張 瀾，趙前進(jìn)

(安徽理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，安徽 淮南 232001)

【自然科學(xué)基礎(chǔ)理論研究】

應(yīng)變能最小的保形有理四次樣條插值曲線

張 瀾，趙前進(jìn)

(安徽理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，安徽 淮南 232001)

為構(gòu)造光順的保形有理四次樣條插值曲線，以形狀控制參數(shù)和插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為決策變量，以插值曲線應(yīng)變能最小為目標(biāo)函數(shù)，以插值函數(shù)保形以及形狀控制參數(shù)和節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)大于0作為約束條件，建立優(yōu)化模型，求解獲得應(yīng)變能最小的保形有理四次樣條插值曲線。給出的數(shù)值實(shí)例表明新方法能獲得光順的插值曲線。

有理四次樣條插值；保形；應(yīng)變能；最優(yōu)化

利用有理樣條進(jìn)行保形插值是幾何造型領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)之一[1-8]。文獻(xiàn)[4-6]介紹的保形有理四次樣條插值函數(shù)節(jié)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的算法為構(gòu)造光順的保形有理四次樣條插值曲線，以形狀控制參數(shù)和節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為決策變量，以插值曲線應(yīng)變能最小為目標(biāo)函數(shù)，以插值函數(shù)保形以及形狀控制參數(shù)和節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)大于0作為約束條件，建立優(yōu)化模型，給出插值算法是求解獲得應(yīng)變能最小的保形有理四次樣條插值曲線。

1 插值函數(shù)[4]

給定數(shù)據(jù){(xi,fi),i=1,2,…,n}，其中：fi為被插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)xi處的函數(shù)值，此處令x1

(1)

其中:

Pi(t)=αifi(1-t)4+Ui(1-t)3t+Vi(1-t)2t2+Wi(1-t)t3+βifi+1t4,

(2)

Qi(t)=αi(1-t)+βit,

Ui=(3αi+βi)fi+αidihi,

Vi=3βifi+1+3βifi。

(3)

插值函數(shù)s(x)在節(jié)點(diǎn)xi處的一階導(dǎo)數(shù)值為di，αi,βi被稱為形狀控制參數(shù)且αi>0,βi>0 。

由(2)(3)式易知，有理樣條插值s(x)滿足下列插值性質(zhì)：

s(xi)=fi,i=0,1,…,n。

(4)

2 保單調(diào)性分析[4-8]

如果f(x)在區(qū)間[a,b]上有x1

di≥0，i=1,2,…,n。

(5)

在區(qū)間[xi,xi+1]上，s(x)單調(diào)遞增的充要條件為：

s′(x)≥0,i=0,1,…,n-1。

(6)

對(1)式中定義的插值函數(shù)s(x)求導(dǎo)：

(7)

其中： Qi0=αi2di,Qi1=2αi2(3Δi-di)，Qi2=3αiβi(4Δi-di-di+1),Qi3=2βi2(3Δi-di+1),Qi4=βi2di+1。

因?yàn)?7)式給出的插值函數(shù)s(x)的導(dǎo)數(shù)s′(x)的分母恒為正，所以只需s′(x)的分子大于0即可。當(dāng)di≥0時(shí)，有Qi1≥0,Qi4≥0 ，因此插值函數(shù)s(x)單調(diào)的充要條件為：Qij≥0,j=1,2,3。即

Qi1=2αi2(3Δi-di)≥0，

Qi2=3αiβi(4Δi-di-di+1)≥0,

(8)

Qi3=2βi2(3Δi-di+1)>0。

由(8) 式得到函數(shù)s(x)單調(diào)的充要條件為：

di≤3Δi,di+1≤3Δi,di+di+1≤4Δi。

(9)

由文獻(xiàn)[8]得出下列結(jié)論：

已知單調(diào)遞增數(shù)據(jù)f1≤f2≤…≤fn,導(dǎo)數(shù)值di≥0,只要di滿足(9)式時(shí)，就存在含有正參數(shù)αi，βi的有理四次樣條插值函數(shù)s(x)∈C1[a,b]，并且是單調(diào)遞增的。

3 有理四次樣條插值函數(shù)二階連續(xù)

對(1)式求二階導(dǎo)數(shù)并化簡可得：

(10)

其中：

Bi0=2αi3(3Δi-2di)-2αi2βidi,

Bi1=6αi2βi(3Δi-di+1)+2αi3(di-3Δi)-8αi2βidi,

Bi2=6αi2βi(di-3Δi)+6αiβi2(3Δi-di+1),

(11)

Bi3=6αiβi2(di-3Δi)+2βi3(3Δi-di+1)+8αiβi2di+1,

Bi4=2βi3(2di+1-3Δi)+2αiβi2di+1。

因此有

(12)

