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(南京市第二十九中學(xué) 江蘇南京 210036)

●龍艷文

(南京市教學(xué)研究室 江蘇南京 210018)

●劉權(quán)華

(南京市教育科學(xué)研究所 江蘇南京 210002)

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為學(xué)生創(chuàng)造“微探究”的機(jī)會(huì)

●郭建華

(南京市第二十九中學(xué) 江蘇南京 210036)

●龍艷文

(南京市教學(xué)研究室 江蘇南京 210018)

●劉權(quán)華

(南京市教育科學(xué)研究所 江蘇南京 210002)

文章通過采取弱化條件、以退求進(jìn)、編制相似題組等策略，為學(xué)生創(chuàng)造微探究的機(jī)會(huì)，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激活學(xué)生的思維，達(dá)到破解難題的目的，將微探究落在實(shí)處.

交流互動(dòng)；激活思維；微探究；提升能力

微探究是以問題為導(dǎo)向，以學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的教學(xué)探究活動(dòng).微探究切入點(diǎn)的選擇必須微小而有探究的價(jià)值，要能在激活學(xué)生思維處設(shè)問，要具有操作的可行性，關(guān)鍵還在于探究的“微化”處理.教師要為學(xué)生創(chuàng)造“微探究”的機(jī)會(huì)，要讓微探究成為學(xué)生將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的重要載體.特別是對于一些思維量較大的題目，教師更應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造微探究的機(jī)會(huì)，同時(shí)積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，將相似題組的教學(xué)融合到習(xí)題講評(píng)中，改變傳統(tǒng)的習(xí)題講評(píng)形式，從而激發(fā)學(xué)生的興趣，激活學(xué)生的思維，活躍課堂的氣氛，以此培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和創(chuàng)新能力.用教師的教學(xué)智慧讓習(xí)題講評(píng)課堂變?yōu)殚_放的課堂和靈動(dòng)的課堂，實(shí)現(xiàn)師生思維交流，實(shí)現(xiàn)共同發(fā)展目標(biāo)．筆者以江蘇省南京市高二期末檢測卷中一道函數(shù)試題的微探究教學(xué)為例，作了一些新的嘗試和探索，整理成文與讀者共饗.

1 問題提出

題目已知t>0，函數(shù)

本題以分段函數(shù)為背景，以復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題為載體，蘊(yùn)含了等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想，并非怪題、偏題，其背景熟悉平和，表達(dá)簡潔清楚，考生們很容易接受.本題實(shí)現(xiàn)了對基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想的考查，能較好地甄別學(xué)生的思維水平和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本題的命題特色如下：一是動(dòng)靜結(jié)合，化動(dòng)為靜；二是化繁為簡，實(shí)現(xiàn)質(zhì)的突破.這2點(diǎn)既是本題的亮點(diǎn)，也是難點(diǎn).

2 考情分析

筆者所任教的班級(jí)共有58名學(xué)生，據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示只有10名學(xué)生做出正確答案.因此，教師要認(rèn)真分析學(xué)生存在的問題，并以此制定適合學(xué)生的教學(xué)設(shè)計(jì)，為學(xué)生創(chuàng)造“微探究”的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生研究和解決問題的能力.

教師應(yīng)充分了解學(xué)生解決該問題的知識(shí)儲(chǔ)備和方法掌握情況，調(diào)查學(xué)生的典型解法和錯(cuò)誤，分析解法形成的思維過程和錯(cuò)誤產(chǎn)生的根源.學(xué)生解答本題的障礙主要有以下兩個(gè)方面：一是心理障礙，認(rèn)為最后一道填空題肯定比較難，因此心存畏懼感，有部分學(xué)生甚至沒去思考就放棄了；二是運(yùn)算能力，運(yùn)算能力差在學(xué)生中比較普遍.為了真實(shí)地了解學(xué)生解題時(shí)的思維軌跡，為了讓習(xí)題教學(xué)更有效，讓更多的學(xué)生做到思維上的參與，教師要求學(xué)生在試題講評(píng)之前還原自己的想法，并嘗試做出正確答案或者做出更好的解法，并在課堂上交流.

