劉志強(qiáng)，薛春霞

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 太原 030051)

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功能梯度層合板的主共振

劉志強(qiáng)，薛春霞

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 太原 030051)

以中間層為基體材料、上下層為對(duì)稱的功能梯度材料組成的層合板為研究對(duì)象，根據(jù)大撓度理論和薄板變形理論，利用Hamilton原理和Rayleigh-Ritz法推導(dǎo)出了在簡(jiǎn)諧機(jī)械力作用下功能梯度層合薄板的非線性振動(dòng)方程。利用多尺度法對(duì)非線性振動(dòng)方程進(jìn)行求解，得到了層合板的幅頻響應(yīng)方程。利用Matlab探討了不同邊界條件下的層合板的主共振問題，通過改變阻尼、機(jī)械力等的大小來分析這些因素對(duì)主共振的影響。

功能梯度層合板；Hamilton原理；非線性振動(dòng)；Matlab

功能梯度材料[1-2]作為一種新型復(fù)合材料，因其具有耐高溫和良好的幾何特性等優(yōu)點(diǎn)，所以在航空、航天、船舶等領(lǐng)域已得到廣泛應(yīng)用。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)功能梯度材料往往處于極其復(fù)雜的工作環(huán)境中，且對(duì)參數(shù)的變化非常敏感。因此，對(duì)于功能梯度材料的斷裂、屈曲、振動(dòng)等問題的研究具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。陳偉球等[3[4]分析了功能梯度矩形薄板的非線性自由振動(dòng)問題，結(jié)果表明：振動(dòng)控制方程中包含耦合效應(yīng)控制項(xiàng)。沈惠申等[5]研究了功能梯度剪切板在熱環(huán)境中屈曲后的振動(dòng)，并分析了各參數(shù)對(duì)振動(dòng)的影響。張小廣等[6]研究了橫向簡(jiǎn)諧力下功能梯度矩形板的非線性主共振問題，并對(duì)解的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。Chen等[7-8]研究了初始應(yīng)力下功能梯度板的非線性振動(dòng)問題，討論了初始應(yīng)力和振幅對(duì)振動(dòng)頻率的影響。Ng等[9-10]研究了在周期荷載作用下功能梯度板和圓柱殼的振動(dòng)，討論了參數(shù)激勵(lì)對(duì)振動(dòng)的影響。

本文通過求解簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下45鋼和功能梯度材料層合板的非線性振動(dòng)方程，對(duì)不同邊界條件下的主共振進(jìn)行了分析。彌補(bǔ)了單一材料在其性能方面的不足，對(duì)材料的制備及實(shí)際工程應(yīng)用提供了一定的理論參考。

1 建立功能梯度層合板的橫向振動(dòng)微分方程

本文以功能梯度層合板為研究對(duì)象(如圖1所示)，中間層為彈性基體材料，上下層為功能梯度材料。其中基體材料為45鋼，功能梯度材料為氧化鋯-鋁功能梯度材料。建立直角坐標(biāo)系O-xyz(xOy面為薄板的中面，z為法向)。假設(shè)板的長(zhǎng)為L(zhǎng)x，寬為L(zhǎng)y，基體材料和功能梯度材料的厚度分別為hm、hp，在簡(jiǎn)諧激勵(lì)力Q(t)作用下做橫向強(qiáng)迫振動(dòng)。

圖1 功能梯度層合矩形薄板結(jié)構(gòu)

由Hamilton原理可得：

(1)

其中：δ為變分符號(hào)；T1，U1表示基體材料的動(dòng)能和勢(shì)能；T2、U2表示功能梯度材料的動(dòng)能和勢(shì)能；W為機(jī)械力做的功，表達(dá)式為

(2)

基體材料的本構(gòu)方程[11]為：

(3)

根據(jù)大撓度理論，基體材料的位移與應(yīng)變的關(guān)系為：

(4)

假設(shè)功能梯度材料呈體積分?jǐn)?shù)變化，在Hamilton原理的基礎(chǔ)上，以層合板的上半部分為對(duì)象建立應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系[12]：

(5)

式中：n0為冪率指數(shù);下角標(biāo)c和m分別代表功能梯度板的下表面和上表面；hp為板厚。

根據(jù)薄板變形理論，板內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)變分量表達(dá)式如下：

(9)

(10)

(11)

其中：{ε0}為中面的應(yīng)變；{κ}為中面曲率和扭率的改變量。

根據(jù)Rayleigh-Ritz假設(shè)模態(tài)法，令

(12)

其中：φu、φv、φw分別為振型函數(shù)；X(t)為廣義坐標(biāo)。

若令

(13)

