王清超，吳保衛(wèi)，鄭宜強(qiáng)

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710119)

【自然科學(xué)基礎(chǔ)理論研究】

奇異時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性的新判據(jù)

王清超，吳保衛(wèi)，鄭宜強(qiáng)

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710119)

針對(duì)線(xiàn)性奇異時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性問(wèn)題，提出了一種新的方法來(lái)討論，與之前的方法相比較，這種方法研究出的結(jié)果具有較小的保守性。首先將奇異系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為帶有線(xiàn)性約束的中立系統(tǒng);其次應(yīng)用Park’s Inequality方法，結(jié)合Lyapunov-Krasovskii泛函處理方法，得到了基于線(xiàn)性矩陣不等式的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性的新判據(jù);最后，通過(guò)實(shí)例表明，該方法得到的結(jié)論與其他文章相比減少了計(jì)算量且結(jié)論具有較小的保守性。

中立系統(tǒng)；時(shí)滯相關(guān)；Park’s Inequality；線(xiàn)性矩陣不等式

奇異系統(tǒng)又被稱(chēng)為描述系統(tǒng)、廣義系統(tǒng)等，而奇異時(shí)滯系統(tǒng)廣泛存在于工程系統(tǒng)中[1]，時(shí)滯的出現(xiàn)會(huì)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性造成不良影響[2-5]。文獻(xiàn)[6-7]介紹了時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性與時(shí)滯無(wú)關(guān)穩(wěn)定性，本文僅討論奇異系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性，文獻(xiàn)[8]討論了小時(shí)滯對(duì)奇異系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，但獲得的條件具有較大保守性。文獻(xiàn)[9]提出了一種新的方法討論奇異時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性，得到了新的穩(wěn)定性判據(jù)，但這些條件具有一定的保守性。

基于以上分析，為了減小穩(wěn)定性判定的保守性，改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性能，本文主要用Park’s Inequality方法來(lái)討論奇異時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性。在文中構(gòu)建了Lyapunov-Krasovskii泛函并結(jié)合Park’s Inequality方法，獲得了基于LMI的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性的新判據(jù)。 最后，用實(shí)例表明用這一方法得到的結(jié)果具有較小的保守性。

1 預(yù)備知識(shí)

考慮如下奇異時(shí)滯系統(tǒng)：

(1)

為了研究系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性，引入以下定義和引理[1,10]：

定義1 如果det(sE-A)不恒為0，則稱(chēng)(E,A)是正則的。

定義2 如果deg(det(sE-A))=rank(E)，則稱(chēng)(E,A)無(wú)脈沖。

引理1 若(E,A)正則、無(wú)脈沖，則系統(tǒng)(1)在[0,+)上存在唯一解且無(wú)脈沖。

引理2 假設(shè)(E,A)正則、無(wú)脈沖，則存在可逆矩陣M,N,使得下式成立：

(2)

如果(E,A)是正則、無(wú)脈沖的，根據(jù)引理2，存在可逆矩陣M,N∈Rn×n，使得

(3)

那么可以將系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化成中立系統(tǒng)。

令

(4)

系統(tǒng)(1)等價(jià)于下邊的等式

(5)

對(duì)矩陣進(jìn)行適當(dāng)分塊，等式可以寫(xiě)成以下的式子：

(6)

0=v2(t)+Bs3v1(t-τ)+Bs4v2(t-τ)。

(7)

對(duì)(7)式求導(dǎo)得

(8)

聯(lián)合(7)(8)式得到

(9)

聯(lián)立(6)式和(9)式推出

(10)

令

(11)

由此可將系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為中立系統(tǒng)的形式

(12)

因?yàn)閤(t)=θ(t)，所以v(t)=N-1x(t)，顯然可知，如果中立系統(tǒng)(12)漸進(jìn)穩(wěn)定，那么奇異系統(tǒng)(1)也漸進(jìn)穩(wěn)定。

2 主要結(jié)果

下面主要通過(guò)討論中立系統(tǒng)(12)的穩(wěn)定性來(lái)說(shuō)明奇異系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性，為了討論方便，在給出主要結(jié)果之前給定以下假設(shè)和引理：

假設(shè)1 假設(shè)矩陣對(duì)(E,A)是正則和無(wú)脈沖的。

引理3[11]令a(α)∈Rnx，b(α)∈Rny，α∈Ω，那么對(duì)于任意給定的正定矩陣X∈Rnx×nx，任意的矩陣M∈Rnx×ny，都有以下不等式成立：

(13)

引理3的內(nèi)容是證明定理1的主要引理，下面根據(jù)Lyapunov-Krasovskii穩(wěn)定性定理，建立中立系統(tǒng)(12)漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件。

(14)

證明 首先構(gòu)造如下形式的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)：

V(t)=V1+V2+V3+V4。

其中：

V1=vT(t)Pv(t)，

V1對(duì)t求導(dǎo)可以得到如下的等式

(15)

分別對(duì)V2,V3,V4求導(dǎo)得：

經(jīng)整理可得

3 數(shù)值算例

在這一部分，我們通過(guò)算例來(lái)驗(yàn)證本文給的穩(wěn)定性判據(jù)具有較小的保守性。

例1 考慮如下的線(xiàn)性中立系統(tǒng)

