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(南頭中學(xué) 廣東深圳 518052)

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千年古圖蘊(yùn)藏題庫(kù)
——阿基米德三角形演繹高考題

●方亞斌

(南頭中學(xué) 廣東深圳 518052)

作者介紹： 湖北省特級(jí)教師，湖北省教育科研百佳個(gè)人之一，廣東省南粵優(yōu)秀教師，深圳市首批名師工作室主持人，深圳市政府特殊津貼專家,深圳市地方級(jí)領(lǐng)軍人才, 深圳市首批中小學(xué)教師繼續(xù)教育課程建設(shè)專家?guī)烊霂?kù)專家，深圳市南山區(qū)高三數(shù)學(xué)名師工作室主持人.主持廣東省、深圳市教科研課題3個(gè)，出版?zhèn)€人論著10余本，在30余家中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)雜志上發(fā)表教育教學(xué)論文200余篇，其中10余篇被中國(guó)人民大學(xué)書報(bào)資料中心全文轉(zhuǎn)載.多次獲湖北省、廣東省數(shù)學(xué)競(jìng)賽優(yōu)秀教練員、深圳市高考先進(jìn)個(gè)人稱號(hào).曾被聘為《中學(xué)數(shù)學(xué)》、《學(xué)科教育》等多家雜志社特約編輯、第2～4屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽命題委員會(huì)委員.

文章以兩個(gè)定理及推論的形式歸納出有關(guān)阿基米德三角形中點(diǎn)、線、面積的8條常用性質(zhì)，從17個(gè)角度歸納出由阿基米德三角形衍生的5種類型的高考試題，探究同宗同源問(wèn)題的命題規(guī)律和解題規(guī)律.

阿基米德三角形;高考題；性質(zhì)；應(yīng)用

1 阿基米德三角形的性質(zhì)

拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍的三角形，稱為阿基米德三角形.

阿基米德三角形的得名，是因?yàn)榘⒒椎卤救俗钤缋帽平乃枷胱C明了如下結(jié)論：

圖1

為了后文的應(yīng)用方便，我們先對(duì)阿基米德三角形相關(guān)性質(zhì)做些歸納.下面的討論，我們僅以拋物線x2=2py(其中p>0)為例，拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1,y1)，(x2,y2)，以A，B為切點(diǎn)的切線PA，PB相交于點(diǎn)P，我們稱弦AB為阿基米德三角形△PAB的底邊(如圖1所示).

2)底邊AB所在的直線方程為

(x1+x2)x-2py-x1x2=0；

證明1)過(guò)點(diǎn)A,B的切線方程分別為

2)直線AB的斜率為

故直線AB的方程為

化簡(jiǎn)得

(x1+x2)x-2py-x1x2=0.

3)由定理1的1)，2)可得點(diǎn)P到直線AB的距離為

可得△PAB的面積

圖2 圖3

推論11)阿基米德三角形底邊上的中線平行(重合)于拋物線的對(duì)稱軸.

2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)，則底邊AB的直線方程為x0x-p(y+y0)=0.

證明1)如圖2，設(shè)點(diǎn)Q為底邊AB的中點(diǎn)，由定理1可知，點(diǎn)P與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，故PQ與y軸平行或重合．

2)將定理1結(jié)論2)中直線AB方程(x1+x2)x-2py-x1x2=0化為

可得

代入即得直線AB的方程為x0x-p(y+y0)=0.

從而

同理可得

于是

即

S△CAE=λS，

同理可得

所以S△EAB=S△PAB-S△PCD-S△CAE-△DBE=

從而

圖4

2)設(shè)C是阿基米德三角形△PAB的邊PA的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作拋物線的切線，切點(diǎn)為E，CE交PB于點(diǎn)D.由定理2，可得|CE|=|ED|，|PD|=|DB|.設(shè)Q為AB的中點(diǎn),則點(diǎn)P,E,Q共線,且|PE|=|QE|.這表明在阿基米德三角形中，與底邊平行的中位線是拋物線的一條切線，且切點(diǎn)就是這條切線與底邊上中線的交點(diǎn)(如圖4).根據(jù)此結(jié)論，可知

同理可得

對(duì)阿基米德三角形△AEC和△BED，分別作與底邊平行的中位線，有與上面相同的結(jié)果，……類似這樣無(wú)限操作下去，拋物線和弦AB圍成的面積就等于無(wú)限多條邊的凸多邊形的面積，且可無(wú)限分割求和[1]，即

