蘇理云，王 杰

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400054)

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基于SV-POT模型的黃金市場的動態(tài)VaR預(yù)測

蘇理云，王 杰

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400054)

針對黃金市場呈現(xiàn)的“尖峰厚尾”和波動持續(xù)性等特征，選用SV(stochastic volatility)模型來刻畫。將SV模型與基于POT(peak over threshold)模型的極值理論相結(jié)合，建立SV-POT的組合模型，預(yù)測該金融市場的動態(tài)VaR(value at risk)。最后，與GARCH-POT模型相比得出：基于隨機(jī)波動模型的SV-POT模型在一定程度上能更精確地預(yù)測動態(tài)VaR。

SV模型；極值理論；POT模型；VaR

2002年10月上海黃金交易所的成立使我國黃金市場逐步市場化，給更多的個人和機(jī)構(gòu)投資者提供了一個良好的平臺。正常情況下，黃金是規(guī)避風(fēng)險增加利益的較好選擇。而現(xiàn)實(shí)中，黃金也像其他金融投資品一樣面臨著虧損等風(fēng)險。

黃金價格受多方面的因素影響，包括原油價格、利率水平等。除此之外，黃金價格還受到中央銀行增減黃金儲備、金融危機(jī)以及南非局勢等突發(fā)事件的影響[1]。因此，黃金市場的風(fēng)險預(yù)測尤為重要。Jorion詳細(xì)介紹了VaR的概念和各種計算模型，將VaR定義為“在一定置信水平下，金融資產(chǎn)或投資組合在特定時間段內(nèi)可能遭受的最大損失”，很好地將預(yù)期損失量與發(fā)生的可能性結(jié)合起來。但傳統(tǒng)的計量模型都將金融序列假設(shè)為正態(tài)分布，與實(shí)際金融市場的波動情況不符。因此，金融序列波動率的預(yù)測在風(fēng)險測量中始終占據(jù)至關(guān)重要的地位。經(jīng)典的GARCH類模型有較多的擴(kuò)展類研究，被證明可以擬合金融市場的收益率[2-3]；而Taylor[4]提出的隨機(jī)波動(stochastic volatility，SV)模型將隱含波動率引入自回歸方程中，更靈活有效地刻畫了金融市場的波動性，且被證明更有助于刻畫金融市場的本質(zhì)特征[5-8]。但由于SV模型精確似然函數(shù)較難得到，所以參數(shù)估計一直是個難題。近年來，隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，Jacquier等[9]首次應(yīng)用馬爾科夫鏈蒙特卡洛(markov chain monte carlo， MCMC)方法估計SV模型的參數(shù)。國內(nèi)SV的學(xué)者如朱慧明[10]、蘇理云[11]進(jìn)一步研究了基于Gibbs抽樣的MCMC方法，可以得到最佳的模型的參數(shù)估計結(jié)果。Francois[12]針對金融市場中的極端情況研究了極值理論，提出了壓力測試下的風(fēng)險度量方法。隨著研究發(fā)現(xiàn)，我國的金融市場收益大多不服從獨(dú)立同方差假設(shè)，且往往是非正態(tài)分布。所以，考慮用條件異方差模型刻畫收益的動態(tài)變化，在此基礎(chǔ)上計算動態(tài)VaR值。國內(nèi)研究最多的是用GARCH族模型和SV模型對VaR的度量[13]，卻很少將波動率模型與極值理論的組合模型相比較，關(guān)于SV模型與極值理論的組合模型的研究也較少。所以，本文將SV模型與極值理論相結(jié)合，建立SV-POT模型預(yù)測黃金市場的尾部風(fēng)險，并與GARCH-POT模型做對比，為黃金市場的風(fēng)險管理尋找較優(yōu)的預(yù)測模型。

1 波動率模型的提出

1.1 SV-N模型

SV模型不僅含有隨機(jī)波動的因素，而且還考慮了方差的噪聲過程，并認(rèn)為方差和噪聲都是不可觀測的隨機(jī)變量。SV-N模型的具體表達(dá)式如式(1)所示：

(1)

其中：at表示去均值后的第t期的對數(shù)收益率；ht表示at潛在的對數(shù)波動率；α和φ為常數(shù)，其中φ為持續(xù)性參數(shù)且|φ|<1，反映了當(dāng)前波動對未來波動的影響；ηt代表了波動過程中其他外在擾動，獨(dú)立同分布于正態(tài)分布。εt和ηt互不相關(guān)，模型中待估參數(shù)有α，φ和ση。