由以上各式可得T1、T2、U1、U2的表達(dá)式：

結(jié)合式(13)，經(jīng)過復(fù)雜的運(yùn)算得到方程：

2K2X3(t)-K3Q(t)=0

(14)

式(14)中各系數(shù)的表達(dá)式如下：

其中：

因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中有阻尼的存在，所以此處采用黏性阻尼[13]。設(shè)阻尼矩陣C=αmM+αkK，其中αm、αk為阻尼系數(shù)。令Q(t)=Q0cosωt，Q0為簡(jiǎn)諧力的幅值，將其代入式(14)得到

2K2X3(t)-K3Q0cosωt=0

(15)

(16)

令量綱為1的頻率λ=1+εθ，引入小參量ε及激勵(lì)頻率失調(diào)參數(shù)θ，當(dāng)θ=0時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生主共振。

由于阻尼力、非線性力、外部刺激與線性力相比為相對(duì)小量，根據(jù)量綱設(shè)定原則，將阻尼項(xiàng)、非線性剛度項(xiàng)、含cosλτ的激勵(lì)項(xiàng)認(rèn)定為1階小量，則式(16)可改寫為

(18)

用多尺度法解上面的量綱為1方程，可得：

幅頻方程

(19)

相頻方程

(20)

2 數(shù)值仿真及分析

選取基體材料為45鋼(ρ=7 850 kg/m3，E=210 GPa)功能梯度材料氧化鋯-鋁(氧化鋯的材料參數(shù)E=151 GPa,υ=0.3,ρ=3 000 kg/m3鋁的材料參數(shù)E=70 GPa,υ=0.3,ρ=2 707 kg/m3)組成的功能梯度層合板為研究對(duì)象，其中板長(zhǎng)Lx=400 mm，寬Ly=200 mm，板厚hm=0.2 mm，hp=0.2 mm。

對(duì)于滿足四邊簡(jiǎn)支、三邊簡(jiǎn)支一邊自由、兩邊簡(jiǎn)支兩邊固定的層合板的振型函數(shù)[14]為：

(21)

當(dāng)激勵(lì)頻率失調(diào)參數(shù)θ=0時(shí)系統(tǒng)發(fā)生共振，通過式(1)(12)(19)可得不同邊界條件下各參數(shù)對(duì)主共振及系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響，見圖2～6。

圖3 不同邊界條件下的幅頻響應(yīng)曲線(Q0=1, μ=0.05, n0=1)

圖4 Q0變化時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線(μ=0.05, n0=1)

圖2為Q0=0 N,μ=0.05,n0=1時(shí)不同邊界條件下機(jī)械力幅值對(duì)振動(dòng)幅值的影響曲線。由圖可知：隨著簡(jiǎn)諧力幅值的增大，系統(tǒng)的振動(dòng)幅值也相應(yīng)增大，其中三邊簡(jiǎn)支一邊自由對(duì)功能梯度層合板的約束最弱，所以它的振幅最大，其次是四邊簡(jiǎn)支，最后是兩邊簡(jiǎn)支兩邊固定。這一結(jié)果也符合板殼力學(xué)理論。圖3為Q0=1,μ=0.05,n0=1時(shí)不同邊界條件下系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線，從圖中可以看出：隨著約束的增大系統(tǒng)的振動(dòng)幅值變小。圖4為四邊簡(jiǎn)支下μ=0.05,n0=1時(shí)機(jī)械力對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響曲線，當(dāng)Q0=1時(shí)系統(tǒng)的非線性特征極其不明顯，隨著Q0的增大系統(tǒng)開始出現(xiàn)非線性特征。還可以看出：隨著Q0的增大系統(tǒng)的主共振區(qū)間增大，曲線向左彎曲的程度增大，系統(tǒng)呈現(xiàn)出多值、跳躍現(xiàn)象，且Q0越大，系統(tǒng)跳躍幅值越大。圖5為四邊簡(jiǎn)支下Q0=5 N,n0=1時(shí)阻尼對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響曲線，由圖可以看出：阻尼越小系統(tǒng)的振動(dòng)幅值越大，非線性特征越明顯，同時(shí)出現(xiàn)多值、跳躍現(xiàn)象。圖6為四邊簡(jiǎn)支下μ=0.05,Q0=5 N時(shí)冪率指數(shù)對(duì)系統(tǒng)幅頻的影響曲線，圖中n0=4時(shí)系統(tǒng)的非線性特征不明顯，n0=1時(shí)出現(xiàn)多值、跳躍現(xiàn)象，系統(tǒng)呈現(xiàn)出明顯的非線性特征。隨著冪率指數(shù)n0的減小，系統(tǒng)的主共振區(qū)間增大。

圖5 μ變化時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線(Q0=5 N, n0=1)

圖6 n0變化時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線(μ=0.05, Q0=5 N)

3 結(jié)束語

[1] KOIZUMI M.The concept of FGM[J].Ceramic Transactions Functionally Gradient Material，1993，34:3-10.