3 試題講評(píng)

試題講評(píng)時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生對求解目標(biāo)進(jìn)行多視角分析，不斷為學(xué)生搭建思維的平臺(tái)，讓更多的學(xué)生參與到課堂中.借助師生對話，激活學(xué)生思維，引發(fā)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性，以此溝通知識(shí)間的聯(lián)系.同時(shí)在互動(dòng)交流中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，用數(shù)學(xué)的方式思考問題和解決問題，提煉數(shù)學(xué)思想方法，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)引導(dǎo)探究，達(dá)到“解一題，通一類”的效果[1]，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過程.

3.1 創(chuàng)造探究機(jī)會(huì)，以退求進(jìn)

數(shù)學(xué)課堂設(shè)計(jì)借試題“發(fā)揮”，采取以退求進(jìn)的策略，將題目化難為易，消除學(xué)生對難題的畏懼感，其目的是擴(kuò)大其“最近發(fā)展區(qū)”，為順利解題做好鋪墊，為學(xué)生思維搭建腳手架，讓學(xué)生嘗試成功的喜悅，同時(shí)調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的積極性，拓展學(xué)生的思維，提高習(xí)題講評(píng)效率.

3.1.1 化動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，促進(jìn)理解

探究1已知函數(shù)

則函數(shù)g(x)=f(x)-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為______.

師：大家對分段函數(shù)還是比較熟悉的，應(yīng)該能畫出它的函數(shù)圖像，請大家思考什么是函數(shù)的零點(diǎn)？

(教師給學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行思考，讓他們回歸基本概念，然后讓學(xué)生回答.)

生1：一般地，我們把使函數(shù)y=f(x)的值為0的實(shí)數(shù)x稱為函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).

師：還有其他的表述方式嗎？

生2：函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)也是方程f(x)=0的實(shí)根，從圖像上看，它也是圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

師：如何求解呢?

生2：顯然要畫出函數(shù)y=f(x)的草圖，令g(x)=f(x)-1=0，即f(x)=1，然后求直線f(x)=1與函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可.

評(píng)注在講評(píng)難題時(shí)，首先要弄清題目所涉及的基本概念和思想方法，然后降低問題的重心，為學(xué)生搭建思維的臺(tái)階，讓所有的學(xué)生都參與進(jìn)來，體會(huì)成功的快樂，增強(qiáng)他們破解難題的信心和勇氣.有了一個(gè)突破，再實(shí)現(xiàn)更大的突破，以便取得實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展.通過編制相似題組的形式組織教學(xué)，在思維對話中加深學(xué)生對問題本質(zhì)的理解，真正讓學(xué)生的思維“活”起來.

3.1.2 編制相似題組，深化理解

探究2已知t>0，函數(shù)

若函數(shù)g(x)=f(x)-t恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______.

生3：借助剛才的函數(shù)圖像，觀察發(fā)現(xiàn)只要令t=0或t=4即可.

師：很好，還可以怎樣改編這道題？請大家說說.

生4：已知t>0，函數(shù)

若函數(shù)g(x)=f(x)-t恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________.

師：很好.只要肯動(dòng)腦一定會(huì)找到解題的突破口，還有其他的改編途徑嗎？

生5：目標(biāo)也可以設(shè)置為：若函數(shù)g(x)=f(x)-t恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值是______.

師：函數(shù)g(x)=f(x)-t零點(diǎn)的個(gè)數(shù)會(huì)超過3個(gè)嗎？

生6：令g(x)=f(x)-t=0，則函數(shù)y=f(x)與y=t的圖像至多只有3個(gè)不同的交點(diǎn).

師：怎樣改編才能使得函數(shù)g(x)=f(x)-t的零點(diǎn)個(gè)數(shù)超過3個(gè)？

此時(shí)，學(xué)生們興奮不已，他們對這個(gè)問題還是比較感興趣的，教室里的氣氛相當(dāng)活躍，于是筆者干脆放手讓學(xué)生們?nèi)ビ懻?，解決的關(guān)鍵是如何將靜態(tài)問題變?yōu)閯?dòng)態(tài)分析.教師巡視觀察，了解學(xué)生的思維動(dòng)向，有的學(xué)生從函數(shù)圖像的角度分析，有的學(xué)生從參數(shù)的角度分析等.另外,教師在一定程度上給予思維存在困難的學(xué)生以引導(dǎo)和幫助，讓學(xué)生有充裕的時(shí)間思考，然后展示他們的成果.