1.2SV-T模型

當(dāng)εt服從正態(tài)分布時，隨機(jī)變量仍會出現(xiàn)比正態(tài)分布較厚的尾部。針對這一現(xiàn)象，很多學(xué)者開始考慮拓展變量誤差項(xiàng)εt的分布，Liesenfeld和Jung提出了SV-t模型，能較準(zhǔn)確地刻畫實(shí)際收益序列的波動性。

SV-t模型的具體形式如下所示：

(2)

式(2)中，εt服從標(biāo)準(zhǔn)化學(xué)生t分布，自由度為v，其分布的概率密度函數(shù)為

(3)

當(dāng)自由度v<4時，其峰度不存在；當(dāng)自由度v>4時，其峰度大于3；當(dāng)自由度v趨于無窮大時，該分布退化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。待估參數(shù)有α，φ，ση和v。

對于SV模型的參數(shù)估計，本文選擇運(yùn)用MCMC 方法。該方法的本質(zhì)是加入待估參數(shù)的先驗(yàn)信息，利用Gibbs抽樣方法得到收斂平穩(wěn)的馬爾可夫鏈，密度函數(shù)記為π(x)，該分布即可看成參數(shù)的后驗(yàn)分布。該方法的缺點(diǎn)是計算較為復(fù)雜，優(yōu)點(diǎn)是問題維數(shù)的增加不會降低其收斂速度或者使其更復(fù)雜。

1.3 GARCH模型

經(jīng)典的GARCH(p，q)模型具體表達(dá)式如下所示：

(4)

對于相對復(fù)雜的SV模型得到的分布函數(shù)來講，通過樣本分布函數(shù)的有限階矩可知曉其中數(shù)據(jù)含有的特征和基本信息。而在統(tǒng)計的研究分析中，認(rèn)為樣本量的期望均值為一階矩，變量的方差為二階矩。由波動方程ht=α+φ(ht-1-α)+ηt可知：

(5)

(6)

2 基于SV-POT的動態(tài)VaR模型

(7)

分布中有2個未知參數(shù)，分別是形狀參數(shù)ξ和位置參數(shù)β，其中β>0，且當(dāng)ξ>0時，x≥0；當(dāng)ξ<0時，0≤x≤β/ξ。又因?yàn)镕(u)=(N-Nu)/N，Nu表示樣本中超過閾值u的個數(shù)，N為樣本總數(shù)。估計形狀參數(shù)和位置參數(shù)的前提是確定閾值的大小。由于閾值的確定不是本文的重點(diǎn)，所以本文選用超額均值函數(shù)圖法。確定閾值后，用極大似然估計法可得形狀參數(shù)ξ和位置參數(shù)β的估計。根據(jù)VaR理論，在置信水平為p時，可推導(dǎo)出對數(shù)收益率的風(fēng)險值為：

(8)

最后將SV模型與VaR方法結(jié)合，得到的SV-POT-VaR模型為：

3 黃金市場的實(shí)證研究

本文以上海黃金交易所AU99.99每日收盤價數(shù)據(jù)為樣本，選取2002年11月1日至2016年10月18日的共3 399個數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。數(shù)據(jù)來源于RESSET數(shù)據(jù)庫。令yt=100(lnpt-lnpt-1)，得到對數(shù)收益序列，其中pt為t時刻的價格指數(shù)。

由圖1可以看出：黃金價格基本呈現(xiàn)直線上升趨勢。因?yàn)殡S著金融市場的開放和不穩(wěn)定性，越來越多的人認(rèn)識到黃金具有增值保值的功能，為了規(guī)避資產(chǎn)貶值等風(fēng)險而選擇購買黃金，使黃金的價格持續(xù)走高。從2012年以后，由于美國經(jīng)濟(jì)的恢復(fù)等因素，規(guī)避風(fēng)險的資金流出較多，給黃金市場形成一定的壓力，價格漲跌起伏。

圖1 黃金價格波動

由于黃金價格的對數(shù)收益率可以很好地反映其波動情況，從圖2可看出黃金價格對數(shù)收益率呈現(xiàn)的異方差現(xiàn)象。在2013年4月，黃金價格突然暴跌，在金融界引起一場大的風(fēng)波。類似于這種極端情況近年來比比皆是，因此黃金市場的風(fēng)險度量備受關(guān)注。