[2] PRAVEEN G N,REDDY J N.Nonlinear transient thermoelastic analysis of functionally graded ceramic-metal plates[J].Intemational Joumal of Solids and Structures,1998,35(33):4457-4476.

[3] 陳偉球,葉貴如,蔡金標(biāo)，等.橫觀各向同性功能梯度材料矩形板的自由振動(dòng)[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào),2001,14(3):19-23.

[4] 杜長(zhǎng)城,李映輝.功能梯度矩形板的非線性自由振動(dòng)[J].力學(xué)季刊,2010,31(2):250-255.

[5] 夏賢坤,沈惠申.功能梯度材料剪切板屈曲后的自由振動(dòng)[J].固體力學(xué)學(xué)報(bào),2008,29(2):129-133.

[6] 張小廣,胡宇達(dá).四邊固支功能梯度矩形板的主共振分析[J].振動(dòng)與沖擊,2011,30(6):153-157.

[7] CHEN C S.Nonlinear vibration of a shear deformable functionally graded plate[J].Composite Structures,2005,68(3):295-302.

[8] CHEN C S,CHEN T J,CHIEN R D.Nonlinear vibration of initially stressed functionally graded plates[J].Thin-Walled Structures,2006,44(8):844-851.

[9] NG T Y,LAM K Y,LIEW K M.Effects of fgm materials on the parametric resonance of plate structures[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2000,190(8/9/10):953-962.

[10]NG T Y,LAM K Y,LIEW K M,et al.Dynamic stability analysis of functionally graded cylindrical shells under periodic axial loading[J].Intemational Journal of solids and Structures,2001,38(8):1295-1309.

[11]毛慧娜,陶偉明.多鐵性復(fù)合材料動(dòng)態(tài)耦合響應(yīng)的有限元分析[J].材料科學(xué)與工程學(xué)報(bào),2013,31(3):464-467.

[12]HUANG X L,SHEN H S.Nonlinear vibration and dynamic response of functionally graded plates in thermal environments[J].International Journal of solids and Structures,2004,41(9/10):2403-2407.

[13]胡宇達(dá),杜國君.磁場(chǎng)環(huán)境下導(dǎo)電圓形薄板的磁彈性強(qiáng)迫振動(dòng)[J].工程力學(xué),2007,24(7):184-188.

[14]陳熹,薛春霞.電壓激勵(lì)下四邊簡(jiǎn)支壓電層合板的振動(dòng)分析[J].材料科學(xué)與工程學(xué)報(bào),2015,33(5):759-763,775.

(責(zé)任編輯 陳 艷)

Nonlinear Principal Resonance of Functionally Graded Laminates

LIU Zhi-qiang, XUE Chun-xia

(College of Science, North University of China, Taiyuan 030051, China)

Taking the middle layer as the substrate material and the upper/lower as symmetrical laminated plate composed of functionally graded materials as the research object, and according to the theory of large deflection and deformation plate theory, we used Hamilton principle and Rayleigh-Ritz method to derive the action of harmonic mechanical force of FGM laminated thin plate nonlinear vibration equation. The nonlinear vibration equation is solved by using multi-scale method, and the amplitude-frequency response equations of laminated plates are obtained. Matlab was used to study the different boundary conditions of laminated plates of primary resonance problem, and we analyzed the impact of these factors on the primary resonance by changing the size of the damping, the mechanical strength and so on.

functional gradient laminated plate；Hamiltonian principle；nonlinear vibration；Matlab

2017-02-18 基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11202190)；教育部留學(xué)回國人員科研資助項(xiàng)目；山西省回國留學(xué)人員科研資助項(xiàng)目(2013-085)

劉志強(qiáng)(1988—)，男，碩士研究生，主要從事功能梯度材料的非線性力學(xué)研究，E-mail:420892328@qq.com; 通訊作者 薛春霞(1973—)，女，教授，主要從事磁電彈材料的非線性力學(xué)研究，E-mail:xuechunxia@nuc.edu.cn。

劉志強(qiáng)，薛春霞.功能梯度層合板的主共振[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2017(5):49-54.

format：LIU Zhi-qiang, XUE Chun-xia.Nonlinear Principal Resonance of Functionally Graded Laminates[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(5):49-54.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.05.009

TB34

A

1674-8425(2017)05-0049-06