姚曉潔， 秦發(fā)金

(廣西科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，來(lái)賓 546100)

具有階段結(jié)構(gòu)的中立型捕食系統(tǒng)的正周期解

姚曉潔*， 秦發(fā)金

(廣西科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，來(lái)賓 546100)

研究具有功能反應(yīng)和時(shí)滯階段結(jié)構(gòu)的中立型捕食系統(tǒng)存在多個(gè)正周期解有著非常重要的意義. 提出了一類具有HollingIV類功能反應(yīng)和時(shí)滯階段結(jié)構(gòu)的中立型捕食系統(tǒng). 通過(guò)利用重合度理論中的延拓定理和一些不等式分析技巧,細(xì)致分析系統(tǒng)的解的界,給出了2種可能情形,獲得了該系統(tǒng)至少存在2個(gè)正周期解的充分條件.

HollingIV類功能反應(yīng); 時(shí)滯階段結(jié)構(gòu)； 中立型捕食系統(tǒng)； 多個(gè)正周期解； 重合度

(1)

的周期解問(wèn)題，利用重合度理論和不等式分析技巧，獲得了系統(tǒng)(1)至少存在2個(gè)正周期解的充分條件. 另一方面,對(duì)中立型捕食系統(tǒng)周期解的研究也引起許多學(xué)者的廣泛關(guān)注[6-10]. 雖然，對(duì)生物種群系統(tǒng)具有多個(gè)正周期解的研究有許多結(jié)果[11-13]，但自然界中生物種群的增長(zhǎng)一般都要經(jīng)歷一個(gè)生長(zhǎng)的發(fā)育過(guò)程，且在不同的生長(zhǎng)階段可能會(huì)有不同的特性，因此，研究具有階段結(jié)構(gòu)和功能反應(yīng)的中立型捕食系統(tǒng)的多個(gè)周期解具有十分重要的意義. 目前對(duì)具有階段結(jié)構(gòu)的中立型生物種群系統(tǒng)具有多個(gè)周期解卻很少研究成果，因此，本文在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上加入中立型項(xiàng)，研究如下一類具有第Ⅳ類功能反應(yīng)的時(shí)滯階段結(jié)構(gòu)時(shí)滯中立型捕食系統(tǒng)的周期解的存在性問(wèn)題，其中x(t)表示食餌種群在時(shí)刻t的密度，y1(t)和y2(t)分別表示捕食者種群的幼年和成年在時(shí)刻t的密度，r1(t)、a1(t)、a2(t)、b(t)、r2(t)、β(t)、、σ和δ都是連續(xù)的正ω-周期函數(shù)，ω>0、m>0、a>0均為常數(shù)，b(t-表示幼年捕食者從時(shí)刻t-(t)到時(shí)刻t轉(zhuǎn)化為成年捕食者的數(shù)量，q,δC1(R,[0,+)),σC2(R,R). 系統(tǒng)(2)的初始條件為

(2)

x(t)=φ(t),yi(t)=φi(t)(i=1,2;-θ≤t≤0),

φ(0)>0,φi(0)>0,φ,φiC1([-θ,0],[0,))

(i=1,2),

為了方便研究，對(duì)任意連續(xù)ω-周期函數(shù)f(t)，我們引入下列記號(hào)：

本文總假設(shè)：

(A1)σ′(t)<1,δ′(t)<1,′(t)<1，且φ(t)>0，這里φ1(p)是p=t-δ(t)的反函數(shù).

(A2)eBq0<1，這里

1 準(zhǔn)備知識(shí)

為得到本文的結(jié)果，先引入Mawhin延拓定理.

設(shè)X和Z是賦范向量空間，L:DomL?X→Z為線性映射，N:X→Z為連續(xù)映射，如果dimKerL=codimImL<+，且ImL為Z中的閉子集，則映射L稱為零指標(biāo)的Fredholm映射. 如果L是零指標(biāo)的Fredholm映射，且存在連續(xù)投影P:X→X及Q:Z→Z使得ImP=KerL，ImL=KerQ=Im(I-Q)，則可逆，設(shè)其逆映射為KP. 設(shè)Ω為X中有界開集，若QN()有界且KP(I-Q)N:→X是緊的，則稱N在上是L-緊的. 由于ImQ與KerL同構(gòu)，因而存在同構(gòu)映射J:ImQ→KerL.

(i)對(duì)任意的(0,1)，方程Lx=N(x)的解滿足x?Ω；

(ii)QNx≠0,?x?Ω∩KerL；

(iii)deg{JQNx,Ω∩KerL}≠0.