圖2 對數(shù)收益序列{at}的時序

圖3是黃金對數(shù)收益序列的正態(tài)性檢驗(yàn)，直線代表正態(tài)分布的分位數(shù)，散點(diǎn)代表黃金對數(shù)收益序列的分位數(shù)。散點(diǎn)相對于直線的偏離程度較大，所以黃金對數(shù)收益序列并不服從正態(tài)分布。

圖3 對數(shù)收益序列的Q-Q圖

表1是黃金對數(shù)收益序列的基本統(tǒng)計描述，其中偏度值為負(fù)，峰度值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于3，說明該序列具有“尖峰厚尾”特性，J-B統(tǒng)計量對應(yīng)的P值為0，ADF檢驗(yàn)在在5%水平下顯著，應(yīng)拒絕原假設(shè)，即該序列為平穩(wěn)的非正態(tài)分布。綜上描述，建立異方差模型，

運(yùn)用極大參數(shù)估計方法，得到模型的參數(shù)估計，結(jié)果如表2所示。

表1 黃金對數(shù)收益率的統(tǒng)計特征

注：其中*表示在5%水平下顯著。

表2 基于不同分布的GARCH(1，1)模型的參數(shù)估計

由表3可知：F檢驗(yàn)統(tǒng)計量和LM統(tǒng)計量的P值均大于0.05，因此可認(rèn)為建立GARCH模型后的異方差已消除。GARCH模型能較好地刻畫該序列的波動性。得出GARCH模型的波動方程為：

GARCH-N模型：

GARCH-T模型：

由表2可以看出：基于學(xué)生t分布的AIC值比基于正態(tài)分布的AIC值小。因此，基于學(xué)生t分布的GARCH模型能較好地擬合該序列。

表3 標(biāo)準(zhǔn)化殘差后的ARCH-LM檢驗(yàn)

SV模型的參數(shù)估計借助Winbugs軟件實(shí)現(xiàn)，Gibbs抽樣為30 000次，并舍棄前15 000個“燃燒期”。 因?yàn)樵贛arkov鏈?zhǔn)諗壳?，各狀態(tài)的邊際分布還不能認(rèn)為是平穩(wěn)的，所以用后15 000個抽樣值為各參數(shù)估計的穩(wěn)定分布抽樣。參數(shù)估計結(jié)果如表4所示。

表4 SV模型參數(shù)估計結(jié)果及統(tǒng)計檢驗(yàn)

注：表中MC誤差為蒙特卡羅(Monte Carlo)誤差，與標(biāo)準(zhǔn)差相比越小，則參數(shù)估計越精確，其中mEn表示m×10n。

得到SV-N模型的波動方程：

ηt～i.i.dN(0,0.423 32)

SV-T模型的波動方程：

ηt～i.i.dN(0,0.166 02)

其中自由度為7.298。

得到黃金對數(shù)收益的波動模型后，將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化可以得到獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)殘差序列，結(jié)合極值理論的POT模型預(yù)測VaR。通過超額函數(shù)法和極大似然估計法，分別得到閾值u和形狀參數(shù)和位置參數(shù)的估計值，結(jié)果如表5所示。

表5 基于SV-T模型的POT模型參數(shù)估計

基于各類波動模型的POT模型中，由于參數(shù)估計方法完全一樣，所以這里僅用SV-T模型為例分析。

圖4給出了標(biāo)準(zhǔn)殘差序列擬合GPD的診斷檢驗(yàn)圖，分別為超出量分布圖(左上)、殘差散點(diǎn)圖(左下)、尾部分布圖(右上)以及殘差QQ圖(右下)。其左上圖表示超出量分布的GPD分布擬合狀況，左下圖表示對尾部分布的估計，兩圖中的實(shí)線均為參照線；對于右上圖而言，擬合曲線穿過散點(diǎn)密集區(qū)，而在右下圖中散點(diǎn)緊密圍繞直線分布，均反映出良好的擬合狀態(tài)。在得到波動方程和POT模型分布后，就可以得到動態(tài)VaR的預(yù)測模型。但預(yù)測結(jié)果難免會出現(xiàn)一些誤差，因此需要進(jìn)行正確率檢驗(yàn)。本文用2002年11月1日至2014年12月31日(共2 964個觀測值)，作樣本來估計模型的參數(shù)；用剩下的435個觀測值，用來對模型的評估檢驗(yàn)。這里用Kupiec[18]提出的失敗率檢驗(yàn)法。似然比統(tǒng)計量(LR)表示為：