生7：若將函數(shù)改為

則可以做到.

師：很好，從改變函數(shù)圖像的角度分析，還有其他想法嗎？

生8(興奮地站起來)：老師，也可調(diào)整目標(biāo)函數(shù)的類型，將g(x)=f(x)-t改為二次形式g(x)=f2(x)+tf(x)+t，即若函數(shù)g(x)=f2(x)+tf(x)+t恰有6個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

師：很好，請你說說是怎么想到該改編.

生7：由零點(diǎn)的定義想到的，函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)也是方程f(x)=0的實(shí)根，從方程的角度考慮，只要目標(biāo)對應(yīng)的方程為高次方程，才可能產(chǎn)生多個(gè)不同的根，即存在兩條平行于x軸的直線與函數(shù)圖像相交，因此想到構(gòu)造二次形式.

師：非常棒，大家明白了吧，我們又取得了新的突破，那么應(yīng)該如何求解呢？

評(píng)注只有深刻理解題意，才能做到多角度、多方位的思考，才能突破思維定式的束縛，才能實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新思維和求異思維.教師要為學(xué)生創(chuàng)造探究的機(jī)會(huì)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，以學(xué)生的認(rèn)知水平設(shè)計(jì)一些螺旋上升的問題引領(lǐng)學(xué)生思考，在教師的指導(dǎo)下用數(shù)學(xué)的方式分析和解決問題，以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

生8：先令m=f(x)進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問題，結(jié)合函數(shù)y=f(x)的圖像，再利用一元二次方程根的分布求解t的范圍.

教師投影生8的解題過程：

師：生8的解答告訴我們?nèi)绾翁幚韽?fù)合函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，以及二次函數(shù)所對應(yīng)的根的分布問題.請同學(xué)們思考求解該類型題的關(guān)鍵是什么？

生9：換元是求解本題的關(guān)鍵.

評(píng)注教師讓學(xué)生們分組討論求解該問題的方法和技巧，從認(rèn)知策略的角度引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，從而讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究的過程.在分析問題和解決問題的過程中，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生的思維躍上更高的層次.

3.2 探究求解途徑，水到渠成

生9：受生8的啟發(fā)，也可以改成另外一種復(fù)合函數(shù)的形式“若函數(shù)g(x)=f[f(x)-t]恰有6個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍”，也就是用換元法求解.

師：這樣的改編與原題很相近了，該改編與原題的差異在何處？

生10：老師，只要將引進(jìn)的參數(shù)的位置改變一下就可以了，讓分段函數(shù)自變量的分界點(diǎn)變成參數(shù)就達(dá)到目的了.

師：那么如何求解呢？

生10：利用導(dǎo)數(shù)畫出函數(shù)y=f(x)的圖像，借助于換元法將原問題轉(zhuǎn)化為研究目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的方程根的問題.令m=f(x)，即f(m-1)=0，由函數(shù)圖像易得m-1=0或m-1=t，即f(x)=1或f(x)=t+1，然后用直線y=1和y=t+1去截函數(shù)的圖像即可.

師：有了前面的鋪墊，解這道題便水到渠成了.

教師投影學(xué)生10的解題過程：

解之得3

學(xué)生們的疑惑終于解決了，教室里響起一片掌聲……

3.3 反思解題路徑，舉一反三

師：下面通過一道練習(xí)題，來鞏固剛才大家的學(xué)習(xí)成果.

練習(xí)1已知函數(shù)f(x)=x3-3x，設(shè)h(x)=f(f(x))-c，其中c∈[-2,2]，求函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

4 教學(xué)啟示

4.1 通過為學(xué)生創(chuàng)造“微探究”的機(jī)會(huì)教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)選擇

