林俊宇, 徐曉杰

(華南理工大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系, 廣州 510640)

具有粗糙初值的Landau-Lifshitz-Gilbert方程的整體解的存在性

林俊宇*, 徐曉杰

(華南理工大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系, 廣州 510640)

關(guān)注高維Landau-Lifshitz-Gilbert方程的整體解的存在性問題,證明了當(dāng)初始值半范數(shù)[Z0(x)]BMO(Rn)充分小時(shí),Landau-Lifshitz-Gilbert方程柯西問題存在整體解:通過球面投射的方法,把Landau-Lifshitz-Gilbert方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)非線性Schr?dinger方程,然后研究該方程的整體解的存在性,最后通過逆運(yùn)算,得到原Landau-Lifshitz-Gilbert方程的解的整體存在性.

Landau-Lifshitz-Gilbert方程; 存在性; 球面投射

LANDAU與LIFSHITZ[1]在1935年提出了鐵磁體運(yùn)動(dòng)的方程Zt=1Z(x,t)×Heff(x,t)-2Z(x,t)×(Z(x,t)×Heff(x,t))

((x,t)Rn×(0,+)),

(1)

Z(x,t)=Z0(x)S2((x,t)Rn×{t=0}),

(2)

其中Z(x,t)=(Z1(x,t),Z2(x,t),Z3(x,t)):Rn×(0,+)→S2為磁化強(qiáng)度向量,這里Zi(x,t)(i=1,2,3)為數(shù)量函數(shù),S2?R3為單位球面,×表示Rn中的向量積,1為常數(shù),常數(shù)2>0為Gilbert阻尼系數(shù),Heff為有效場(chǎng). 當(dāng)有效場(chǎng)只有交換場(chǎng)時(shí),即Heff=△Z,由方程(1)、(2)得到Landau-Lifshitz-Gilbert方程:

Zt=2ΔZ(x，t)+2|Z(x，t)|2Z(x，t)+1Z(x，t)×

ΔZ(x，t) ((x,t)Rn×(0,+)),

(3)

Z(x,0)=Z0(x)S2((x,t)Rn×{t=0}).

(4)

方程(3)與調(diào)和映照熱流、Schr?dinger流有密切的聯(lián)系:當(dāng)1=0時(shí),方程(3)變成了調(diào)和映照熱流:

Zt=2△Z(x,t)+2|Z(x,t)|2Z(x,t);

Zt=1Z(x,t)×△Z(x,t).

我們知道,方程(3)具有平移和伸縮不變性,即對(duì)于任意的(x0,t0)Rn×(0,+)及η>0,若Z(x,t)滿足方程(3),則Zη(x,t)∶=Z(x0+ηx,t0+η2t)也滿足方程(3).

當(dāng)n=2時(shí),借鑒調(diào)和映照熱流的辦法,文獻(xiàn)[2-5]得到了方程(3)的幾乎光滑解的存在性以及能量遞減解的唯一性.

當(dāng)n≥3時(shí),文獻(xiàn)[6]得到了方程(3)整體弱解的存在性. 但是方程(3)沒有與調(diào)和映照熱流類似Bochner公式和能量單調(diào)不等式,所以，研究方程(3)的弱解的正則性以及唯一性具有一定的難度. 文獻(xiàn)[7]、[8]研究了三維、四維駐定弱解的部分正則性,文獻(xiàn)[9]、[10]得到了三維、四維Ginzburg-Landau逼近弱解的部分正則性.

對(duì)于 Landau-Lishitz-Gilbert 方程的正則性的問題,DING和WANG[11]首次證明了當(dāng)n=3 和n=4 時(shí)一類初邊值問題奇性解的存在性,這一結(jié)果對(duì) Landau-Lishitz-Gilbert 方程的研究起著重要的作用. 同時(shí),對(duì)于 Landau-Lishitz-Gilbert 方程的研究成果還可參考文獻(xiàn)[12].

近年來,通過將方程(3)轉(zhuǎn)換為復(fù)雜的 Ginzburg-Landau 型的非線性耗散Schrodinger 方程, 得到方程(3)在Ln(Rn)空間和Morrey空間中小初值整體局適定性[13-14];研究了臨界Besov空間小初值的整體存在性問題[15]. 但在更大空間中的小初值問題的整體適定性還需要進(jìn)一步解決.