2 阿基米德三角形的應(yīng)用

自公元前3世紀(jì)至今，歷經(jīng)了兩千多年的風(fēng)霜雨雪，阿基米德三角形尤如一顆閃爍的明珠，以其深刻的背景、豐富的內(nèi)涵產(chǎn)生出了無(wú)窮魅力，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中不斷閃爍出真理的光輝.這個(gè)兩千多年的古老圖形，如同一個(gè)題庫(kù)，里面蘊(yùn)藏著各級(jí)各類考試命題和高考命題的素材.由阿基米德三角形衍生出的高考題，主要有以下5種類型：

2.1 線段長(zhǎng)度問(wèn)題

因此

視角2現(xiàn)考慮n個(gè)過(guò)拋物線x2=4y焦點(diǎn)F的阿基米德三角形△PiAiBi(其中i=1,2,…,n)，計(jì)算這n個(gè)三角形的頂點(diǎn)Pi到焦點(diǎn)F的距離之和，根據(jù)上面的結(jié)論，得

為了方便求和，不妨給定Ai的橫坐標(biāo)為xi=2i(其中i=1,2,…,n)，由等比數(shù)列求和公式得

|FP1|+|FP2|+…+|FPn|=

(2n-1)+(2-21-n)=2n-2-n+1+1.

從視角1和視角2切入,可編擬：

圖5

題1如圖5，對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，An(xn,yn)是拋物線x2=4y上的點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F的直線FAn交一點(diǎn)Bn(sn,tn).

1)試證：xnsn=-4(其中n≥1)；

2)取xn=2n，并記Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)，試證：

|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=2n-2-n+1+1.

(2006年重慶市數(shù)學(xué)高考文科試題第22題)

視角4若再考慮阿基米德三角形△PAB的底邊AB的長(zhǎng)，則由定理1的證明過(guò)程可知

從視角3和視角4切入,可編擬:

圖6

題2如圖6，設(shè)拋物線方程為x2=2py(其中p>0)，M為直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A,B．

1)求證：點(diǎn)A,M,B的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

(2008年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

2.2 軌跡問(wèn)題

視角5設(shè)阿基米德三角形△PAB底邊AB的中點(diǎn)為Q，考查AB的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)與頂點(diǎn)P的坐標(biāo)之間的關(guān)系.

2x2-2py,

從視角4和視角5切入,可編擬:

圖7

1)求p的值；

2)當(dāng)P在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB的中點(diǎn)Q的軌跡方程(當(dāng)A,B重合于O時(shí)，中點(diǎn)為O).

(2013年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

視角7設(shè)阿基米德三角形△PAB的重心為G，考查重心G的坐標(biāo)(x,y)與點(diǎn)P的坐標(biāo)之間的關(guān)系，易知

于是

x-(4x2-3y)-2=0，

即

圖8

顯然kFA′·kPA=-1，從而FA⊥PA，由拋物線定義，得|AA′|=|AF|，故AP是線段A′F的中垂線，得

|PA′|=|PF|, ∠PA′A=∠PFA,

同理可證 |PB′|=|PF|, ∠PB′B=∠PFB,

從而

|PA′|=|PB′|=|PF|,

即

∠PA′B′=∠PB′A′，

于是 ∠PA′A= ∠PA′B′+90°=∠PB′A′+90°=

∠PB′B,

即

∠PFA=∠PFB.

從視角7～9切入,可編擬：

題4如圖8，設(shè)拋物線C:y=x2的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線l:x-y-2=0上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA,PB，且與拋物線C分別相切于點(diǎn)A,B.

1)求△APB的重心G的軌跡方程；

2)證明：∠PFA=∠PFB.

(2005年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

2.3 切線問(wèn)題

視角10[3]考查阿基米德三角形△PAB在底邊AB過(guò)y軸上定點(diǎn)C(0,y0)的條件下頂點(diǎn)P的軌跡.

設(shè)P(x,y)，則由定理1知

x1+x2=2x,x1x2=2py，

將C(0,y0)的坐標(biāo)代入定理1中直線AB的方程可得

(x1+x2)·0-2py0-x1x2=0，

從而

x1x2=-2py0，

即

2py=-2py0，

根據(jù)推論1,阿基米德三角形底邊上的中線平行(重合)于拋物線的對(duì)稱軸，設(shè)Q為阿基米德三角形△PAB底邊AB的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)Q且垂直于x軸的直線與直線l:y=-y0的交點(diǎn)就是阿基米德三角形△PAB的頂點(diǎn)P.