引理2[15]設(shè)gC1(R,R)且g(t)=g(t+ω)，則

引理3[4]若α(t)和g(t)是ω-周期函數(shù)，則系統(tǒng)y′(t)=α(t)y(t)+g(t)有唯一的周期解，且此周期解可表示為

有下列結(jié)論:

(i)f(x,y,z)和g(x,y,z)在x[0,+)上關(guān)于x分別是單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的;

(ii)f(x,y,z)和g(x,y,z)在y[0,+)上關(guān)于x分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的;

(iii)f(x,y,z)和g(x,y,z)在z[0,+)上關(guān)于x分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的.

為了方便證明,引進(jìn)如下正數(shù):

2(r2)0,

2(r2)0,

注意到系統(tǒng)(2)的第1、3個(gè)方程可以從整個(gè)系統(tǒng)分離出來(lái)，因此，我們考慮系統(tǒng)(2)的如下子系統(tǒng)

(3)

(4)

取X={u=(u1(t),u2(t))TC1(R,R2):ui(t+ω)=ui(t),tR,i=1,2}，Z={u=(u1(t),u2(t))TC(R,R2):ui(t+ω)=ui(t),tR,i=1,2}. 定義‖u‖1=,‖u‖，則X和Z在范數(shù)‖·‖1和‖·‖都是Banach空間.

定義

N:X→Z,Nu=

易知P和Q是連續(xù)的投影且使得ImP=KerL,KerQ=ImL=Im(I-Q)，從而，廣義逆(L)KP:ImL→KerP∩DomL是

(5)

則

QNu=

KP(I-Q)N(u)=

2 主要結(jié)果

證明 根據(jù)前面的分析,我們只需證明系統(tǒng)(4)周期解的存在性.考慮算子方程Lu=Nu，(0,1)，即

(6)

假設(shè)(u1(t),u2(t))TX是式(6)相應(yīng)于某個(gè)(0,1)的解，結(jié)合式(5)，將式(6)從0到ω積分得

(7)

(8)

結(jié)合式(7)可得

(9)

從而由式(6)及式(9)可得

(10)

由式(9)可得

(11)

由式(9)、(10)和引理2可得

u1(t)+p(t)eu1(t-σ(t))≤u1(ξ)+p(ξ)eu1(ξ-σ(ξ))+

u1(t)≤B,?t[0,ω].

(12)

由式(6)、(8)可得

(13)

由于(u1(t),u2(t))TX，則可選擇ξi,ηi[0,ω](i=1,2)，使得

(14)

由式(9)、(12)和式(14)可得

(15)

再由式(9)、(12)和式(14)可得

(16)

由式(15)、(16)可得

(17)

由式(6)、(11)和式(15)得

(18)

由式(6)、(11)和式(15)可得

(19)

由式(6)的第2個(gè)方程可得

(20)

特別有

也即

這意味著

lnl-

(21)

再由式(14)、(20)得

特別有

這意味著u1(η1)lnh+. 顯然，l±、h±、ρ3、ρ4、M0、B與選取無(wú)關(guān). 定義

Ω1={u=(u1,u2)TX|u1(t)(lnl-,lnh-),

Ω2={u=(u1,u2)TX|u1(t)(lnh+,max{lnl+,B}),

顯然,Ωi(i=1,2)是X上的有界開集,且Ωi∩Ωj=?(i≠j),從而Ωi(i=1,2)滿足引理1的條件(i). 現(xiàn)在證明引理1的條件(ii)也成立，即證若u?Ωi∩KerL=?Ωi∩R2時(shí)有QNu≠0. 用反證法. 假設(shè)存在u0=(u10,u20)T?Ωi(i=1,2),使得QNu0=0,即

(22)

顯然，根據(jù)定理1的條件可知，方程(22)有2個(gè)不同的解：

直接計(jì)算可得

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【中文責(zé)編：莊曉瓊 英文責(zé)編:肖菁】

PositivePeriodicSolutionsofNeutralPredator-PreySystemswithStageStructure

YAO Xiaojie*， QIN Fajin

(College of Mathematics and Computer Science, Guangxi Science & Technology Normal University, Laibin 546100， China)

It is very important to study the existence of multiple positive periodic solutions of neutral predator prey systems with functional response and delay stage structure. A system is proposed to a neutral predator-prey system with Holling type IV functional response and time delay and stage structure. By using a continuation theorem based on coincidence degree theory and some inequality analysis techniques, the bounds of solutions of this system are analyzed in detail. Two possible cases are given and some sufficient conditions of the at least two positive periodic solutions for the system are established.

Holling IV functional response; delayed stage structure; neutral predator-prey system; multiple positive periodic solution; coincidence degree

2015-10-16 《華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

廣西壯族自治區(qū)自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2013GXNSFAA019022)；廣西壯族自治區(qū)高校科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(YB2014468,2013YB282,2013YB243)

O

A

1000-5463(2017)03-0102-07

*通訊作者:姚曉潔，副教授，Email:yaoxiaojie1970@163.com.