(13)

由函數(shù)s(x)在xi處二階連續(xù)，可得

(14)

由此得出如下結(jié)論：

當(dāng)插值導(dǎo)數(shù)di滿足(14)式時(shí)，含有形狀控制參數(shù)αi,βi的有理四次樣條插值函數(shù)s(x)在區(qū)間[a,b]上二階連續(xù)。[9]

4 插值曲線的應(yīng)變能

插值曲線的研究主要應(yīng)用在物體外形設(shè)計(jì)上，因此插值曲線不僅要求過插值節(jié)點(diǎn)，還要求曲線能夠保光順性、保凹凸性等。研究曲線光順性會發(fā)現(xiàn)光順準(zhǔn)則是最基本的問題，人們在不同的實(shí)際問題中，對曲線光順的要求不同，使得對曲線光順的認(rèn)識也不同。一般認(rèn)為應(yīng)變能最小的曲線是光順的，在曲線光順的研究中常常以曲線能量較小作為約束條件。[10-12]

插值函數(shù)s(x)在[x0,xn]區(qū)間上C2-連續(xù)曲線的應(yīng)變能定義如下：

(15)

積分化簡得

(16)

其中：

5 應(yīng)變能最小的保形有理四次樣條插值曲線

為構(gòu)造光順的保形有理四次樣條插值曲線，以形狀控制參數(shù)αi，βi和節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)di為決策變量，以插值曲線應(yīng)變能最小為目標(biāo)函數(shù)，以插值函數(shù)保形以及形狀控制參數(shù)αi，βi和節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)di大于0作為約束條件，建立優(yōu)化模型

(17)

s.t. αi,βi>0,i=0,1,…,n-1,

(18)

di>0，i=0,1,…,n，

(19)

di≤3Δi,di+1≤3Δi,di+di+1<4Δi,i=0,1,…,n-1。

(20)

求解此優(yōu)化模型得最優(yōu)參數(shù)αi,βi和di，進(jìn)一步得到光順的保形有理四次樣條插值曲線。

表1 形狀參數(shù)αi,βi和導(dǎo)數(shù)di的值

由文獻(xiàn)[13-14]知，保形有理四次樣條插值函數(shù)的誤差有以下結(jié)論:

定理1 設(shè)f(x)∈C2[a,b]，s(x)是f(x)如(1)式所定義的有理樣條插值函數(shù)，對給定的αi,βi，則x∈[xi,xi+1],i=0,1,…,n-1，有

6 數(shù)值例子

給出一組單調(diào)遞增的數(shù)據(jù)x1=0,x2=6,x3=10,x4=29.5,x5=30,f(x1)=0.01,f(x2)=15,f(x3)=15,f(x4)=25,f(x5)=30。

由本文方法建立模型求解最優(yōu)形狀參數(shù)αi，βi和插值節(jié)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)di的值如表1所示。

依表1數(shù)據(jù)繪制出應(yīng)變能最小且保形的有理四次樣條插值曲線(如圖1)，并與文獻(xiàn)[6]中插值法所繪制的插值曲線(如圖2)作對比，驗(yàn)證了新方法的有效性。

圖1 由新方法得到的有理樣條插值曲線 圖2 由文獻(xiàn)[6]得到的有理樣條插值曲線

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【責(zé)任編輯 牛懷崗】

ShapePreservingRationalQuarticSplineInterpolationCurveofMinimumStrainEnergy

ZHANGLan，ZHAOQian-jin

(SchoolofMathematicsandBigData，AnhuiUniversityofScienceandTechnology，Huainan232001，China)

In order to obtain the most fairing shape preserving rational quartic spline interpolation curve，an optimization model is established，with the shape control parameters and the derivative of the interpolation function at the nodes being decision variables，the minimum strain energy of the interpolation curve being the objective function，and the interpolation function for monotony as well as the shape control parameters and the derivative of the node greater than zero being the constraint conditions.The shape preserving rational quartic spline interpolation curve with minimum strain energy is obtained based on the optimization model.The numerical examples are given to show that the new method can obtain fairing interpolation curve.

rational quartic spline interpolation; shape preserving; strain energy; optimization

O241.3

A

1009-5128(2017)08-0016-05

2016-12-30

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目：有理插值新方法及其在三維數(shù)字模型信息保護(hù)中的應(yīng)用研究(60973050)；安徽省教育廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目：有理插值新方法及其應(yīng)用研究(KJ2009A50)

張瀾(1990—)，女，河南南陽人，安徽理工大學(xué)數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院碩士研究生;趙前進(jìn)(1967—)，男，安徽鳳陽人，安徽理工大學(xué)數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院教授，工學(xué)博士，碩士研究生導(dǎo)師，主要從事有理插值與逼近、數(shù)字圖像處理研究。