(10)

其中：N表示失敗次數(shù)；T代表觀察總數(shù)；p=N/T表示失敗率，期望失敗率為p′。即將模型好壞的評估轉(zhuǎn)化為失敗率p是否顯著不同于期望失敗率p′。在原假設(shè)條件下，LR服從自由度為1的卡方分布。

從表6檢驗(yàn)結(jié)果可以看出：GARCH-POT模型預(yù)測VaR的失敗次數(shù)較低，雖然遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于可接受的失敗次數(shù)，但比較保守的風(fēng)險預(yù)防會令投資者失去很多投資機(jī)會，因此并不合適。SV-T-POT模型與SV-N-POT模型相比，失敗次數(shù)均在接受區(qū)間內(nèi)，因此效果更優(yōu)。

圖4 標(biāo)準(zhǔn)殘差序列GPD的診斷檢驗(yàn)圖

置信水平接受區(qū)間失敗次數(shù)GARCH-N-POTGARCH-T-POTSV-N-POTSV-T-POT95%14≤N≤3057152097.5%5≤N≤84610899%2≤N≤41354

圖4給出了95%置信水平下，兩種不同模型得到的動態(tài)VaR與實(shí)際對數(shù)收益序列的對比。將兩類能夠較好刻畫序列厚尾性的模型進(jìn)行對比，GARCH-T-POT模型得到的動態(tài)VaR明顯低于SV-T-POT模型，表明SV-T-POT模型計算得到的VaR值能更準(zhǔn)確地預(yù)測黃金市場的風(fēng)險。

圖4 95%置信水平下不同模型的VaR對比

圖5展示了4種不同模型在95%置信水平下的動態(tài)VaR與對數(shù)收益序列的線性對比圖?？筛逦乜闯觯合鄬τ赟V類模型，GARCH模型預(yù)測的VaR過于保守，而SV-N-POT模型的擬合比SV-T-POT模型低估了VaR。

圖5 95%置信水平下不同分布的VaR對比

4 結(jié)論

本文旨在尋找能較精確預(yù)測VaR的模型，將不同分布的假設(shè)的波動率模型與極值理論相結(jié)合，并進(jìn)行對比分析。結(jié)果得出：基于厚尾t分布的SV模型不僅能更好地擬合序列的波動特性，與極值理論相結(jié)合構(gòu)成的SV-T-POT模型，在預(yù)測VaR方面優(yōu)于其他模型。進(jìn)一步拓展了金融風(fēng)險度量領(lǐng)域的應(yīng)用，為投資者提供了可靠的投資依據(jù)，避免更多的風(fēng)險損失。

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(責(zé)任編輯 何杰玲)

VaR Forecasting for Gold Market Based on SV-POT Model

SU Li-yun, WANG Jie

(College of Science, Chongqing University of Science and Technology, Chongqing 400054, China)

The SV (Stochastic Volatility) model is used to depict the characteristics of the “fat tail” and volatility persistence in the gold market. Then combining the SV model with the extreme value theory based on POT (Peak Over) model, the combination model of SV-POT is established to predict the dynamic VaR of the financial market. Finally, compared with the GARCH-POT model, the SV-POT model based on stochastic volatility model can predict VaR (Value at Risk) more accurately in a certain extent.

SV model; extreme value theory; POT model; VaR

2016-12-25 基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471060)；重慶市教育委員會人文社會科學(xué)研究一般項(xiàng)目(15SKG136)；重慶市教育科學(xué)規(guī)劃課題(2015-GX-072)；重慶理工大學(xué)高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目(2014ZD03)；重慶理工大學(xué)研究生創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(YCX2015228)

蘇理云(1977—)，男，四川廣安人，博士，副教授，主要從事大數(shù)據(jù)分析與經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計研究，E-mail:suliyun@cqut.edu.cn；王杰(1992—)，女，河南新鄉(xiāng)人，碩士研究生，主要從事金融統(tǒng)計與數(shù)據(jù)分析研究。

蘇理云，王杰.基于SV-POT模型的黃金市場的動態(tài)VaR預(yù)測[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué))，2017(5):162-168.

format：SU Li-yun, WANG Jie.VaR Forecasting for Gold Market Based on SV-POT Model[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(5):162-168.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.05.027

O21

A

1674-8425(2017)05-0162-07