有研究表明，中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)選擇能力是影響學(xué)習(xí)成績的重要因素，二者有著比較高的正相關(guān)，并且相關(guān)性顯著[2]．通過對試題的分析，找到學(xué)生的薄弱點(diǎn)和知識(shí)缺陷，選擇恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)材料進(jìn)行彌補(bǔ)，采取弱化題設(shè)條件來分解目標(biāo)；通過改編相似題組，層層遞進(jìn)設(shè)問，以致各個(gè)擊破.在解題中教會(huì)學(xué)生選擇思考問題的視角、選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}策略、選擇簡潔的運(yùn)算路徑等，使學(xué)生對自己的薄弱環(huán)節(jié)進(jìn)一步強(qiáng)化.在教師的引導(dǎo)、指導(dǎo)和幫助下，讓學(xué)生學(xué)會(huì)選擇，通過相似題組的設(shè)計(jì)和講評(píng)，讓學(xué)生掌握的不是一道題而是一類題，以此達(dá)到在以后的解題中對知識(shí)和方法的提取、整合和選擇.通過教師的精心備課和巧妙設(shè)計(jì)，最大限度地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程.

著名教育家葉圣陶先生曾說過：“我以為好的先生不是教書，不是教學(xué)生，乃是教學(xué)生學(xué).”如何教會(huì)學(xué)生選擇是我們要思考的問題，教師的精心備課是前提，找到合適的抓手是手段.教師要教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)選擇，讓學(xué)生逐漸成長為一個(gè)獨(dú)立的學(xué)習(xí)者，讓微探究教學(xué)更具有價(jià)值和意義.

4.2 通過為學(xué)生創(chuàng)造“微探究”的機(jī)會(huì)提升核心素養(yǎng)

如何設(shè)計(jì)試題講評(píng)課才能更好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？首先，要降低教學(xué)的重心，把知識(shí)問題化；其次，要充分了解學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知水平；最后，要立足維度(即要考查哪些主干知識(shí)和技能)，立足梯度(即考查要有遞進(jìn)性，具有提升學(xué)生思維的功能)，立足相關(guān)度(即相似題組的設(shè)計(jì)要具有知識(shí)上的交匯性，解題方法上的選擇性等).

課堂上教師應(yīng)盡量尊重學(xué)生的想法，充分暴露他們的思維，通過為學(xué)生創(chuàng)造“微探究”的機(jī)會(huì)，激活其原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中適當(dāng)?shù)挠^念和感性經(jīng)驗(yàn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生有意義的學(xué)習(xí)傾向[3].這樣做不僅讓學(xué)生獲得了具體問題的解法，而且讓他們體驗(yàn)了數(shù)學(xué)思想方法，加強(qiáng)了學(xué)生對知識(shí)和解題方法的掌握.習(xí)題講評(píng)課的設(shè)計(jì)要為學(xué)生服務(wù)，更重要的是應(yīng)站在學(xué)生的角度設(shè)計(jì)問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，在以相似題組為載體的習(xí)題講評(píng)課中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[1] 郭建華.對一道江蘇高考試題的解法賞析和變式探究[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2017(1):38-41.

[2] 徐利治.徐利治談數(shù)學(xué)哲學(xué)[M]．大連：大連理工大學(xué)出版社，2008.

[3] 郭建華.習(xí)題變式教學(xué)在思維對話中進(jìn)行[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2016(10):6-9.

筆者從一道常見的選擇題出發(fā)，對它進(jìn)行多角度的思考與挖掘，以提升學(xué)生思維的廣度和深度，從而達(dá)到培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

( )

A．(0,1) B．(1,2]

C．(-1,0) D．[-2,-1)

思路1(坐標(biāo)法)本題的條件是平面向量形式，借助于平面直角坐標(biāo)系，可以將平面向量“坐標(biāo)化”，將平面向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，從而將抽象問題具體化，陌生問題熟悉化.

圖1

得

從而

進(jìn)而

故

-2≤x+y<-1.

評(píng)注在充分理解運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，選擇了用坐標(biāo)表示向量的合理方法，將雙變量的范圍問題轉(zhuǎn)化為單變量的三角函數(shù)的范圍問題，從而利用三角這一強(qiáng)大的工具來解決問題，有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

思路2(數(shù)量積法)同上所述，解決本題的關(guān)鍵是如何將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，那么，除了上述方法，還有別的途徑嗎？學(xué)生們注意到題目的條件是向量，那么能否通過向量運(yùn)算來消元呢？

式(1)+式(2)，得

以下同思路1.