視角11[3]反之，若垂直于x軸的直線與AB和直線l:y=-y0分別交于點(diǎn)Q,M，可證明當(dāng)MA是拋物線的切線時(shí)，點(diǎn)M就是阿基米德三角形△PAB的頂點(diǎn)，點(diǎn)Q也是△PAB底邊AB的中點(diǎn).

再代入切線MA的方程，可得

題5如圖9，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)y軸正方向上一點(diǎn)C(0,c)任作一直線，與拋物線y=x2相交于點(diǎn)A，B，一條垂直于x軸的直線，分別與線段AB和直線l:y=-c交于點(diǎn)Q,P.

1)若Q為線段AB的中點(diǎn)，求證：PA為此拋物線的切線.

2)試問(wèn)第1)小題的逆命題是否成立？說(shuō)明理由.

(2007年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第19題)

圖9 圖10

視角12[3]如圖10，考查兩條共頂點(diǎn)的拋物線y2=2px與x2=2py，假定拋物線y2=2px的內(nèi)接△A1A2A3的邊A1A2，A2A3所在的直線分別與拋物線x2=2py相切于點(diǎn)A，B，根據(jù)射影幾何極點(diǎn)極線相關(guān)知識(shí)(共線點(diǎn)的極線必共點(diǎn)，共點(diǎn)線的極點(diǎn)必共線)，可知A1，A3相應(yīng)于拋物線x2=2py的兩極線(即過(guò)點(diǎn)A，B的切點(diǎn)弦)必共點(diǎn)，即△A1A2A3的邊A1A3所在的直線與拋物線y2=2px相切于點(diǎn)C.

從視角12切入，可編擬：

題6拋物線y2=2px的內(nèi)接三角形有兩邊所在的直線與拋物線x2=2py相切，證明這個(gè)三角形的第三邊所在的直線也與x2=2py相切.

(1982年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

2.4 最值問(wèn)題

即

x1x2=-p2,

故PF⊥AB.

視角14設(shè)Q為AB的中點(diǎn)，根據(jù)推論1知PQ⊥x軸，于是

從視角13和視角14切入，可編擬：

2)設(shè)△ABM的面積為S，寫出S=f(λ)的表達(dá)式，并求S的最小值.

(2006年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科試題第21題)

2.5 面積問(wèn)題

視角15給定拋物線x2=2py上關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)A(-2,1)，B(2,1)，可求得其方程為x2=4y,且拋物線x2=4y在點(diǎn)A,B處的切線方程分別為y=-x-1，y=x-1，兩切線的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(0,-1)，由推論2可知：若拋物線弧AB上任一點(diǎn)Q處的切線與PA,PB都相交，交點(diǎn)分別為D，E,則△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)2.

從視角15切入，可編擬:

1)求曲線C的方程.

2)動(dòng)點(diǎn)Q(x0,y0)(其中-2

(2012年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

圖11

從視角16和視角17切入，可編擬：

1)用B,C的縱坐標(biāo)s,t表示直線BC的斜率；

2)若直線AD與BC的交點(diǎn)為E，證明:D是AE的中點(diǎn)；

3)設(shè)△ABC的面積為S，若將由過(guò)Γ外一點(diǎn)的兩條切線及第3條切線(平行于兩切線切點(diǎn)的連線)圍成的三角形叫做“切線三角形”，如△AMN，再由M,N作“切線三角形”，并依這樣的方法不斷作切線三角形，……試?yán)谩扒芯€三角形”的面積和計(jì)算由拋物線及BC所圍成的陰影部分的面積T．

(2016年3月上海市八校高三聯(lián)合測(cè)試?yán)砜圃囶}第22題)

[1] 陶興模．由拋物線的阿基米德定理引出的幾個(gè)命題[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，1999(1)：28-29．

[2] 邵明志,陳克勤．高考試題中的阿基米德三角形[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2008(9)：39-41．

[3] 方亞斌．源于世界數(shù)學(xué)名題的高考賞析題[M]．杭州：浙江大學(xué)出版社，2017．

收文日期：2017-03-02；修訂日期：2017-04-03

2017-03-21；

2017-04-24

2016年廣東省深圳市中小學(xué)遴選類“好課程”(深教〔2016〕619號(hào))部分內(nèi)容

方亞斌(1964-)，男，湖北黃梅人，湖北省特級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

：A

：1003-6407(2017)07-01-06