郭 棟， 李宗濤

(1. 滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，滁州 239000； 2. 廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，廣州 510403)

一類(lèi)解析函數(shù)的Fekete-Szeg?不等式

郭 棟1*， 李宗濤2

(1. 滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，滁州 239000； 2. 廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，廣州 510403)

單葉函數(shù); H(α,A,B)函數(shù);Fekete-Szeg?不等式

Keywords：univalentfunction; H(α,A,B)function;Fekete-Szeg?inequality

令H表示形如

f(z)=z+a2z2+a3z3+…

(1)

FEKETE和SZEG?[1]證明了：設(shè)f(z)S， f(z)由式(1)給出，0≤u<1，則

且對(duì)每個(gè)u等號(hào)都成立.

1994年,何維明[2]引入了函數(shù)類(lèi)

并且研究了此函數(shù)類(lèi)的Fekete-Szeg?不等式.

仿照函數(shù)類(lèi)B(β,α),本文定義函數(shù)類(lèi)H(α,A,B)：

(2)

記函數(shù)f(z)H(α,A,B),其中冪函數(shù)取主值.

當(dāng)函數(shù)類(lèi)H(α,A,B)的參數(shù)取一些特殊值時(shí),就得到我們熟知的函數(shù)類(lèi),例如[2-3]：

(1)當(dāng)A=1-2ρ,B=-1時(shí),

其中0≤ρ<1.

(2)當(dāng)A=1-2α,B=-1,α=β時(shí), H(β,1-2α,-1)=B(β,α).

(3)當(dāng)A=1-2α,B=-1,α=1時(shí),H(1,1-2α,-1)=P(α).

文獻(xiàn)[5-9]研究了H中一些子類(lèi)的Fekete-Szeg?問(wèn)題. 本文利用施瓦茲函數(shù)的Fekete-Szeg?不等式，得到了H(α,A,B)上的Fekete-Szeg?不等式，并推廣了一些結(jié)果.

引理1[10]設(shè)ω(z)=d1z+d2z2+…在zU時(shí)解析,且|ω(z)|≤|z|,則對(duì)任意的復(fù)數(shù)t,有}. 等號(hào)在函數(shù)ω(z)=z2和ω(z)=z時(shí)成立.

引理2[11]設(shè)ω(z)=d1z+d2z2+…在zU時(shí)解析,且|ω(z)|≤|z|,則對(duì)任意的實(shí)數(shù)t有

和

引理3[12]設(shè)p(z)=1+p1z+p2z2+…在U={z:|z|<1}內(nèi)解析且滿足Rep(z)>0，則

下面給出本文的主要結(jié)果及證明.

且對(duì)所有的μ等號(hào)都成立.

(3)

將f(z)、ω(z)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式代入式(3)，并比較恒等式兩邊z和z2兩項(xiàng)的系數(shù)，可得

(4)

所以

(5)

當(dāng)α≠0時(shí)，相應(yīng)的極值函數(shù)為

或

且對(duì)所有的μ等號(hào)都成立.

注1 推論1中令α=β,ρ=α，H(α,ρ)就變?yōu)槲墨I(xiàn)[2]的函數(shù)類(lèi)B(β,α)，μ由實(shí)數(shù)推廣到復(fù)數(shù).

由定理1的證明過(guò)程及引理2可得：

若μ1≤μ≤μ2，由引理2，定理2可以改進(jìn)為：

且對(duì)所有的μ等號(hào)都成立，其中μ3=-B(1+α)2/[(A-B)(1+2α)].

且對(duì)所有的μ等號(hào)都能成立.

類(lèi)似于定理1的證明,可以證明定理4,此處略.

且對(duì)所有的μ等號(hào)都能成立.

注2 推論2中令k=1，得文獻(xiàn)[4]中R(0,0,0)的Fekete-Szeg?不等式.

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【中文責(zé)編：莊曉瓊 英文責(zé)編：肖菁】

TheFekete-Szeg?InequalityforASubclassofAnalyticFunctions

GUODong1*，LIZongtao2

(1. Foundations Department, Chuzhou Vocational and Technical College, Chuzhou 239000, China；2. Foundations Department, Guangzhou Civil Aviation College, Guangzhou 510403, China)

2016-01-12 《華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

安徽省高校自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(KJ2015A372)

O

A

1000-5463(2017)03-0114-03

*通訊作者:郭棟，副教授,Email：Gd791217@163.com.