評(píng)注利用條件本身的結(jié)構(gòu)形式，構(gòu)造出新的相關(guān)條件，從而找到了較為簡便的方法.學(xué)生們從事實(shí)出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則，找到一些重要信息，如式(1)和式(2).這是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方法，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)幕颈ＷC.

圖2

思路3(共線法)題設(shè)條件與平面向量中三點(diǎn)共線的向量形式相似，因此有學(xué)生運(yùn)用三點(diǎn)共線的關(guān)系來求解.

1<|x+y|≤2，

又△ABC是為銳角三角形，故

-2≤x+y<-1.

評(píng)注平面向量本身具有幾何的特性，它的加、減、數(shù)乘及數(shù)量積的運(yùn)算均具有幾何意義.而學(xué)生面對復(fù)雜的問題，若能透過現(xiàn)象看本質(zhì)，從知識(shí)之間的聯(lián)系，形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，則有利于培養(yǎng)邏輯推理核心素養(yǎng).

即 1=x2+y2-xy.

(3)

根據(jù)式(3)的結(jié)構(gòu)特征，又有以下3種思路:

思路4(基本不等式法)因?yàn)槭?3)中同時(shí)含有x2+y2和xy，所以可以考慮用基本不等式來求解.

將式(3)配方，得

1=(x+y)2-3xy，

從而

因?yàn)閤<0，y<0，所以

1<(x+y)2≤4,

即

-2≤x+y<-1.

思路5(三角換元法)因?yàn)槭?3)可以配成平方和等于1的形式，所以可以考慮三角換元.

將式(3)配方，得

故

-2≤x+y<-1.

評(píng)注思路4和思路5通過對新命題“x2+y2-xy=1”的研究，設(shè)計(jì)出了合理的運(yùn)算程序，探究出了合理的運(yùn)算方向(配方、三角換元)，從而得到了合理的運(yùn)算方法.養(yǎng)成程序化思考問題的習(xí)慣，這就是數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

思路6(曲線與方程的思想)方程x2+y2-xy=1表示一條曲線，而x+y=t表示一條直線，因而可利用直線與曲線有交點(diǎn)來思考本題.

令x+y=t，消去y得

3x2-3tx+t2-1=0.

因?yàn)閤<0,y<0，所以方程在(t,0)上有解，從而

于是

-2≤t<-1，

即

-2≤x+y<-1.

評(píng)注由于平面向量的幾何屬性，使得其與解析幾何有著不可分割的聯(lián)系.學(xué)生能在實(shí)際情景中提出問題，運(yùn)用已有知識(shí)解決問題，有利于提升應(yīng)用能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí).

思路7(特例法)俗話說：“八仙過海，各顯神通.”如果對以上6種方法都不太在行，那么就大膽地用特例來甄別答案吧.

評(píng)注本著小題不大做的原則，確實(shí)可采用特例來排除，從而得到正確答案.雖然思路不嚴(yán)謹(jǐn)，但對四選一的數(shù)學(xué)選擇題來說還是管用的，而且作為核心素養(yǎng)的邏輯推理，確實(shí)也需要提升從特殊到一般的推理能力.

圖3

評(píng)注本思路涉及斜坐標(biāo)系的規(guī)劃問題，可能學(xué)生是湊巧用截距的方法做對了(因?yàn)樾弊鴺?biāo)系下的截距與直角坐標(biāo)系下是一致的，而斜率就不一樣)，這里學(xué)生能發(fā)現(xiàn)問題，并建立數(shù)學(xué)模型解決，這對提升數(shù)學(xué)建模能力是大有裨益的.

由此，可以這樣認(rèn)為：一方面,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有數(shù)學(xué)的基本特征；另一方面,它是后天形成的，而且可以通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程培養(yǎng)的能力與思維品質(zhì).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要體現(xiàn)在情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思中，它是在過去“三大能力”的基礎(chǔ)上逐步發(fā)展形成的.

參考文獻(xiàn)

[1] 林崇德．面向21世紀(jì)的學(xué)生核心素養(yǎng)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社,2016.

江蘇省南京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度課題(L/2016/076)；江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度“教師發(fā)展研究專項(xiàng)”課題(J-c/2016/12)

郭建華(1982-)，男，安徽宿州人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.1

：A

：1003-6407(2017)07-07-04