(shù)形結(jié)合與分段(分類)討論；接著探究復(fù)雜的多元雙重最值問題的解題策略，著重探究了算術(shù)(幾何)平均、設(shè)而不求、先猜后證等方法.

一元(多元)函數(shù)；雙重最值；求解策略

我們把形如“min{max{f(x1),f(x2),…,f(xn)}}”的問題稱為雙重最值問題，此類問題在數(shù)學(xué)高考和競賽試題中屢屢出現(xiàn).筆者通過實(shí)例來探究雙重最值問題的一些解題策略.

1 一元雙重最值問題

對(duì)于此類問題，筆者總結(jié)了5種方法，其中常用的兩種基本方法是數(shù)形結(jié)合和分段(類)討論.

1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍.

2) ①求F(x)的最小值m(a);

②求F(x)在[0,6]上的最大值M(a).

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題)

方法1數(shù)形結(jié)合.

解法11)g(x)=x2-2ax+4a-2過定點(diǎn)(2,2)，該定點(diǎn)又恰好在折線f(x)=2|x-1|的右支上，根據(jù)a≥3，以及函數(shù)

F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2}

的定義畫出草圖(如圖1).只要分析右支f(x)=2(x-1)與二次函數(shù)的右交點(diǎn)，即

2(x-1)=x2-2ax+4x-2，

亦即

x2-2(a+1)x+4a=0,

其中1個(gè)根為2，容易求得另一個(gè)根為2a，故所求得的取值范圍為[2,2a].

2)①由于二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=a≥3，函數(shù)的最小值即為

min{0,g(a)}=min{0,-a2+4a-2},

只要簡單比較大小就可以了.

圖1 圖2

②求F(x)在[0,6]上的最大值M(a)，根據(jù)圖像(如圖2)可以看出，最大值的可能位置有3個(gè)，只要確定

min{0,f(2),f(6)}=min{2,34-8a}，

問題也就很簡單[1].

方法2分段(類)討論.

解法21)由于a≥3，故當(dāng)x≤1時(shí)，

(x2-2ax+ 4a-2)-2|x-1|=

x2+2(a-1)(2-x)>0；

當(dāng)x>1時(shí)，

(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).因此，使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍為[2,2a]．

2)①設(shè)函數(shù)f(x)=2|x-1|，g(x)=x2-2ax+4a-2，則

f(x)min=f(1)=0,

g(x)min=g(a)=-a2+4a-2.

由F(x)的定義知

m(a)=min{f(1),g(a)},

即

②當(dāng)0≤x≤2時(shí)，

F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2)，

當(dāng)2≤x≤6時(shí)，

F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=

max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)},

因此

評(píng)注此題一題三問，含有參數(shù)，看起來挺復(fù)雜.實(shí)際上，只要思路清晰，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論思想，不斷地轉(zhuǎn)化問題，無論是解方程還是不等式，計(jì)算量都很少.

例2已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+2)x+a2，g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8，H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}.max{p,q}表示p,q中的較大值,min{p,q}表示p,q中的較小值,記H1(x)的最小值為A,H2(x)的最大值為B,則A-B=

( )

A.a2-2a-16 B.a2+2a-16

C.-16 D.16

(2013年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題第11題)

分析本題中的A=min{max{f(x),g(x)}，B=max{min{f(x),g(x)}}.

f(x)=[x-(a+2)]2-4-4a，

g(x)=-[x-(a-2)]2+12-4a，

圖3

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作f(x)與g(x)的圖像．依題意知，函數(shù)H1(x)的圖像為實(shí)線部分，函數(shù)H2(x)的圖像為虛線部分(如圖3所示)，從而H1(x)的最小值為A=f(a+2)=-4-4a，H2(x)的最大值為B=g(a-2)=12-4a，因此

A-B=(-4-4a)-(12-4a)=-16.

故選C.

評(píng)注題中涉及兩種雙重最值，用數(shù)形結(jié)合在同一圖像中可以同時(shí)直觀顯現(xiàn)，可謂“一箭雙雕”.

2 多元雙重最值問題

對(duì)于多元雙重最值問題，解決一元雙重最值問題所用的兩種方法一般仍然適用，此外還有一些其他方法，如：

方法3利用算術(shù)(幾何)平均.

(2011年河南省高中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題第6題)

分析注意到，若設(shè)b=ta(其中t>0)，則

1)若a≥1，則

從而

2)若0

方法4設(shè)而不求.

例4對(duì)任意的a,b>0，求

(2013年浙江高中數(shù)學(xué)競賽試題第16題)

( )

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4c時(shí)等號(hào)成立.

①當(dāng)c≤b≤4c時(shí)，

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4a時(shí)等號(hào)成立.

②當(dāng)b≥4c時(shí)，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4c時(shí)等號(hào)成立.

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4a時(shí)等號(hào)成立.故選C.

評(píng)注此題是多元條件背景下的雙重最值問題.條件比較復(fù)雜，可進(jìn)行分類討論，綜合運(yùn)用不等式知識(shí)得以求解.

結(jié)合上述例子，對(duì)于多元雙重最值問題，一般可以按照以下步驟解題：以min{max{f(x1),f(x2),…,f(xn)}}為例.

1)令M=max{f(x1),f(x2),…,f(xn)}；

2)可得M≥f(x1),f(x2),…,f(xn)；

3)消去x1,x2,…,xn得出關(guān)于M的不等式g(M)≤0；

4)解M≥A，且要使等號(hào)可以取到，A即為所求值[2].

方法5先猜后證.

對(duì)某些最值問題，可以根據(jù)問題的極端情形先猜出最值，然后用反證法證明之.

(1983年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題二試第5題)

[1] 朱偉義，曹鳳山.大道至簡 悟者天成——2016年浙江省數(shù)學(xué)高考試題簡析及有關(guān)高考復(fù)習(xí)的思考[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2016(8)：36-39.

[2] 呂輝.雙重最值問題的解決探究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2011(4)：31-32.

2017-03-19；

2017-04-20

范東暉(1973-)，男，浙江江山人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.1

：A

：1003-6407(2017)07-18-03