解析 根據(jù)定理1以及利用線(xiàn)性矩陣不等式求解方法，這里的求解程序?yàn)椋?/p>

setlmis([]);P=lmivar(1,[2 1]);Q1=lmivar(1,[2 1]);Q2=lmivar(1,[2 1]);V=lmivar(1,[2 1]);W=lmivar(1,[2 1]);t=lmivar(1,[1 1]);lmiterm([1 1 1 P],1,A+B,′s′);lmiterm([1 1 1 Q1],1,1);lmiterm([1 1 2 P],1,C);lmiterm([1 1 4 Q2],A′,1);lmiterm([1 2 2 Q2],1,1);lmiterm([1 2 4 Q2],C′,1);lmiterm([1 3 3 V],1,1);lmiterm([1 4 4 Q2],1,1);lmiterm([-2 1 1 Q2],1,1);lmiterm([-3 1 1 Q1],1,1);lmiterm([-4 1 1 P],1,1);lmiterm([-5 1 1 V],1,1);G=getlmis;[tmin b]=feasp(G);

利用MATLAB求解，得時(shí)滯最大上界為：1.6010。

通過(guò)這幾篇文章在相同情況下的比較，很明顯地能夠看出來(lái)本文得到的穩(wěn)定性條件具有較小的保守性。

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)研究中立系統(tǒng)的穩(wěn)定性來(lái)研究奇異時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文中提出了一種新的方法，用積分不等式法研究奇異時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性。在符合一定條件下將奇異系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為帶有約束的中立系統(tǒng)，通過(guò)合理的不等式放縮方法，并結(jié)合Park’s Inequality來(lái)研究。與以前同類(lèi)研究結(jié)果相比較，本文沒(méi)有直接研究奇異時(shí)滯系統(tǒng)，而是通過(guò)將奇異系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為中立系統(tǒng)來(lái)研究，結(jié)合新的李雅普諾夫泛函的選取給出了基于線(xiàn)性矩陣不等式(LMI)的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性新判據(jù)，用這一方法得到的系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯上界比已有的文獻(xiàn)具有較小的保守性，并通過(guò)數(shù)值算例說(shuō)明了本文方法的有效性。

[1] Niculescu S I.Delay Effects on Stability:A Robust Control Approach[M].Berlin：Springer,2001.

[2] Li H Y，Jing X J,Karimi H R.Output-feedback-based control for vehicle suspension systems with control delay[J].IEEE Trans.Ind.Electron，2014，61(1)：436-446.

[3] Chen B Y,Zheng W X.Stability analysis of time-delay neural networks subject to stochastic perturbations[J].IEEE Trans.Cybern，2013，43(6)：2122-2134.

[4] Lu J Q，Ho D W C，Cao J D.Synchronization in an array of nonlinearly coupled chaotic neural networks with delay coupling[J].Int.J.Bifurc.Chaos，2008，18(10)：3101-3111.

[5] Lu D R，Li H，Zhu Y.Quantized H-infinity filtering for singular time-varying delay systems with unreliable communication channel[J].Circuits Syst.Signal Process，2012，31(2)：521-538.

[6] Wu Z G，Su H Y，Chu J.Improved results on delay-dependent control for singular time delay systems[J].Acta Autom.Sin，2009，35(8)：1101-1106.

[7] Sun X，Zhang Q L，Yang C Y.An improved approach to delay-dependent robust stabilization for uncertain singular time-delay systems[J].International Journal of Automation and Computing，2010，7(2)：205-212.

[8] Fridman E.Effects of small delays on stability of singularly perturbed systems[J].Automatic，2002，38:897-902.

[9] Fridman E.Stability of linear descriptor systems with delay:a Lyapunov-based approach[J].Math Anal Appl，2002，273:24-44.

[10]XuSY，DoorenPV，StefanR.Robuststabilityandstabilizationforsingularsystemswithstatedelayandparameteruncertainty[J].IEEETrans.Autom.Control，2002，47(7)：1122-1128.

[11]HaleJK，SjoerdM，LunelV.IntroductiontoFunctionalDifferentialEquations[M].NewYork：Springer，1993.

[12]MahmoundMS.Robuststabilityandstabilizationofaclassofuncertainnonlinearsystemswithdelays[J].JournalofMathematicalProblemsinEngineering，1998，(4):165-185.

[13]BoydSL,GhaouiEI，F(xiàn)eronE.Linearmatrixinequalityinsystemsandcontroltheory[M].Philadelphia:SIAM,1994.

[14]FridmanE.NewLyapunov-Krasovskiifunctionsforstabilityoflinearretardedand-neutraltypesystems[J].Syst.ControlLett，2001，43：309-319.

[15]ChenJD，LienCH，F(xiàn)anKK.CriteriaforasymptoticstabilityofaclassofneutralsystemsviaaLMIapproach[J].IEEEProc.ControlTheoryAppl，2001，148：442-447.

[16]LienCH，ChenJD.Discrete-delay-independentanddiscrete-delay-dependentcriteriaforaclassofneutralsystems[J].ASMEJ.Dyn.Syst.Meats.Control,2003,125:33-41.

【責(zé)任編輯 牛懷崗】

NewMethodonDelay-dependentStabilityforSingularSystemwithDelay

WANGQing-chao，WUBao-wei，ZHENGYi-qiang

(CollegeofMathematicsandInformationScience，ShaanxiNormalUniversity，Xi’an710119，China)

A new method is proposed to study the delay-dependent stability conditions of the linear singular time-delay system，the result of the new method is less conservativeness than the before.Firstly，by representing the singular system as a neutral system with a linear constraint.Secondly，using the Park’s inequality and combing the lyapunov-krasovskii functional method，we obtain a new delay-dependent stability criterion in terms of a linear matrix inequality.Finally，illustrative examples show the new result reduces the amount of computation and is less conservativeness than before.

neutral system; delay-dependent; Park’s inequality; linear matrix inequality

TP273

A

1009-5128(2017)08-0021-05

2016-11-23

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目：具有輸入時(shí)滯的切換非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計(jì)(61403241)

王清超(1989—)，男,河南開(kāi)封人，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院碩士研究生;吳保衛(wèi)(1963—)，男,陜西西安人，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教授，博士研究生導(dǎo)師，主要從事控制理論研究。