本文將在更大的空間中研究Landau-Lishitz-Gilbert 方程具有小初值的整體適定性. 為方便起見,設(shè)1=1. 在初始值[Z0(x)]BMO(Rn)充分小的條件下,通過球面投射的方法,把Landau-Lifshitz-Gilbert方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)非線性Schr?dinger方程, 然后研究該方程的整體解的存在性. 最后通過逆運(yùn)算, 得到Landau-Lifshitz-Gilbert方程柯西問題的整體解的存在性. 由Ln(Rn)空間、 Morrey空間與BMO空間的關(guān)系,本文所得的結(jié)論部分改進(jìn)了文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[14]的結(jié)果.

為了研究方程(3)、(4)的解,引入復(fù)函數(shù)

(5)

(6)

那么BMO半范數(shù)有下面的等價(jià)形式[17]:

再定義2個(gè)函數(shù)空間

X∶= {f:Rn×(0,+)→|‖f‖X≡

Y∶={g:Rn×(0,+)→,

以及

可知,(X,‖·‖X)和(Y,‖·‖Y)都是Banach空間[17].

同時(shí),記

下面給出一些有關(guān)的估計(jì).

引理1 如果W0(x)BMO(Rn),則存在常數(shù)C>0,使得以下估計(jì)成立:

類似文獻(xiàn)[17]的式(2.6)的證明可以得到引理 1, 在此略.

引理2 如果gY,那么SgX,并且存在常數(shù)C>0,使得‖Sg‖X≤C‖g‖Y.

類似文獻(xiàn)[17]的引理3.1的證明可以得到引理1,在此略.

下面在Z0(x)S2以及(x)>-1的條件下, 研究方程(5)、(6)的整體解的存在性. 首先,定義X上的一個(gè)映射,其中

引理3 如果[W0(x)]BMO(Rn)<ε,那么存在一個(gè)依賴于n的正常數(shù)C,使得對(duì)于任意的W都有‖W(·,t)‖L(Rn)≤C以及 [W]X≤2ε.

|W(x,t)|≤|W(x,t)-W0(x)|+|W0(x)|≤

另外,由引理 1 可知

ε+[W0]BMO(Rn)≤2ε.

證畢.

證明 由引理 2和引理 3可知,對(duì)于任意的W,有‖‖X≤CF(W)Y=

因此, 只要取足夠小的ε1>0,則引理 4成立.

引理5 存在ε2(0,ε1],使得如果[W0]BMO(Rn)≤ε2, 那么T是從映到的壓縮映射.

證明 對(duì)于任意的W1、W2,記W=W1-W2,有

‖F(xiàn)(W1)-F(W2)X‖≤

下面給出本文的主要結(jié)果.

定理1 設(shè)Z0(x)S2且滿足,那么存在ε0>0,使得當(dāng)[Z0(x)]BMO(Rn)<ε0時(shí),方程(3)、(4)存在唯一的整體解Z(x,t),對(duì)幾乎處處的(x,t)Rn×(0,+),有|Z(x,t)|=1以及

證明 選取ε≤ε2,其中ε2由引理 5得到.

首先,證明在定理1的假設(shè)條件下有[W0]BMO(Rn)≤Cε0,其中常數(shù)C>0只與n有關(guān).

2|Z0(x)|≤|Z0(x)|.由BMO半范數(shù)的等價(jià)定義可知,如果[Z0(x)]BMO<ε0,那么存在只與n有關(guān)的常數(shù)C>0,使得

[W0(x)]BMO≤Cε0.

接著,由引理3～引理5以及壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理可知,方程(5)、(6)存在唯一解WX.

,

,

.

另外,不難證明

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【中文責(zé)編：莊曉瓊 英文審校：肖菁】

Global Existence of Landau-Lifshitz-Gilbert System with Rough Initial Data

LIN Junyu*, XU Xiaojie

(Department of Mathematics, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China)

The global solutions to Landau-Lifshitz-Gilbert equation in high dimensions are considered. The global well-posedness of the Cauchy problem of the Landau-Lifshitz-Gilbert equation in Rnfor any initial dataZ0(x)S2withsmall[Z0(x)]BMO(Rn)isestablished.ThemethodisbasedonprioriestimatesofanonlinearSchr?dingerequationobtainedfromtheLandau-Lifshitz-Gilbertequationbythestereographicprojection.

Landau-Lifshitz-Gilbert equation; existence; stereographic projection

2016-11-21 《華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11571117);廣東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2016A030313451);中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目(2015ZM183)

O175.26; O175.29

A

1000-5463(2017)03-0097-05

*通訊作者:林俊宇,副教授,Email:scjylin@scut.edu.cn.